1.3不等式 同步练习2023——2024学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册（含解析）

1.3不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．16 B． C．12 D．
2．若实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．正数满足，则的最大值为（ ）
A．8 B．3 C． D．4
5．下列不等关系中，填“”的是（ ）
A．若且，则___0 B．若且，则___0
C．若，则___ D．若，则___
6．设，，则有（　　）
A． B． C． D．
7．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，最小值为的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，且，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是2
D．的最小值为2
10．已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（ ）

A．
B．
C．
D．关于的不等式的解为或
11．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知a、b均为正实数，则下列选项正确的是：（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为
三、填空题
13．已知，且满足，则的最小值为 .
14．若，，则的取值范围用区间表示为 ．
15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为
16．将基本不等式推广可得正确结论，当且仅当时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ．
四、解答题
17．（1）已知，求的取值范围.
（2）比较与的大小（其中），并给出证明.
18．（1）已知，求的最小值；
（2）若，且满足条件，求的最小值．
19．做一个体积为，高为的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周造价每平方米50元.当底面边长为多少时，总造价最低？最低是多少？

20．已知是实数，且满足，证明下列命题:
(1)“”是“”的充要条件；
(2)“”是“”的充分条件.
21．围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

22．函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可.
【详解】由题意，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.
故选：A.
2．D
【分析】举反例判断ABC，利用不等式性质判断D.
【详解】由于，不妨令，，可得，，所以，故A错误；
由于，不妨令，，可得，，所以，故B错误；
由于，不妨令，，可得，，
所以，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确.
故选：D
3．C
【分析】根据充分、必要性定义，结合特殊值、基本不等式判断条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】由，，显然时，不成立，充分性不成立；
由，，而，则，当且仅当时等号成立，必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
4．D
【分析】将平方，再结合基本不等式的求解即可.
【详解】解：因为
当，即时，等号成立，
又因为，
所以，时，等号成立.
故选：D.
5．C
【分析】应用不等式的性质及作差法判断即可.
【详解】对A，若且，当时，满足条件，但，A错误；
对B，若且，则，则，B错误；
对C，若，，C正确；
对D，若，，D错误.
故选：C
6．C
【分析】作差法即可比大小.
【详解】，
故，
故选：C.
7．C
【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可.
【详解】对于A：，，A错误；
对于B：，
所以当时，当时，
当时，B错误；
对于C：，
所以，C正确；
对于D：，所以，D错误，
故选：C
8．B
【分析】运用基本不等式及对勾函数依次求各项的最小值即可.
【详解】对于A项，当时，，当且仅当即时取等号，当时，，当且仅当即时取等号，故A项不成立；
对于B项，因为，，所以，当且仅当即时取等号，故B项成立；
对于C项，令（），则，
所以，，
由对勾函数可知，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，故C项不成立；
对于D项，令（），则，，
由对勾函数可知，在上单调递减，
所以的值域为，此时函数在上无最小值，故D项不成立.
故选：B.
9．BCD
【分析】选项A、B根据基本不等式即可判断，选项C、D，由条件可知，代入选项后再根据基本不等式即可判断.
【详解】对于选项A，因为，，所以，当且仅当时取等号.
由，得，即，解得，即，故A正确；
对于选项B，由题可得，当且仅当时取等号.
所以有，所以.
又，所以，即，故B错误；
对于选项C，由，得，得，解得.
，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，因为，所以等号不成立，故C错误；
对于选项D，，
当且仅当时，即时等号成立.又，所以等号不成立，故D错误.
故选：BCD.
10．BCD
【分析】由图知，，设的两根分别为，由得，可判断AC选项；由，可判断B选项；利用可解D选项中不等式.
【详解】由图知，当时，，
设的两根分别为，两根均大于0，则，，
所以，故A错误；
由，（因为故取不到等号），所以，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对D：
等价于：，
等价于：，（)
等价于：，
等价于：，其解为或.故D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】利用不等式的性质及特值法判断即可.
【详解】由题意可知，所以，A正确，
因为，，所以，B正确；
因为，取，则，此时，故C不正确；
因为，所以，所以D正确．
故选：ABD.
12．BC
【分析】举例即可判断A；利用不等式的性质即可判断B；利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所有，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当，即时取等号，
又都是正数，故取不到等号，
所以，故D错误.
故选：BC.
13．18
【分析】将变形为，妙用“1”可解.
【详解】由得，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为18.
故答案为：18
14．
【分析】根据不等式的性质计算可得.
【详解】因为，所以，则，
又，所以，则，
即的取值范围为.
故答案为：
15．
【分析】由海伦秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值．
【详解】由，，可得，
则，
当且仅当时，取得等号，
所以此三角形面积的最大值为．
故答案为：．
16．
【分析】设矩形的长为，宽为，则，求出圆柱底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式结合题中公式即可得解.
【详解】设矩形的长为，宽为，
则，
设圆柱的底面圆的半径为，
则，所以，
则圆柱的体积，
当且仅当，即时取等号，
所以当矩形的长是时，圆柱的体积最大，为.
故答案为：；.
17．（1）；（2）证明详见解析
【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案.
（2）通过差比较法证得两者的大小关系.
【详解】（1）依题意，则，
所以，所以的取值范围是.
（2），，
，，
即.
18．（1） ；（2）
【分析】（1）再利用基本不等式可得答案；
（2）再利用基本不等式可得答案．
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即等号成立，
所以当时，的最小值为9；
（2）因为，，所以，，，
则
，
当且仅当，即，等号成立，
所以当，时，的最小值为.
19．底面长与宽均为4m时总造价最低，最低为3040元．
【分析】设长方体底面的长与宽，由题意列出总造价y，再由基本不等式求解即可．
【详解】∵长方体体积为，高为，∴长方体底面积为，
设长方体底面的长为（），则宽为（），设总造价为y元，
则
由基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立.
∴当且仅当长方体的底面长和宽均为时，总造价最低，最低为元.
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合充要条件的定义即可证明.
（2）由等式、不等式的性质、基本不等式，结合充分条件的定义即可证明.
【详解】（1）∵，
充分性:∵，，
∴充分性可得;
必要性:∵，又，
∴，
可得.
∴是的充要条件.
（2）由，且，则，
∵，，当且仅当时等号成立，
所以，，，
可得，解得，
∴是的充分条件.
21．m时，最小总费用是10440元
【分析】根据题意得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】设矩形另一边长为，则，
由，得，
∴，
∵，∴，
∴，当且仅当，即m时，等号成立，
所以当m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到且，化简得到，结合基本不等式，求得的最小值为，把不等式转化为恒成立，利用一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，得到四边形的面积为，由且，结合基本不等式，求得，即可求解.
【详解】（1）由函数的图象经过第一象限的点，
则，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
因为恒成立，即恒成立，即恒成立，
由，解得，
即实数的取值范围.
（2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，
可得，则四边形为矩形，所以面积为，
因为，且，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，所以四边形面积的最大值为.
答案第1页，共2页
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