数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
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据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用巧妙的方法迅速算出了正确答案：
情境导入
追问：为什么？这是巧合吗？试从数列的角度给出解释.
设
则
，
4.2.2等差数列前项和公式
问题1：你能用上述方法计算吗？
新知探究
追问：还有其他方法求吗？
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法2 原式
法3 原式
问题2：你能用上述方法计算 吗？
需要对项数的奇偶进行讨论
于是有
（1）当是偶数时，
有
个
问题2：你能用上述方法计算 吗？
有
（2）当是奇数时，
个
.
所以，对任意正整数，都有
我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束．问共几束？
8层
{
{
9束
他的计算方法如右图所示．
设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束．
思考：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否避免分类讨论？
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,
将上述两式相加，可得：
所以，
倒序相加法
追问：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求前个正整数的和吗？
次序反过来
设等差数列的前项和为，公差为，即
将项的次序反过来，可以写成
Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an
Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1
两式两边分别相加，得
由此得到等差数列的前项和的公式
2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1)
= n (a1＋an)
倒序相加法
问题3：上述方法能够推广到求一般的等差数列的前项和吗？
（小组合作完成）
此公式表明，等差数列的前项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的通项公式和前项和公式中，共有“”五个量，故知三可求其二．
等差数列的前项和公式
如果等差数列的首项，公差为 ，那么该等差数列的前项和公式为
思考：不从公式 出发，你能用其他方法得到公式 吗？
课本例6.已知数列是等差数列.
(1)若求；
(2)若求；
(3)若求
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解(1)：因为，，根据公式，可得
.
(2)因为，，∴根据公式，可得
例题精讲
解(3)：把，，代入，得
.
整理，得
解得，或(舍去).
所以.
课本例6.已知数列是等差数列.
(1)若求；
(2)若求；
(3)若求
课本例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
追问：还有其他方法吗？
解:=310, =1220,
把它们代入公式
得
解方程组，得
利用等差数列前项和的特征：
一元二次函数
问题4：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且.任取若干组，，，在电子表格中计算，，，，的值(图表示，，的情况)，观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.
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结论：已知数列的前项和为(为常数且)，则当时，数列为等差数列；当时，数列从第二项起为等差数列.
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已知数列的前项和为(为常数且)，则当时，数列为等差数列；当时，数列从第二项起为等差数列.
证明：当时，
当时，
(1)当时，符合
∴，此时数列为等差数列，且公差为.
(2)当时，不符合
∴此时数列从第二项起为等差数列，且公差为.
课本例8 某校新建一个报告厅, 要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.
问第1排应安排多少个座位？
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为.
根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且
由，可得
因此，第1排应安排21个座位.
课本例9 已知等差数列的项和，若，公差，是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
当取与接近的整数即5或6时最大，最大值为30.
1.倒序相加法推导等差数列前项和公式
课堂小结
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
选用 公式
2. 等差数列前项和公式