福建省莆田第一名校2023-2024学年高三上学期期中考试数学（含解析）

莆田一中2023-2024学年度上学期高三期中考试卷
数学试题
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 实数满足，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（ ）
A. B. C. D.
4. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
8. 在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列化简结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题正确是（ ）
A. “”是“”充分不必要条件
B.
C. 函数，则
D. 函数若，则实数的取值范围是
11. 已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A. 若的最小正周期，则
B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
12. 已知函数，则（ ）
A. 若函数有两个零点，则
B. 当时，恒成立
C. 若方程有5个解，则实数的取值范围是
D. 若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是定义在上的奇函数，则______.
14. 已知，，则______．
15. 已知函数（其中）的部分图像如右图所示，则在上的值域为______．
16. 已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的最小正周期为8．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若，且，求的值．
18. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围.
19. 如图，在三棱锥中，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的余弦值．
20. 已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
21. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：
（1）甲积分的期望；
（2）甲、乙积分相同的概率
22. 已知函数
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
莆田一中2023-2024学年度上学期高三期中考试卷
数学试题
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】先解不等式求出，再求出和，最后求出即可.
【详解】，所以，
，所以，所以，
所以，
故选：A
2. 实数满足，则的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可.
【详解】因为，
所以
所以，当且仅当取等号
故选：D．
3. 设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tanα=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可.
【详解】由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，
故，所以.
故选：B
4. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥，由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解.
【详解】
如上图，由边长为，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为，其表面积为，
∴此正八面体体积与表面积之比为.
故选：B.
5. 已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造，利用导数及已知判断其单调性，根据单调性及相对应函数值判断各项的大小.
【详解】令，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
，即，故A不正确；
，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；
故选：C
6. 已知的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简后结合三角函数的对称轴即可求解.
【详解】，
又图象关于对称，，可以求得，
故，
对称轴为，时即A项．
故选：A．
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用导函数研究上的单调性，得到在上单调递减，在上单调递增，且，进而研究上的单调性，得到在上单调递减，在上单调递增，且，从而选出正确答案.
【详解】当时，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，，
当时，，故，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
且，显然，
综上：只有D选项满足要求.
故选：D
8. 在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，
令球心为，因为，且，所以，
又因为，所以，
在直角三角形中，，即，解得，
则三棱锥外接球的表面积为.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列化简结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，所以A正确；，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D错误．
故选：AB．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B.
C. 函数，则
D. 函数若，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，令，转化为求解判断；对于选项B，利用对数的运算求解判断；对于选项C，利用导数法判断的单调性求解判断；对于选项D，分，，分别利用指数函数和对数函数不等式求解判断.
【详解】对于选项A，令，则由得，解得或，或，故“”是“”的充分不必要条件．故A正确；
对于选项B，原式，故B正确；
对于选项C，函数，可得，其中，
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，可得，所以，又在上单调递减，所以，所以，所以C是错误．
对于选项D，当时，令，得，故；
当时，令，得，故．综上，．故D正确；
故选：ABD
11. 已知，函数，下列选项正确的有（ ）
A. 若的最小正周期，则
B. 当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是
D. 若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；
当时，可得，
将函数的图象向右平移个单位长度后得
，所以B错误；
若在区间上单调递增，则，
解得，
又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；
若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数，则（ ）
A. 若函数有两个零点，则
B. 当时，恒成立
C. 若方程有5个解，则实数的取值范围是
D. 若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于，画出函数图象，根据图象即可判断；对于，化简为，令，不等式变形为，构造函数，利用导数考查单调性，求得最大值即可判断；对于，令，分离讨论的范围，考查的解的情况，进一步分析即可；对于，根据图象观察即可.
【详解】因为当当时，，
令得，令,得,
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，且时，，
故可画出函数的大致图象如图所示：
由图知函数有两个零点时，
则或，故错误;
对于,因为，不等式为，即，令，
不等式化为．
令，令，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故最大值为，则恒成立，故正确；
对于，令，
当或时，方程只有一解记为，此时不可能有5解。
当时，，有两解记为，（其中）
至多3个解，有1解，不合题意.
当时，，有两解记为，
有1个解，有2解，不合题意.
当时，，有三解记为
有1个解，有2解，有2解，符合题意.
综上方程有5个解时实数的取值范围是．正确．
对于，当时，，
设切点为，
则，
则，
令，，
时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，
所以当时，方程由两个解；
当，无解；
故时，过可以画出两条直线与相切，
又当时，过必有一条与相切，故选项错误.
故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数知识求得，由此求得.
【详解】依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故答案为：
14. 已知，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】首先求出，再由二倍角公式求出、，最后代入计算可得.
【详解】由且，所以，
所以，，
所以．
故答案为：
15. 已知函数（其中）的部分图像如右图所示，则在上的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数图像可求得函数的解析式，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.
【详解】
由图像可知，；从而，
又由，因为，所以，从而，当时，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，故，即，从而，即在上的值域为．
故答案为：
16. 已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由，得，，构造函数，由函数单调，有，得，可解的值.
【详解】由可得，，即，也即，
由可得，所以，即，
构造函数，在恒成立，
所以函数在定义域上单调递减，
由，得，即，
又因为，得，所以，解得．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的最小正周期为8．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由最小正周期求出，整体代入法求函数单调递减区间；
（2）由，得，，利用两角和的正弦公式计算.
【小问1详解】
，
由题意，得：，所以，
所以，
由，得：
所以函数的单调减区间是．
【小问2详解】
由，得：，所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
18. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象过点及导数的几何意义列方程求解即可；
（2）构造差函数，从而只需函数有三个零点即可，求导，求极值即可求解.
【小问1详解】
因为的图象经过点，
所以，又，则，
由条件，即，解得，代入解得，
故；
【小问2详解】
由（1）知：，
令，
则原题意等价于图象与轴有三个交点.
因为，
1
0 0
极大 极小
所以在时取得极大值，在时取得极小值，
依题意得，解得，故m的取值范围为.
19. 如图，在三棱锥中，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质得面，再由线面垂直的性质、判定证结论；
（2）过点在平面内作于，证平面，根据已知并求出相关边长，进而构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
因为面面，面面，面，
所以面，而面，所以
又，面，所以面，
由平面，从而．
【小问2详解】
过点在平面内作于，
由面面，面面面，
故平面，
因为，则，
由等面积法得则，
因为，所以，又，
以点为原点，的方向分别为轴的正方向建立如下空间直角坐标系，
则，
设面的一个法向量为，则，取，则，
易知面的一个法向量为，故，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
20. 已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【小问1详解】
因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
【小问2详解】
令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
21. 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目.某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛（任意两人之间只赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各1分.根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛.已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为.各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：
（1）甲积分的期望；
（2）甲、乙积分相同的概率
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出甲和乙、丙对局时输的概率，甲积分为，则的可能取值为，算出每种情况的概率，得到的分布列，利用期望的公式求解即可；
（2）若甲、乙积分相同，则只能同时积1分、2分、3分、4分，分类求出每种情况的概率，根据分类加法计数原理求解即可.
【小问1详解】
由已知可得，甲、乙对局时，甲输概率为；甲、丙对局时，甲输的概率为，
设甲积分为，则的可能取值为，
，
，
，
，
，
.
的分布列为：
0 1 2 3 4 6
；
【小问2详解】
若甲、乙积分相同，则只能同时积1分、2分、3分、4分，
若甲、乙均积1分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局丙胜，
其概率为；
若甲、乙均积2分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局平局，乙、丙对局平局，
其概率为；
若甲、乙均积3分，则甲、乙对局甲胜，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局乙胜，或者甲、乙对局乙胜，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局丙胜，其概率为：
；
若甲、乙均积4分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局乙胜，其概率为：
；
所以甲、乙积分相同的概率为.
22. 已知函数
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导得，分，以及讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，设，然后分，以及讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意知，
令，得，又单调递增，
①当时，，所以当时，，即在上单调递增；
②当时，，所以当时，，即在上单调递减；
③当时，时，令，得，令，得，
即在上单调递增，在上单调递减。
综上：当时，在[1，e]上单调递增；
当时，在上单调递减
当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
由题意，，设，则，
所以在上单调递增，故，
①当时，在上恒成立，所以，
从而，因为在上单调递减，所以在上恒成立，从而，设，当时，，所以，故在上单调递增，可得函数在上的最小值为，最大值为
因为恒成立，所以；
②当时，在上恒成立，所以，
从而，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，故恒成立，
由①中计算知在上的最大值为，
当时，显然恒成立，满足题意；
③当时，，所以在（1，e）上有唯一的零点，且当时，；当时，，
从而，
故，所以在上不可能单调递减，不合题意；
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究含参函数单调区间的讨论问题以及已知函数单调性求参数问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论.