高中数学北师大版必修一第四章高中数学北师大版必修一 2.2 换底公式 同步练习（含解析）

2.2　换底公式
课后训练
1．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝ B．log34＝
C．log34＝ D．log34＝
2．＝(　　)
A．　　　B．2　　　C．
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A．　　　C．ab　　　D．a＋b
4.设log34·log48·log8m=log416,则m的值为(　　).
A. B.9 C.18 D.27
5.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根分别为α,β,则=(　　).
A. B.36 C.-6 D.6
6.已知log83=p,log35=q,则lg 2=(　　).
A.p2+q2 B.(3p+2q)
C. D.pq
7.(多选题)若9a=10b,则下列大小关系可能成立的有(　　).
A.a>b>0 B.aC.a=b=0 D.b>a>0
8．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
9.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20%　　B．23%　　C．28%　　D．50%
10．已知2a＝5b＝10，则＋＝________．
11.已知2x=3,log4=y,则x+2y=　　　　　.
12.已知使log23×log34×log45×…×log(k+1)(k+2)(k∈N+)为整数的实数k称为“企盼数”,则在区间[1,1 000]内的“企盼数”共有　　　　　个.
13.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为　　　　　.(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
14.计算：
(1)log4＋log23－log0.5；
(2)(log32＋log23)2－－．
15.已知2x=3y=6z≠1,求证:.
16.(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
17.已知a>0,x>0,y>0,且a≠1,x≠1,logax+3logxa-logxy=3(a>1).
(1)若设x=at,试用a,t表示y;
(2)若当01.ABC
2.B　
原式＝log39＝log332＝2log33＝2．故选B．
3.B　
∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝．故选B．
4.B
log34·log48·log8m==log3m.
又log416=2,所以log3m=2,所以m=32=9.
5.B
由题意,知α+β=-log26,=36.
6.C
因为p=log83=,q=log35=,
所以pq=,
则lg 2=.
7.ABC
设9a=10b=k(k>0),则有a=log9k=,b=log10k==lg k.
当k=1时,a=b=0;当k>1时,有a>b>0;当08.C　
设至少需要过滤n次，
则0.02×＝0.001，即．
所以n lg ＝lg ，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，
即n＝≈7.4．
又n∈N，所以n≥8．所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．
9.B　
将信噪比从1 000提升至5 000，C大约增加了＝≈≈0.233，所以C大约增加了23%．故选B．
10.1　
∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＝log102＝lg 2，＝lg 5，∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．
11.解析:由2x=3得x=log23,所以x+2y=log23+2log4=log23+=log23+log2=log28=3.
答案:3
12.解析:log23×log34×log45×…×log(k+1)(k+2)=×…×=log2(k+2),令log2(k+2)=n(n∈Z).则k+2=2n(n∈Z).又因为k∈[1,1 000],所以k+2=22,23,…,29,所以k∈{2,6,14,30,62,126,254,510}.故共有8个企盼数.
答案:8
13.解析:由0.90μ0=μ0(e-λ)2,得e-λ=.
又0.50μ0=μ0(e-λ)t,即=()t,则lg lg 0.90,故t=≈13.
答案:13
14.[解]　根据对数的换底公式，得
(1)log4＋log23－log0.5＝＋log23－
＝log2＋log23－log25＝log2＝log21＝0．
(2)(log32＋log23)2－－
＝－－
＝＋＋2－－＝2．
15.证明:由题意设2x=3y=6z=k(k>0,且k≠1),
∴x=log2k,y=log3k,z=log6k.
∴=logk2,=logk3,=logk6=logk2+logk3,
∴.
16.[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436．
∴＝2log363＝log369，
＝log364．
∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1．
(2)∵18b＝5，∴b＝log185．
又log189＝a，
∴log3645＝＝．
17.解:(1)由换底公式,得logax+=3(a>1),
所以logay=(logax)2-3logax+3.
当x=at(a>1)时,logax=logaat=t,
所以logay=t2-3t+3.
所以y=(t≠0).
(2)y=,因为01,所以当t=时,ymin==8,所以a=16,此时x==1=64.
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