空间向量运用-空间角（或距离）
文档属性
| 名称 | 空间向量运用-空间角（或距离） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 7.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 09:50:41 | ||
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文档简介
空间向量运用-空间角（或距离）
【考纲解读】
理解并掌握空间向量的定义与性质，掌握空间向量坐标运算的法则和基本方法；
理解异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角的定义，能够运用空间向量的坐标运算求异面直线所成角的余弦值，直线与平面所成角的正弦值，平面与平面所成角的余弦值；
理解异面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间距离的定义，能够运用空间向量的坐标运算求面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间的距离。
【知识精讲】
一、空间角：
（一）异面直线所成的角：
1、异面直线所成角的意义：
（1）异面直线所成角的定义：设a、b是异面直线，在空间任取一点O，过O作∥a,
∥b,则与所成的角，称为异面直线a与b所成的角（或称为异面直线a与b的夹角）；
（2）异面直线所成角的取值范围：如果是异面直线a与b所成的角，则（0，]；
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两异面直线a与b所成的角=，则称异面直线a、b互相垂直，记作ab；
2、求异面直线所成角余弦值的基本方法：
（1）异面直线所成角的确定：
设a、b是异面直线，由异面直线所成角的定义，
确定异面直线所成的角时，可以在空间任取一点 a
O，过点O分别作∥a, ∥b,则与所成
的角就是异面直线a、b所成的角，在处理实际问题时 b
为使问题简便，所取空间的任意点O可以在直线a O
(或b)上取一特殊点，过这一点作另一直线的平行
线，则所得的角为所求。
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值的基本方法： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值。
(二)直线与平面所成的角：
1、直线与平面所成角的定义：
（1）直线与平面所成角的定义：直线与平面斜交时，直线和它在平面内射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角；
（2）理解直线与平面所成角定义时应该注意的问题：①平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成角中的最小角；②直线与平面所成角是斜线与它在平面射影所锐成角；
（3）直线与平面所成角的特例：①如果直线垂直于平面，则直线和平面所成的角是直角；②如果直线在平面内，则直线和平面所成的角为角；
（4）直线与平面所成角的取值范围：如果设直线与平面所成的角为，则[0，]。
2、求直线与平面所成角正弦值的基本方法：
（1）判定直线与平面的位置关系；
（2）直线与平面所成角的确定：在确定直线与平面斜交时， P
如图在斜线上任意取一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂
足，设斜线与平面相交于点B，连接AB，则是直线与
平面所成的角； A B
（3）运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法是：
①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值。
(三)平面与平面所成的角（二面角）：
1、平面与平面所成角的定义：
（1）半平面的定义：平面内一条直线把平面分成两部分，其中的一部分叫做半平面；
（2）平面与平面所成角的定义：两个平面的交线与这两个平面各自的一个半平面所组成的图形，叫做平面与平面所成的角，也称为二面角；
（3）平面与平面所成角的表示：设平面∩平面=l，则平面与平面所成的角可以表示为-l-；
（4）平面与平面所成角的特例：①两个平面互相垂直时，平面与平面所成的角为；②两个平面重合（或平行）时，平面与平面所成的角为；
（5）平面与平面所成角的取值范围：设平面与平面所成的角为，则[0，）；
2、求平面与平面所成角（或二面角）余弦值的基本方法：
二面角的平面角：如图在两个平面的交线上任意
取一点O，过O分别向两个半平面作垂线OA、OB,则 B
为二面角的平面角； O A
（2）运用空间向量求平面与平面所成角（或二面角）
余弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值。
二、空间距离：
（一）异面直线的距离：
1、异面直线距离的定义：
（1）异面直线距离的定义：两条异面直线的公垂线段的长，称为两条异面直线的距离；
（2）理解定义时应该注意的问题：①定义中异面直线的距离是公垂线段的长，而不是公垂线段，②注意分辨公垂线段的长和公垂线段的不同含义，公垂线段是一个几何图形，公垂线段的长为线段的度量，是一个数。
2、异面直线距离的求法：
（1）确定两条异面直线公垂线段：利用证明直线垂直直线的方法，在图像中找出两条异面直线的公垂线段；
（2）运用空间向量求异面直线距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式求出异面直线的距离。
（二）点到平面的距离： P
1、点到平面距离的定义：
（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引平面
的一条垂线，这个点与垂足之间的距离，称为点到 A B
平面的距离；
(2)理解定义应注意的问题：①平面外一点到平面的正射影是过该点向平面作垂线的垂足；②点到平面的距离实际上是过该点的平面的垂线段的长。
2、求点到平面的距离的基本方法：
（1）确定点在平面内的正射影：过该点作平面的垂线的垂足就是点在平面内的正射影；
（2）运用空间向量求点到平面距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内取一点和两条相交的直线与；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出直线与的方向向量与（注意两点的顺序），并求出给定点与所取点的方向向量；④根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤运用公式d=求出点到平面的距离。
（三）直线到平行平面的距离：
1、直线到平行平面距离的定义：
（1）直线到平行平面距离的定义：直线上任意一点到平行平面的距离，称为直线到平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①当直线平行平面时，直线上的点到平面的距离是相等；②求直线到平行平面的距离时，只需在直线上任意取一点，求这一点到平面的距离就是直线到平行平面的距离。
2、直线到平行平面距离的基本方法：
（1）求直线到平行平面距离的基本思路：在直线上找一个特殊的点，把问题转化为求点到平面的距离的问题；
（2）运用空间向量求直线到平行平面距离的基本方法是：①在直线找一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离就可求出直线到平行平面的距离。
(四)两个平行平面的距离：
1、两个平行平面距离的定义：
（1）两个平行平面距离的定义：在其中一个平面上任取一点，该点到另一个平面的距离，称为两个平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①两个平行平面之间的距离是相等；②在其中一个平面内任意取一点，求这点到另一个平面的距离，就可求出两个平行平面的距离。
2、求两个平行平面距离的基本方法：
（1）求两个平行平面距离的基本思路：在其中一个平面上取一个特殊点，把问题转化为求点到平面距离的问题；
（2）运用空间向量求两个平行平面距离的基本方法是：①在其中一个平面内取一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离，就可求出两个平行平面之间的距离。
【探导考点】
考点1求空间角的余弦值（或正弦值）：热点①求异面直线所成角的余弦值；热点②求直线与平面所成角的正弦值；热点③求平面与平面所成角（或二面角）的余弦值；
考点2求空间距离：热点①求异面直线之间的距离；热点②求点到平面的距离。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，则AC和BD所成的角为（ ）
A B C D
2、如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD----中，若A=2AB，则异面直线AC，B所成角的余弦值为（ ）
A B C D
3、如图在直三棱柱ABC---中，，点、分别是、的中点，BC=CA=C，求直线B与A所成角的余弦值；
如图在三棱锥D—ABC中，DA⊥平面ABC，，，AC=BC，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
『思考问题1』
【典例1】是运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解异面直线所成角的定义，掌握运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的基本方法是： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，BD与C所成的角是（ ）
A B C D
如图所示，正方体ABCD—中，①AC和D所成的角是 度；②AC和所成的角是 度；③AC和所成的角是 度；④AC和B所成的角是 度；⑤O为的中点，AC和BO所成的角是 度。
3、如图正四棱柱ABCD—中，A=2BA.。求异面直线B与A所成角的余弦值。
4、如图在三棱锥P—ABC中，，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
求异面直线AB和PC所成角的余弦值。
【典例2】解答下列问题：
1、若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A （0，） B ［0，） C （0，］ D ［0，］
2、在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，若将ABD沿BD所在直线翻折，使得二面角A—BD—C的大小为，则AD与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A B C D
3、如图所示，长方体ABCD—中，
AB=，BC=A=1，则B与平面 D C
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所成角的大小为 。 A B
4、如图所示，在正方体ABCD—中， D C
直线D与平面CD所成的角为 。 A B
5、如图正方体ABCD—中，E、F
分别是A、BA.的中点。
求：直线EF与平面AC所成角的正弦值；
E D C
A F B
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解直线与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值（或所成角大小）的基本方法是：①确定直线与平面 的角，②运用解三角形的知识求直线与平面所成角的 值；
（3）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的正弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图所示，已知ABC为等腰直角三角形，P为
空间一点，且AC=BC=5，PCAC，PCBC， C B
PC=5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角 M
为 。 A
2、如图所示在长方体ABCD—中，AB=BC
=2，A=1，则B与平面BD所成角的正弦值
为（ ） D C
A B C D A B
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，各棱长都
相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BC的中心， A D C
则AD与平面BC所成角的大小是 。 B
4、已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为，平面内一条直线和斜线在平面内的射影的夹角为。求平面的斜线和平面内的这条直线所成的角。
【典例3】解答下列问题：
1、二面角是指（ ）
A 一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 B一个半平面与另一个半平面组成的图形 C从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D两个相交的平行四边形组成的图形
2、下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直；则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上位置没有关系，其中正确的是（ ）
A ①③ B ②④ C ③④ D ①②
3、在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的大小为（ ）
A B C D
4、如图所示，四边形ABCD是正方形，PA P
平面ABCD，且PA=AB，则二面角B—PA—C
的大小为 ； D C
5、如图已知在长方体ABCD----中 A B
AB=2，BC=B=1，E为的中点。 求二面角E—BD—C的正切值。
6、如图在棱长为1的正方体ABCD----中，P是AD的中点。求二面角A--B--P的余弦值。
7、如图底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC---中，，A=AC，D 是C的中点。
（1）求证：平面AD⊥平面AB；
（2）求：二面角B--D—A的余弦值。
8、如图已知三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D⊥BD.
（1）证明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的余弦值（2012全国高考新课标卷）
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解平面与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，截面BD与底面ABCD所成二面角—BD—A的正切值等于（ ）
A B C D
2、如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC, BAC=，则二面角B—PA—C的大
小等于 ； A C
直三棱柱ABC---中，AC⊥BC， B
AC=BC=C，E，F分别是B、的
中点。 F
（1）求证：EF∥平面AC； E
（2）求证：EF⊥平面BC； C
（3）求二面角A--B—C的余弦值； A P B
4、如图在三棱锥P—ABC中，，
PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
（1）求直线AB和直线PC所成角余弦值；
（2）求PC和平面ABC所成角的正弦值； A B
（3）求二面角A—PC—B的余弦值。 C
【典例4】解答下列问题：
1、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，底边BC=6，AB=5，则点P到BC的距离为（ ）
A 4 B C 3 D 2
2、如图在正方体ABCD---中，棱
长为1。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与之间的距离；
（3）异面直线A与C之间的距离。 D C
A B
3、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与D之间的距离。
D C
A B
4、如图已知正方体ABCD---的棱长为
a，M是棱A的中点，点O是对角线B的
中点。
（1）证明OM是异面直线A和B的共垂线；
（2）求异面直线A和B的距离。 M O
D C
A B
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用空间向量求异面直线直角距离的问题，解答这类问题需要理解异面直线之间距离的定义，掌握运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定两条异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式，求出公垂线段的长就可求出异面直线之间的距离。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。
D C
A B
2、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a，M、N分别是AB、BC的中点。
求：（1）异面直线D与MN所成角的大小；
（2）异面直线B与MN之间的距离。
D C
N
【典例5】解答下列问题： A M B
1、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E为C的中点，则直线A与平面BED的距离为（ ）
A 2 B C D 1
2、已知直二面角—l—，点A，ACl，C为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A B C D 1
3、如图在四棱锥P—ABCD中，底面四边形 P
ABCD是边长为14的菱形，并且，
PA=3，PA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点，
OE⊥PC于E。 A E D
求：（2）点P到CD的距离； O
（3）异面直线PC、BD之间的距离； B C
（3）点B到平面PCD的距离； B
4、如图设是平面的单位法向量，AB是
平面的一条斜线，其中A∈。
（1）求AB与平面所成的角； A
（2）求点B到平面的距离；
5、如图已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的 P
高分别为1，2，AB=4。
（1）证明：PQ⊥平面ABCD； D C
（2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值；
（3）求点P到平面QAD的距离（2012广东中山二模）
A B
Q
6、如图在棱长为2的正方体ABCD--中 ，
G是A的中点。 G
求：BD到平面G的距离； D C
A B
7、如图斜三棱柱ABC--的侧面AC与
底面ABC垂直，，BC=2，AC=2。
求：侧棱B到侧面AC的距离。
A C
B
8、如图在长方体ABCD--中 ，AB=4，
Bc=3，C=2。
（1）求证：平面B∥平面AC； D C
（2）求：平面B与平面AC的距离； A B
9、如图在正方体ABCD--中 ，M，N，
P分别是C，，的中点。
（1）求证：AP⊥MN； M
（2）求证：平面MNP∥平面BD； D P N C
（3）求平面MNP与平面BD的距离。 A B
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用空间向量求点到平面距离的问题，解答这类问题需要理解点到平面距离的定义，掌握运用空间向量求点到平面距离的基本方法；
（2）运用空间向量求点到平面的距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内取一点和两条相交的直线与；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出直线与的方向向量与（注意两点的顺序），并求出给定点与所取点的方向向量；④根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤运用公式d=求出点到平面的距离。
〔练习5〕解答下列问题： P
1、如图所示，平面内有Rt，，
P是平面外一点，且PA=PB=PC，P到平面
EMBED Equation.DSMT4 的距离为40cm，AC=18cm，求点P到边BC A B
的距离。（答案：点P到BC的距离为41cm）
2、如图已知ABCD是边长为4的正方形，E，F C G
分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且
GC=2.
求：点B到平面EFG的距离。 D C
F
A E B
3、如图在长方体ABCD—中 ，AB=4，
Bc=3，C=2。 D C
求：直线BD到平面A的距离。 A B
4、如图斜三棱柱ABC--的侧面AC与
底面ABC垂直， AC=，A=2。 A C
求直线到底面ABC的距离。 B
5、如图在三棱柱ABC-- 中，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，侧棱的长为1，
求平面ABC到平面的距离。 A B
【雷区警示】 C
【典例6】解答下列问题：
如图所示，在空间直角坐标系中，有直三棱锥 B z
ABC-，AC=C=2BC，则直线B与 C y
A夹角的余弦值是 。 x A
正方体ABCD--的棱长为a ，求异面直线和B之间的距离。
『思考问题6』
【典例6】是解答运用空间向量求空间角的余弦值（或正弦值）和求空间距离问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视空间角的取值范围，导致解答问题出现错误；②忽视异面直线之间距离的定义，导致解答问题出现错误；
（2）解答运用空间向量求空间角的余弦值（或正弦值）和求空间距离问题时，为避免忽视空间角的取值范围的雷区，需要正确理解空间角的定义，注意个空间角的取值范围；
（3）解答运用空间向量求空间角的余弦值（或正弦值）和求空间距离问题时，为避免忽视异面直线之间距离的定义的雷区，需要正确理解异面直线之间距离的定义，注意公垂线段和公垂线段长的不同含义。
〔练习6〕解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
2、如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。
D C
A B
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、在长方体ABCD—中，已知D与平面ABCD和平面AB所成的角均为，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A AB=2AD B AB与平面AD所成的角为
C AC=C D D与平面BC所成的角为
2、已知正方体ABCD—，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 直线B与D所成的角为 B 直线B与C所成的角为
C 直线B与平面BD所成的角为 D 直线B与平面ABCD所成的角为
3、在正方体ABCD—中，P为的中点，则直线PB与A所成的角为（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
4、已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③MFN的余弦值的取值范围为［0，）；④FMN周长的最小值为+1.其中正确结论的个数为（ ）（2021成都市高三二诊）
A 1 B 2 C 3 D 4
5、（理）在正方体ABCD-中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面使
P//平面，Q//平面，若直线平面=M，则的值为（）
A B C D
（文）如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PA=AD=2，AB=1，则点A到平面MBC的距离为（）（2020成都市高三二诊）
A B C D
（理科图）（文科图）
6、如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，ABAC，ABAD，CAE
=，则cosFCB= （2020全国高考新课标I）
7、日 是中国古代用来测量时间的仪器，利用与 面垂直的 针投射到 面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的维度上指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日 ，若 面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬，则 针与点A处的水平面所成角为（ ）（2020全国高考新高考I）
A B C D
『思考问题7』
（1）【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末调研考试）试卷中与空间角（或空间距离）相关的问题，归结起来主要包括：①异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③平面与平面所成的角；④异面直线之间的距离；⑤直线到平行平面的距离；⑥平面到平行平面的距离等几种类型；
（2）解答空间角（或空间距离）问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类问题的解题思路和解答问题的基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，点E，F，G，H，I分别为线段，
，B，BC，的中点，连接C，，C，DE，BF，CI，EH，则下列正确结论的序号是 。①点E，F，G，H在同一个平面上；②直线DE，BF，CI相交于同一点；③直线BF与直线C所成角的余弦值为；④该正方体过EH的截面的面积最大值为3（成都市高2021级201-2022高一下期期末名校联盟考试）
2、（理）如图，—MN—为，OMN，A，B，BON=AOM=，OA=OB=，则AB=（ ）
A B 2 C D
（文）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（ ）（成都市高2019级2018-2019成都市高一下期期末考试）
A B C D
3、（理）三棱柱ABC---底面是边长为1的正三角形，高A=1，在AB上取一点P，设P与底面的二面角为，P与底面的二面角为，则tan(+)的最小值为（ ）
A - B - C - D -
（文）在棱长为a的正方体ABCD----内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的A，BC的中点P，Q作直线，该直线被球面截在球内的线段长为（ ）（成都市高2019级2018-2019成都市高一下期期末考试）
4、已知ACB=，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 （2019全国高考新课标I）
5、在长方体ABCD—中，已知底面ABCD为正方形，P为的中点，AD=2，A=，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC=QP，则线段BQ的长度的最大值为 （2018成都市高三一诊）
空间向量运用-空间角（或距离）
【考纲解读】
理解并掌握空间向量的定义与性质，掌握空间向量坐标运算的法则和基本方法；
理解异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角的定义，能够运用空间向量的坐标运算求异面直线所成角的余弦值，直线与平面所成角的正弦值，平面与平面所成角的余弦值；
理解异面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间距离的定义，能够运用空间向量的坐标运算求面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间的距离。
【知识精讲】
一、空间角：
（一）异面直线所成的角：
1、异面直线所成角的意义：
（1）异面直线所成角的定义：设a、b是异面直线，在空间任取一点O，过O作∥a,
∥b,则与所成的角，称为异面直线a与b所成的角（或称为异面直线a与b的夹角）；
（2）异面直线所成角的取值范围：如果是异面直线a与b所成的角，则（0，]；
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两异面直线a与b所成的角=，则称异面直线a、b互相垂直，记作ab；
2、求异面直线所成角余弦值的基本方法：
（1）异面直线所成角的确定：
设a、b是异面直线，由异面直线所成角的定义，
确定异面直线所成的角时，可以在空间任取一点 a
O，过点O分别作∥a, ∥b,则与所成
的角就是异面直线a、b所成的角，在处理实际问题时 b
为使问题简便，所取空间的任意点O可以在直线a O
(或b)上取一特殊点，过这一点作另一直线的平行
线，则所得的角为所求。
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值的基本方法： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值。
(二)直线与平面所成的角：
1、直线与平面所成角的定义：
（1）直线与平面所成角的定义：直线与平面斜交时，直线和它在平面内射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角；
（2）理解直线与平面所成角定义时应该注意的问题：①平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成角中的最小角；②直线与平面所成角是斜线与它在平面射影所锐成角；
（3）直线与平面所成角的特例：①如果直线垂直于平面，则直线和平面所成的角是直角；②如果直线在平面内，则直线和平面所成的角为角；
（4）直线与平面所成角的取值范围：如果设直线与平面所成的角为，则[0，]。
2、求直线与平面所成角正弦值的基本方法：
（1）判定直线与平面的位置关系；
（2）直线与平面所成角的确定：在确定直线与平面斜交时， P
如图在斜线上任意取一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂
足，设斜线与平面相交于点B，连接AB，则是直线与
平面所成的角； A B
（3）运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法是：
①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值。
(三)平面与平面所成的角（二面角）：
1、平面与平面所成角的定义：
（1）半平面的定义：平面内一条直线把平面分成两部分，其中的一部分叫做半平面；
（2）平面与平面所成角的定义：两个平面的交线与这两个平面各自的一个半平面所组成的图形，叫做平面与平面所成的角，也称为二面角；
（3）平面与平面所成角的表示：设平面∩平面=l，则平面与平面所成的角可以表示为-l-；
（4）平面与平面所成角的特例：①两个平面互相垂直时，平面与平面所成的角为；②两个平面重合（或平行）时，平面与平面所成的角为；
（5）平面与平面所成角的取值范围：设平面与平面所成的角为，则[0，）；
2、求平面与平面所成角（或二面角）余弦值的基本方法：
二面角的平面角：如图在两个平面的交线上任意
取一点O，过O分别向两个半平面作垂线OA、OB,则 B
为二面角的平面角； O A
（2）运用空间向量求平面与平面所成角（或二面角）
余弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值。
二、空间距离：
（一）异面直线的距离：
1、异面直线距离的定义：
（1）异面直线距离的定义：两条异面直线的公垂线段的长，称为两条异面直线的距离；
（2）理解定义时应该注意的问题：①定义中异面直线的距离是公垂线段的长，而不是公垂线段，②注意分辨公垂线段的长和公垂线段的不同含义，公垂线段是一个几何图形，公垂线段的长为线段的度量，是一个数。
2、异面直线距离的求法：
（1）确定两条异面直线公垂线段：利用证明直线垂直直线的方法，在图像中找出两条异面直线的公垂线段；
（2）运用空间向量求异面直线距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式求出异面直线的距离。
（二）点到平面的距离： P
1、点到平面距离的定义：
（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引平面
的一条垂线，这个点与垂足之间的距离，称为点到 A B
平面的距离；
(2)理解定义应注意的问题：①平面外一点到平面的正射影是过该点向平面作垂线的垂足；②点到平面的距离实际上是过该点的平面的垂线段的长。
2、求点到平面的距离的基本方法：
（1）确定点在平面内的正射影：过该点作平面的垂线的垂足就是点在平面内的正射影；
（2）运用空间向量求点到平面距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内取一点和两条相交的直线与；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出直线与的方向向量与（注意两点的顺序），并求出给定点与所取点的方向向量；④根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤运用公式d=求出点到平面的距离。
（三）直线到平行平面的距离：
1、直线到平行平面距离的定义：
（1）直线到平行平面距离的定义：直线上任意一点到平行平面的距离，称为直线到平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①当直线平行平面时，直线上的点到平面的距离是相等；②求直线到平行平面的距离时，只需在直线上任意取一点，求这一点到平面的距离就是直线到平行平面的距离。
2、直线到平行平面距离的基本方法：
（1）求直线到平行平面距离的基本思路：在直线上找一个特殊的点，把问题转化为求点到平面的距离的问题；
（2）运用空间向量求直线到平行平面距离的基本方法是：①在直线找一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离就可求出直线到平行平面的距离。
(四)两个平行平面的距离：
1、两个平行平面距离的定义：
（1）两个平行平面距离的定义：在其中一个平面上任取一点，该点到另一个平面的距离，称为两个平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①两个平行平面之间的距离是相等；②在其中一个平面内任意取一点，求这点到另一个平面的距离，就可求出两个平行平面的距离。
2、求两个平行平面距离的基本方法：
（1）求两个平行平面距离的基本思路：在其中一个平面上取一个特殊点，把问题转化为求点到平面距离的问题；
（2）运用空间向量求两个平行平面距离的基本方法是：①在其中一个平面内取一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离，就可求出两个平行平面之间的距离。
【探导考点】
考点1求空间角的余弦值（或正弦值）：热点①求异面直线所成角的余弦值；热点②求直线与平面所成角的正弦值；热点③求平面与平面所成角（或二面角）的余弦值；
考点2求空间距离：热点①求异面直线之间的距离；热点②求点到平面的距离。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD----中，若A=2AB，则异面直线AC，B所成角的余弦值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①正棱柱定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间
向量求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，根据正棱柱的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DB，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，的坐标，求出向量，，运用空间向量求求异面直线所成角余弦值的基本方法,就可求出求异面直线AC与B所成角的余弦值。
【详细解答】如图，设AB=AD=1，ABCD----是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A=2AB，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，2）， =（-1，1，0），=（0，1，-2），异面直线AC与B所成角的余弦值为==，A正确，选A。
2、空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，则AC和BD所成的角为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①空间四边形定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③求异面直线所成角大小的基本方法。
【解题思路】根据空间四边形和异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角大小的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AC与BD所成角的大小，就可得出选项。
【详细解答】如图，连接PQ，QR，PR，
AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC
=4，BD=2，PQ//AC，PQ=AC=2，QR
//BD，QR=BD=，PQR是异面直线AC与BD所成的角，PR=3，cosPQR
==0，PQR=，异面直线AC与BD所成的角为，A正确，选A。
如图在直三棱柱ABC---中，，点，分别是，的中点，BC=CA=C，求直线B与A所成角的余弦值；
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间
向量求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，根据,直三棱柱的性质，结合问题条件得到C⊥CA，C⊥CB，AC⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，，,的坐标，从而得到点、的坐标，求出向量，，运用空间向量求求异面直线所成角余弦值的基本方法,就可求出求异面直线B与A所成角余弦值。
【详细解答】如图，设BC=CA=C=1，ABC---是直三棱柱，C⊥CA，C⊥CB，， AC⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz， A（1，0，0），B（0，1，0），（1，0，1），（0，1，1）,（0，0，1），点，分别是，的中点，（，，1），（，0，1）， =（-，0，1），=（，-，1），异面直线B与A所成角的余弦值为==。
4、如图在三棱锥D—ABC中，DA⊥平面ABC，，，AC=BC，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
【解析】
【知识点】①异面直线所成角定义与性质；②求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角余弦值的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AB与CD所成角的余弦值。
【详细解答】如图，分别取DA，AC，DB的中点E，F，G，连接EF，EG，FG，设AC=BC=1，E，F，G分别是DA，AC，DB的中点，EG//AB，EF//DC，GEF是异面直线AB与CD所成的角，DA⊥平面ABC，，，AB==，DA==，EG=，EF=DC=，FG==，cosGEF
==，异面直线AB与CD所成角的余弦值为。
『思考问题1』
【典例1】是运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解异面直线所成角的定义，掌握运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的基本方法是： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，BD与C所成的角是（ ）（答案：C）
A B C D
2、如图所示，正方体ABCD—中，①AC和D所成角的余弦值是 ；②AC和所成角的余弦值是 ；③AC和所成角的余弦值是 ；④AC和B所成角的余弦值是 ；⑤O为的中点，AC和BO所成角的余弦值是 。（答案：①AC和D所成角的余弦值是0；AC和所成角的余弦值是；AC和所成角的余弦值是0；④AC和B所成角的余弦值是-；⑤AC和BO所成角的余弦值是0）
3、如图正四棱柱ABCD—中，A=2BA.。求异面直线B与A所成角的余弦值。（答案：异面直线AB和PC所成角的余弦值为-）
4、如图在三棱锥P—ABC中，，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
求异面直线AB和PC所成角的余弦值。（答案：异面直线AB和PC所成角的余弦值为）
【典例2】解答下列问题：
1、若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A （0，） B ［0，） C （0，］ D ［0，］
【解析】
【知识点】①直线与平面所成角定义与性质；②确定直线与平面所成角大小的基本方法。
【解题思路】根据直线与平面所成角的性质，运用确定直线与平面所成角大小的基本方法，结合问题条件求出直线a与平面所成角的取值范围，就可得出选项。
【详细解答】当直线a与平面平行时，直线a与平面所成角为0；当直线a与平面垂直时，直线a与平面所成角为；当直线a与平面斜交时，直线a与平面所成角为大于0吗，小于，综上所述，若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是［0，］，D正确，选D。
2、在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，若将ABD沿BD所在直线翻折，使得二面角A—BD—C的大小为，则AD与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①矩形定义与性质；②直线与平面所成角定义与性质；③二面角定义与性质。
【解题思路】如图，根据矩形和二面角的性质，结合问题条件，求出点A到平面BCD的距离，从而求出AD与平面BCD所成角的正弦值就可得出选项。 A
【详细解答】如图，过点A作AE平面BCD于点E，
过点E作EFBD于点F，连接AF，AEBD， B F D
EFBD，EF，AE平面AEF，AEEF=E， E
BD平面AEF，BDAF，AFE=， B
矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，=，AF==，
AE=AF=，AD与平面BCD所成角的正弦值为=，A正确，选A。
如图所示，长方体ABCD—中， z
AB=，BC=A=1，则B与平面
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所成角的正弦值为 。 D Cy
【解析】 x A B
【知识点】①长方体定义与性质；②直线与平面所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间
向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面的法向量=（x，y，z），根据,长方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点B，，,，的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法求出平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直线B与平面所成角的正弦值。
【详细解答】如图，设平面的法向量=（x，y，z），ABCD—是长方体， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，AB=，BC=A=1，B（1，，0），（1，0，1），（1，，1），（0，，1），（0，0，1），=（0，，0），=（-1，0，0），=（-1，-，1），，且，.=0+y+0=0①，. =-x+0+0=0②，联立①②解得：x=0，y=0，z=1，=（0，0，1），直线B与平面所成角的正弦值为==。
4、如图所示，在正方体ABCD—中， z
直线D与平面CD所成角的正弦值为 。
【解析】 D Cy
【知识点】①正方体定义与性质；②直线与平面 A x B
所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面CD的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，根据,正方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点C，D，,的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法求出平面CD的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直线D与平面CD所成角的正弦值。
【详细解答】如图，设平面CD的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，ABCD—是正方体， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，C（0，1，0），D（0，0，0），（1，1，1），（0，1，1），=（0，1，0），=（1，1，1），=（0，1，1），，且，.=0+y+0=0①，. =-x+y+z=0②，联立①②解得：x=-1，y=0，z=1，=（-1，0，1），直线D与平面CD所成角的正弦值为==。
5、如图正方体ABCD—中，E，F z
分别是A，BA.的中点。
求：直线EF与平面AC所成角的正弦值；
【解析】 E D Cy
【知识点】①正方体定义与性质；②直线与平面
所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基
本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标 xA F B
运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面AC的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，根据正方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，的坐标，从而得到点E，F的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法求出平面AC的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直线EF与平面AC所成角的正弦值。
【详细解答】如图，设平面AC的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，ABCD—是正方体， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），E，F 分别是A，BA.的中点，E（1，0，），F（1，，0），=（-1，1，0），=（0，0，1），=（0，，-），，且，.=-x+y+0=0①，. =-0+0+z=0②，联立①②解得：x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），直线EF与平面AC所成角的正弦值为==。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解直线与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值（或所成角大小）的基本方法是：①确定直线与平面 的角，②运用解三角形的知识求直线与平面所成角的 值；
（3）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的正弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图所示，已知ABC为等腰直角三角形，P为
空间一点，且AC=BC=5，PCAC，PCBC， C B
PC=5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角 M
为 。（答案：PM与平面ABC所成的角为） A
2、如图所示在长方体ABCD—中，AB=BC
=2，A=1，则B与平面BD所成角的正弦值
为（ ） （答案：D） D C
A B C D A B
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，各棱长都
相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BC的中心， A D C
则AD与平面BC所成角的大小是 。（答案：AD与平面 B
BC所成角的大小是）
4、已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为，平面内一条直线和斜线在平面内的射影的夹角为。求平面的斜线和平面内的这条直线所成的角。（答案：平面的斜线和平面内的这条直线所成的角为）
【典例3】解答下列问题：
1、在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的大小为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①二面角定义与性质；②确定二面角的基本方法；③求二面角大小的基本方法。
【解题思路】根据二面角的性质，运用确定二面角和求二面角大小的基本方法，结合问题条件，求出锐二面角的大小就可得出选项。
【详细解答】如图，设A为平面内一点，过点A作 B
AB平面于点B，ACl(l为平面与平面的交 C A
线）于点C，连接BC，AB平面于点B，ACl于点C，ACl，ACB是
二面角-l-的平面角，在RtABC中，AC=2AB，ACB=，即二面角的大小为，A正确，选A。
2、如图所示，四边形ABCD是正方形，PA P z
平面ABCD，且PA=AB，则二面角B—PA—C
的大小为 ； A Dy
【解析】 B x C
【知识点】①正方形定义与性质；②二面角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面ABP的法向量=（x，y，z），平面ACP的法向量=（，，），PA=AB=1，根据正方形和直线垂直平面的性质，结合问题条件得到PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，得到点A，B，C，P的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面ABP，平面ACP的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法求出二面角B—PA—C的余弦值，就可求出二面角B—PA—C的大小。
【详细解答】如图，设平面ABP的法向量=（x，y，z），平面ACP的法向量=（，，），PA=AB=1，四边形ABCD是正方形，PA 平面ABCD， PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），=（1，0，0），=（0，0，1），=（1，1，0），，且，.=x+0+0=0①，
. =-0+0+z=0②，联立①②解得：x=0，y=1，z=0，=（0，1，0），，且，.=-0+0+=0③，. =++0=0④，联立③④解得：=-1，=1，=0，=（-1，1，0），二面角E--BD--C的余弦值为=
=，二面角E--BD--C的大小为。
3、如图已知在长方体ABCD----中，AB=2，BC=B=1，E为的中点。 求二面角E—BD—C的正切值。
【解析】
【知识点】①长方体定义与性质；②二面角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面BDE的法向量=（x，y，z），平面BCD的法向量=（，，），根据长方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点B，D，,，E的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面AB，平面PB的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法求出二面角E—BD—C的余弦值，从而求出二面角E—BD—C的正切值。
【详细解答】如图，设平面BDE的法向量=（x，y，z），平面BCD的法向量=（，，），ABCD----是长方体， D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向
量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向 z E
建立空间直角坐标系D-xyz，AB=2，BC=B=1，
B（1，2，0），D（0，0，0），C（0，1，0），（0， D Cy
2，1)，（0，0，1），E是的中点，E（0，1， A x B
1），=（0，1，1），=（1，1，0），=（0，1，0），，且，
.=0+y+z=0①，. =-x+y+0=0②，联立①②解得：x=1，y=--1，z=1，=（1，-1，1），，且，.=-++0=0③，. =-0++0=0④，联立③④解得：=0，=-0，=1，=（0，0，1），二面角E--BD--C的余弦值为
==，二面角E--BD--C的正弦值为 =，二面角E--BD--C的正切值为=。
如图在棱长为1的正方体ABCD----中，P是AD的中点。求二面角A--B
-P的余弦值。
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②二面角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面AB的法向量=（x，y，z），平面PB的法向量=（，，），根据正方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，D，，P的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面AB，平面PB的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角A—B—P的余弦值。 z
【详细解答】如图，设平面AB的法向量=（x，y，z），平
面PB的法向量=（，，），ABCD----是 P D Cy
棱长为1的正方体， D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为 x A B
原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），（0，0，1），P是AD的中点，P（，0，0），=（0，1，0），=（-1，-1，1），=（-，-1，0），，且，.=0+y+0=0①，. =-x-y+z=0②，联立①②解得：x=1，y=-0，z=1，=（1，0，1），，且，.=--+=0③，. =--+0=0④，联立③④解得：=2，=-1，=1，=（2，-1，1），二面角A--B--P的余弦值为
== 。
5、如图底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC---中，，A=AC，D 是C的中点。
（1）求证：平面AD⊥平面AB；
（2）求：二面角B--D—A的余弦值。
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③二面角定义与性质；
④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤空间向量定义与性质；⑥空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑦运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑧运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法；⑨运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设平面AD的法向量=（x，y，z），平面AB的法向量=（，，），A=AC=1，根据直三棱柱和等腰直角三角形的性质，结合问题条件得到C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，C，，，D的坐标，求出向量，，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面AD，平面AB的法向量，利用空间向量证明平面垂直平面的基本方法，就可证明平面AD⊥平面AB；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），根据（1）求出向量，运用平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角B—D—A的余弦值。
【详细解答】（1）如图，设平面AD的法向量=（x，y，z），平面AB的法向量=（，，），A=AC=1，ABC---是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，，
D 是C的中点，C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（0，1，1），（,0，0，1），D（0，0，），=（1，0，-），
=（0，1，），=（1，-1，0），=（0，0，1），，且，.=-x+0-z=0①，. =0+y+z=0②，联立①②解得：x=1，y=-1，z=2，=（1，-1，2），，且，.=--+0=0③，. =0+0+=0④，联立③④解得：=1，=1，=0，=（1，1，0），.=1-1+0=0，平面AD⊥平面AB；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），=（0，1，-），，且，.=0+y-z=0①，. =0+y+z=0②，联立①②解得：x=1，y=0，z=0，=（1，0，0），二面角B—D—A的余弦值为==。
6、如图，直三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D⊥BD.
（1）证明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的余弦值。
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面性质定理及运用；④二面角定义与性质；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥空间向量定义与性质；⑦空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑧运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑨运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据直三棱柱的性质，结合问题条件得到D⊥DC，运用直线垂直平面的判定定理证明D⊥平面BCD，利用直线垂直平面性质定理就可证明D⊥BC；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），平面BD的法向量=（，，），根据直线垂直平面判定定理，得到BC⊥平面AC，从而得到C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，C，，D，的坐标，求出向量|，，，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法与球平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，平面BD的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角—BD—的余弦值。
【详细解答】（1）直三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D+DC=C，D⊥DC，D⊥BD，DC，BD平面BCD，DCBD=D，D⊥平面BCD，BC平面BCD，D⊥BC；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），平面BD的法向量=（，，），AC=BC=1，C⊥BC,C，D平面AC，CD=，BC⊥平面AC，C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（1，0，2），D（1，0，1），（,0，0，2），
=（-1，1，-1），=（0，0，1），=（-1，0，1），，且，.=-x+y-z=0①，. =0+0+z=0②，联立①②解得：x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），，且，.=-+-=0③，. =--+0+=0④，联立③④解得：=1，=2，=1，=（1，2，1），二面角—BD—的余弦值为
==。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解平面与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，截面BD与底面ABCD所成二面角—BD—A的正切值等于（ ）（答案：B）
A B C D
2、如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC, BAC=，则二面角B—PA—C的大
小等于 ； A C
（答案：二面角B—PA—C的大小等于） B
3、直三棱柱ABC---中，AC⊥BC，
AC=BC=C，E、F分别是B、的 F
中点。
（1）求证：EF∥平面AC； E
（2）求证：EF⊥平面BC； C
（3）求二面角A--B—C的余弦值。 A B
（答案：（1）提示：以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，证明向量与平面AC法向量的数量积为0；（2）提示：证明向量与平面BC法向量平行；（3）二面角A--B—C的余弦值为）
4、如图在三棱锥P—ABC中，， P
PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
（1）求直线AB和直线PC所成角余弦值； A C
（2）求PC和平面ABC所成角的正弦值； B
（3）求二面角A—PC—B的余弦值。 （答案：（1）直线AB和直线PC所成角余 弦值为-；（2）PC和平面ABC所成角的正弦值为；3）二面角A—PC—B的余弦值为）
【典例4】解答下列问题：
1、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，底边BC=6，AB=5，则点P到BC的距离为（ ）
A 4 B C 3 D 2
【解析】
【知识点】①三棱锥定义与性质；②点到直线距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求点到直线距离的基本方法。
【解题思路】如图，取BC的中点D，连接PD，过点A作AEAB与点A，根据直线垂直平面的性质，得到PAAB，PAAE，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，得到点A，B，C，P的坐标，从而得到点D的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，得到PDBC，求出||的值，求出点P到BC的距离，就可得出选项。 P z
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接PD，
过点A作AEAB与点A，PA平面ABC，
AE，AC平面ABC，PAAB，PAAE， A D Cy
以A为原点，向量，，分别为 E x B
x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，三角形ABC是等腰三角形，，PA=8，底边BC=6，AB=5，P（0，0，8），C（0，5，0），B（，，0），D（，，0），=（-，，0），=（，，-8），.=-++0=0，
PDBC，点P到BC的距离为||== 4，A正确，选A。
2、如图在正方体ABCD---中，棱 z
长为1。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与之间的距离；
（3）异面直线A与C之间的距离。 D Cy
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线之 A x B
间距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明ABBC，CBC，得到BC是异面直线AB和C的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AB与C之间的距离；（2）如图，根据（1）得到点的坐标，求出向量，，运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明ABA，A，得到A是异面直线AB和的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AB与之间的距离；（3）
如图，根据（1）得到点D，，的坐标，求出向量，，， 运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明ADC，CDC，得到DC是异面直线A与C的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线A与C之间的距离。
【详细解答】（1）如图，ABCD---是棱长为1的正方体，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，1，1）， =（0，1，0），=（-1，0，0），=（0，0，1）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ABBC，CBC，BC是异面直线AB和C的共垂线段，异面直线AB与C之间的距离为||==1；（2）如图，（1，0，1）， =（0，0，1），=（-1，1，0）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ABA，A，A是异面直线AB和的共垂线段，异面直线AB与之间的距离为||==1；（2）如图，D（0，0，0），（0，0，1），（1，1，1）， =（0，1，0），=（-1，0，1），=（1，0，1）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ADC，CDC，DC是异面直线A和C的共垂线段，异面直线A与C之间的距离为||==1。 z
3、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a。 E
求：（1）异面直线AB与C之间的距离； F
（2）异面直线AC与D之间的距离。 D C y
【解析】 A x O B
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线之间距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，连接B交C于点E，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，，的坐标，从而得到E的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明BEAB，BEC，得到BE是异面直线AB和C的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AB与C之间的距离；（2）如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，过点C作CFD于点F，连接OF，设F（，，），根据（1）得到点D的坐标，从而得到点O，F的坐标，求出向量，，，运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明OFAC，OFD，得到OF是异面直线AC和D的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AC与D之间的距离。
【详细解答】（1）如图，连接B交C于点E，ABCD---是棱长为a的正方体，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），（a，a，a），（0，a，a），E是棱B的中点， E（a，a，a），=（0，a，0），=（a，0，a），=（-a，0，a）， . = 0+0+0=0， . =- +0+=0， BEAB，BEC，BE是异面直线AB和C的共垂线段，异面直线AB与C之间的距离为||==a；（2）如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，过点C作CFD于点F，连接OF，设F（，，），D（0，0，0），=（-a，a，0），=（a，a，a），=（，，）=（ta，ta，ta），=（ta，ta-a，ta），CFD，.=t+t-+t=0，t=，F=（a，a，a），点O是AC的中点，O（a，a，0），=（-a，-a，a）， . = - +0=0， . =- -+
=0， OFAC，OFD，OF是异面直线AC和D的共垂线段，异面直线AC与D之间的距离为||==a。
4、如图已知正方体ABCD---的棱长为a，M是棱A的中点，点O是对角线B的中点。 z
（1）证明OM是异面直线A和B的共垂线；
（2）求异面直线A和B的距离。
【解析】 M O
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线
之间距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的 D C y
基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐 A x B
标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，D，，的坐标，从而得到M，O的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明OMA
，OMB，就可证明OM是异面直线A和B的共垂线；（2）根据（1）得到线段OM是异面直线A和B的共垂线段，运用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出||的值，就可求出异面直线A和B的距离。
【详细解答】（1）如图，ABCD---是棱长为a的正方体，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），D（0，0，0），（a，0，a），（0，0，a），M是棱A的中点，点O是对角线B的中点， M（a，0，a），O （a，a，a），=（0，0，a），=（-a，-a，a），=（a，-a，0），
. = 0+0+0=0， . =- ++0=0， OMA，OMB
， 即 OM是异面直线A和B的共垂线；（2）由（1）知 OM是异面直线A和B的共垂线段， 异面直线A和B的距离为|| ==a。
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用空间向量求异面直线直角距离的问题，解答这类问题需要理解异面直线之间距离的定义，掌握运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定两条异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式，求出公垂线段的长就可求出异面直线之间的距离。
〔练习4〕解答下列问题：
如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。 D C
（答案：1）异面直线A和的距
离为a；（2）求异面直线AB和的距 A B
离为b。）
2、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a，M、N分别是AB、BC的中点。
求：（1）异面直线D与MN所成角的大小；
（2）异面直线B与MN之间的距离。
（答案：（1）异面直线D与MN所成角的大 D C
小为；（2）异面直线B与MN之间的距 A M B N
离为a）
【典例5】解答下列问题：
1、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E为C的中点，则直线A与平面BED的距离为（ ）
A 2 B C D 1
【解析】 A B
【知识点】①正方体定义与性质；②直线到平面距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，连接OE，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，D的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面ABC的法向量，利用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出点D到平面ABC的距离，就可得出选项。
【详细解答】如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，连接OE，设平面BED的法向量=（x，y，z），ABCD—是正四棱柱，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角 坐标系D-xyz，E为C的中点，OE//A， z
EMBED Equation.DSMT4 OE平面BED，A平面BED，A
∥平面BED，直线A与平面BED的距离， E
点A到平面BED的距离，AB=2，C=2，
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， D O Cy
D（0，0，0），E（0，2，），=（2， Ax B
2，0），=（0，2，），=（0，2，0），，且，.=2x+2y+0=0①，. =0+2y+z=0②，联立①②解得：x=，y=-，z=1，=（，-，1）， 点A到平面BED的距离为||==1，D正确，选D。
2、已知直二面角—l—，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A B C D 1
【解析】 A B
【知识点】①直二面角定义与性质；②点到平面距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】如图，过点C在平面内作EC//BD，根据直二面角的性质，建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，C，D的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面ABC的法向量，利用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出点D到平面ABC的距离，就可得出选项。
【详细解答】如图，过点C在平面内作EC//BD，
设平面ABC的法向量=（x，y，z），BDl， Az
二面角—l—为直二面角，CEl，以C为 C D y
原点，向量，，分别为x轴，y轴，z x B
轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，AB=2，
AC=BD=1，A（0，0，1），B（1，，0），C（0，0，0），D（0，，0），=（1，，-1），=（0，0，-1），=（0，，-1），，且，.=x+y-z=0①，. =0+0-z=0②，联立①②解得：x=-，y=1，z=0，=（-，1，0），D到平面ABC的距离为==，C正确，选C。
3、如图在四棱锥P—ABCD中，底面四边形 P z
ABCD是边长为4的菱形，并且，
PA=3，PA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点， H
OE⊥PC于E。 A E Dy
求：（1）点P到CD的距离； O F
（2）异面直线PC，BD之间的距离； B x C
（3）点B到平面PCD的距离；
【解析】
【知识点】①四棱锥定义与性质；②菱形定义与性质；③点到直线距离定义与性质；④异面直线之间距离定义与性质；⑤点到平面距离定义与性质；⑥建立空间直角坐标系的基本方法；⑦空间向量定义与性质；⑧空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑨运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑩运用空间向量求空间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，过点A作AG⊥AD于点A，交BC于点G，取CD的中点F，连接PF，AF，根据直线垂直平面和菱形的性质，结合问题条件得到PA⊥AG，PA⊥AD，PA⊥AC，PC=PD，从而得到PF⊥CD，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，得到点P，B，C，D，F的坐标，求出|PF|就可求出点P到CD的距离；（2）根据（1）得到BO⊥平面PAC，从而得到BO⊥OE，OE是异面直线PC，BD的公垂线段，求出|OE|就可求出求出异面直线PC，BD之间的距离；（3）过点A作AH⊥PC与点H，得到AH⊥CD，从而得到AH⊥平面PCD，运用空间这类证明直线平行平面的基本方法，得到AB//平面PCD，求出点A到平面PCD的距离，就可求出点B到平面PCD的距离。
【详细解答】（1）如图，过点A作AG⊥AD于点A，交BC于点G，取CD的中点F，连接PF，AF，PA⊥底面ABCD，AG，AD，AC平面ABCD，PA⊥AG，PA⊥AD，PA⊥AC，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，
PA=3，四边形ABCD是边长为4的菱形，并且，ABC=，AC=AD，PACPAD，PC=PD，PF⊥CD，点P到CD的距离为线段PF的长，P（0，0，
3），D（0，4，0），C（2，2，0），F（，3，0），点P到CD的距离为|PF|
==；（2）设E（x,y,z）,BD⊥AC，BD⊥PA，PA，AC平面PCD，PAAC=A，BD⊥平面PAC，BD⊥OE，OE⊥PC，OE是异面直线BD，PC的公垂线段，异面直线PC，BD之间的距离为|OE|，=（2，2，-3），=（x,y,z-3）,点E在PC上，E（2t，2t，3-3t），O（，1，0），=（2t-，2t-1，3-3t），OE⊥PC，
12t-6+4t-2-9+9t=25t-17=0，t=，E（，，），异面直线PC，BD之间的距离为|OE|==；（3）过点A作AH⊥PC与点H，设平面PCD的法向量=（x，y，z），H（，，），AB//CD，CD平面PCD，AB平面PCD，AB//平面PCD，点B到平面PCD的距离，点A到平面PCD的距离，CD⊥PF，CD⊥AF，PF，AF平面PAF，PFAF=F，CD⊥平面PAF，CD⊥AH，CD，PC平面PCD，CDPC=C，AH⊥平面PCD，点A到平面PCD的距离为|AH|，=（2，2，-3），=（0,4,-3）,，且，.=2x+2y-3z=0①，. =0+4y-3z=0②，联立①②解得：x=，y=，z=1，=（，，1），点H在PC上，AH⊥PC，H（，，），=（，，），点A到平面PCD的距离为
==，即点B到平面PCD的距离为。
4、如图设是平面的单位法向量，AB是 B
平面的一条斜线，其中A∈。
（1）求AB与平面所成角的正弦值；
（2）求点B到平面的距离； A
【解析】
【知识点】①平面法向量定义与性质；②直线与平面所成角定义与性质；③点到平面距离定义与性质；④运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法；⑤运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据平面法向量和直线与平面所成角的性质，运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出AB与平面所成角的正弦值；（2）根据点到平面距离的性质，运用空间向量求点到平面距离的基本方法，就可求出点B到平面的距离。
【详细解答】（1）如图，平面的法向量为，AB是平面的一条斜线，其中A∈，AB与平面所成角的正弦值为||；（2）如图，平面的法向量为，AB是平面的一条斜线，其中A∈，点B到平面的距离为||。
5、如图已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的 P z
高分别为1，2，AB=4。
（1）证明：PQ⊥平面ABCD； D C
（2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值；
（3）求点P到平面QAD的距离 。 O
【解析】 x A B y
【知识点】①正四棱锥定义与性质；②点到平面
平面之间距离定义与性质；③建立空间直角坐系 Q
的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线所成角余弦值的基本方法；⑧运用空间向量求平面法向量的基本方法；；⑨运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，根据正四棱锥的性质，建立空间直角坐标系O-xyz，得到点A，B，C，D，P，Q的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，得到PQ⊥AC，PQ⊥BD，就可证明PQ⊥平面ABCD；（2）根据（1）求出向量，，运用空间向量求异面直线所成角余弦值的基本方法，就可求出异面直线AQ与PB所成角的余弦值；（3）根据（1）求出向量，，运用空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面QAD的法向量，利用空间向量求点到平面距离的基本方法，就可求出点P到平面QAD的距离。
【详细解答】如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，四棱锥P—ABCD与Q—ABCD均为正四棱锥，点O在PQ上，ACBD，以O为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1，2，AB=4，A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），P（0，0，1），Q（0，0，-2），=（-4，0，0），=（0，-4，0），=（0，0，-3），.=0+0+0=0，.=0+0+0=0，PQ⊥AC，PQ⊥BD，
AC，BD平面ABCD，ACBD=O，PQ⊥平面ABCD；（2）由（1）得：=（-2，0，-2)，=（0，2，-1），异面直线AQ与PB所成角的余弦值为||
==；
设平面QAD的法向量=（x，y，z），由（1）得：=（2，2，0)，
=（0，2，-2），，且，.=2x+2y+0=0①，. =0+2y-2z=0②，联立①②解得：x=1，y=-1，z=-，=（1，-1，-），
=（0，0，-3），点P到平面QAD的距离为||==。
z
6、如图在棱长为2的正方体ABCD--中 ，
G是A的中点。 G
求：BD到平面G的距离； D C y
【解析】 xA B
【知识点】①长方体定义与性质；②直线与平面之间距离定义与性质；③建立空间直角坐标
系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量证明平面平行平面的基本方法；⑧运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】如图，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，D，，，的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，，由空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面G的法向量，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明BD∥平面G，从而问题转化为求点B到平面G的距离，求出向量， 由用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出点B到平面G的距离，就可求出直线BD到平面G的距离。
【详细解答】如图，设平面BP的法向量=（x，y，z），ABCD--是正方体，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，正方体ABCD--的棱长为2，G是A的中点，A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），（2，0，2），（2，2，2），（0，0，2），G（2，0，1），=（0，2，1），=（-2，0，1），=（-2，-2，0），=（-2，-2，2），
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，且，.=0+2y+z=0①，. =-2x+0+z=0②，联立①②解得：x=1，y=-1，z=2，=（1，-1，2），.=-2+2+0=0，，BD平面G，BD∥平面G，BD到平面G的距离，点B到平面G的距离，点B到平面G的距离为||==，BD到平面G的距离为。
如图斜三棱柱ABC--的侧面AC与
底面ABC垂直
【考纲解读】
理解并掌握空间向量的定义与性质，掌握空间向量坐标运算的法则和基本方法；
理解异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角的定义，能够运用空间向量的坐标运算求异面直线所成角的余弦值，直线与平面所成角的正弦值，平面与平面所成角的余弦值；
理解异面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间距离的定义，能够运用空间向量的坐标运算求面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间的距离。
【知识精讲】
一、空间角：
（一）异面直线所成的角：
1、异面直线所成角的意义：
（1）异面直线所成角的定义：设a、b是异面直线，在空间任取一点O，过O作∥a,
∥b,则与所成的角，称为异面直线a与b所成的角（或称为异面直线a与b的夹角）；
（2）异面直线所成角的取值范围：如果是异面直线a与b所成的角，则（0，]；
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两异面直线a与b所成的角=，则称异面直线a、b互相垂直，记作ab；
2、求异面直线所成角余弦值的基本方法：
（1）异面直线所成角的确定：
设a、b是异面直线，由异面直线所成角的定义，
确定异面直线所成的角时，可以在空间任取一点 a
O，过点O分别作∥a, ∥b,则与所成
的角就是异面直线a、b所成的角，在处理实际问题时 b
为使问题简便，所取空间的任意点O可以在直线a O
(或b)上取一特殊点，过这一点作另一直线的平行
线，则所得的角为所求。
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值的基本方法： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值。
(二)直线与平面所成的角：
1、直线与平面所成角的定义：
（1）直线与平面所成角的定义：直线与平面斜交时，直线和它在平面内射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角；
（2）理解直线与平面所成角定义时应该注意的问题：①平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成角中的最小角；②直线与平面所成角是斜线与它在平面射影所锐成角；
（3）直线与平面所成角的特例：①如果直线垂直于平面，则直线和平面所成的角是直角；②如果直线在平面内，则直线和平面所成的角为角；
（4）直线与平面所成角的取值范围：如果设直线与平面所成的角为，则[0，]。
2、求直线与平面所成角正弦值的基本方法：
（1）判定直线与平面的位置关系；
（2）直线与平面所成角的确定：在确定直线与平面斜交时， P
如图在斜线上任意取一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂
足，设斜线与平面相交于点B，连接AB，则是直线与
平面所成的角； A B
（3）运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法是：
①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值。
(三)平面与平面所成的角（二面角）：
1、平面与平面所成角的定义：
（1）半平面的定义：平面内一条直线把平面分成两部分，其中的一部分叫做半平面；
（2）平面与平面所成角的定义：两个平面的交线与这两个平面各自的一个半平面所组成的图形，叫做平面与平面所成的角，也称为二面角；
（3）平面与平面所成角的表示：设平面∩平面=l，则平面与平面所成的角可以表示为-l-；
（4）平面与平面所成角的特例：①两个平面互相垂直时，平面与平面所成的角为；②两个平面重合（或平行）时，平面与平面所成的角为；
（5）平面与平面所成角的取值范围：设平面与平面所成的角为，则[0，）；
2、求平面与平面所成角（或二面角）余弦值的基本方法：
二面角的平面角：如图在两个平面的交线上任意
取一点O，过O分别向两个半平面作垂线OA、OB,则 B
为二面角的平面角； O A
（2）运用空间向量求平面与平面所成角（或二面角）
余弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值。
二、空间距离：
（一）异面直线的距离：
1、异面直线距离的定义：
（1）异面直线距离的定义：两条异面直线的公垂线段的长，称为两条异面直线的距离；
（2）理解定义时应该注意的问题：①定义中异面直线的距离是公垂线段的长，而不是公垂线段，②注意分辨公垂线段的长和公垂线段的不同含义，公垂线段是一个几何图形，公垂线段的长为线段的度量，是一个数。
2、异面直线距离的求法：
（1）确定两条异面直线公垂线段：利用证明直线垂直直线的方法，在图像中找出两条异面直线的公垂线段；
（2）运用空间向量求异面直线距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式求出异面直线的距离。
（二）点到平面的距离： P
1、点到平面距离的定义：
（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引平面
的一条垂线，这个点与垂足之间的距离，称为点到 A B
平面的距离；
(2)理解定义应注意的问题：①平面外一点到平面的正射影是过该点向平面作垂线的垂足；②点到平面的距离实际上是过该点的平面的垂线段的长。
2、求点到平面的距离的基本方法：
（1）确定点在平面内的正射影：过该点作平面的垂线的垂足就是点在平面内的正射影；
（2）运用空间向量求点到平面距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内取一点和两条相交的直线与；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出直线与的方向向量与（注意两点的顺序），并求出给定点与所取点的方向向量；④根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤运用公式d=求出点到平面的距离。
（三）直线到平行平面的距离：
1、直线到平行平面距离的定义：
（1）直线到平行平面距离的定义：直线上任意一点到平行平面的距离，称为直线到平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①当直线平行平面时，直线上的点到平面的距离是相等；②求直线到平行平面的距离时，只需在直线上任意取一点，求这一点到平面的距离就是直线到平行平面的距离。
2、直线到平行平面距离的基本方法：
（1）求直线到平行平面距离的基本思路：在直线上找一个特殊的点，把问题转化为求点到平面的距离的问题；
（2）运用空间向量求直线到平行平面距离的基本方法是：①在直线找一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离就可求出直线到平行平面的距离。
(四)两个平行平面的距离：
1、两个平行平面距离的定义：
（1）两个平行平面距离的定义：在其中一个平面上任取一点，该点到另一个平面的距离，称为两个平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①两个平行平面之间的距离是相等；②在其中一个平面内任意取一点，求这点到另一个平面的距离，就可求出两个平行平面的距离。
2、求两个平行平面距离的基本方法：
（1）求两个平行平面距离的基本思路：在其中一个平面上取一个特殊点，把问题转化为求点到平面距离的问题；
（2）运用空间向量求两个平行平面距离的基本方法是：①在其中一个平面内取一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离，就可求出两个平行平面之间的距离。
【探导考点】
考点1求空间角的余弦值（或正弦值）：热点①求异面直线所成角的余弦值；热点②求直线与平面所成角的正弦值；热点③求平面与平面所成角（或二面角）的余弦值；
考点2求空间距离：热点①求异面直线之间的距离；热点②求点到平面的距离。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，则AC和BD所成的角为（ ）
A B C D
2、如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD----中，若A=2AB，则异面直线AC，B所成角的余弦值为（ ）
A B C D
3、如图在直三棱柱ABC---中，，点、分别是、的中点，BC=CA=C，求直线B与A所成角的余弦值；
如图在三棱锥D—ABC中，DA⊥平面ABC，，，AC=BC，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
『思考问题1』
【典例1】是运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解异面直线所成角的定义，掌握运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的基本方法是： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，BD与C所成的角是（ ）
A B C D
如图所示，正方体ABCD—中，①AC和D所成的角是 度；②AC和所成的角是 度；③AC和所成的角是 度；④AC和B所成的角是 度；⑤O为的中点，AC和BO所成的角是 度。
3、如图正四棱柱ABCD—中，A=2BA.。求异面直线B与A所成角的余弦值。
4、如图在三棱锥P—ABC中，，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
求异面直线AB和PC所成角的余弦值。
【典例2】解答下列问题：
1、若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A （0，） B ［0，） C （0，］ D ［0，］
2、在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，若将ABD沿BD所在直线翻折，使得二面角A—BD—C的大小为，则AD与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A B C D
3、如图所示，长方体ABCD—中，
AB=，BC=A=1，则B与平面 D C
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所成角的大小为 。 A B
4、如图所示，在正方体ABCD—中， D C
直线D与平面CD所成的角为 。 A B
5、如图正方体ABCD—中，E、F
分别是A、BA.的中点。
求：直线EF与平面AC所成角的正弦值；
E D C
A F B
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解直线与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值（或所成角大小）的基本方法是：①确定直线与平面 的角，②运用解三角形的知识求直线与平面所成角的 值；
（3）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的正弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图所示，已知ABC为等腰直角三角形，P为
空间一点，且AC=BC=5，PCAC，PCBC， C B
PC=5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角 M
为 。 A
2、如图所示在长方体ABCD—中，AB=BC
=2，A=1，则B与平面BD所成角的正弦值
为（ ） D C
A B C D A B
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，各棱长都
相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BC的中心， A D C
则AD与平面BC所成角的大小是 。 B
4、已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为，平面内一条直线和斜线在平面内的射影的夹角为。求平面的斜线和平面内的这条直线所成的角。
【典例3】解答下列问题：
1、二面角是指（ ）
A 一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 B一个半平面与另一个半平面组成的图形 C从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D两个相交的平行四边形组成的图形
2、下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直；则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上位置没有关系，其中正确的是（ ）
A ①③ B ②④ C ③④ D ①②
3、在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的大小为（ ）
A B C D
4、如图所示，四边形ABCD是正方形，PA P
平面ABCD，且PA=AB，则二面角B—PA—C
的大小为 ； D C
5、如图已知在长方体ABCD----中 A B
AB=2，BC=B=1，E为的中点。 求二面角E—BD—C的正切值。
6、如图在棱长为1的正方体ABCD----中，P是AD的中点。求二面角A--B--P的余弦值。
7、如图底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC---中，，A=AC，D 是C的中点。
（1）求证：平面AD⊥平面AB；
（2）求：二面角B--D—A的余弦值。
8、如图已知三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D⊥BD.
（1）证明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的余弦值（2012全国高考新课标卷）
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解平面与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，截面BD与底面ABCD所成二面角—BD—A的正切值等于（ ）
A B C D
2、如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC, BAC=，则二面角B—PA—C的大
小等于 ； A C
直三棱柱ABC---中，AC⊥BC， B
AC=BC=C，E，F分别是B、的
中点。 F
（1）求证：EF∥平面AC； E
（2）求证：EF⊥平面BC； C
（3）求二面角A--B—C的余弦值； A P B
4、如图在三棱锥P—ABC中，，
PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
（1）求直线AB和直线PC所成角余弦值；
（2）求PC和平面ABC所成角的正弦值； A B
（3）求二面角A—PC—B的余弦值。 C
【典例4】解答下列问题：
1、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，底边BC=6，AB=5，则点P到BC的距离为（ ）
A 4 B C 3 D 2
2、如图在正方体ABCD---中，棱
长为1。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与之间的距离；
（3）异面直线A与C之间的距离。 D C
A B
3、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与D之间的距离。
D C
A B
4、如图已知正方体ABCD---的棱长为
a，M是棱A的中点，点O是对角线B的
中点。
（1）证明OM是异面直线A和B的共垂线；
（2）求异面直线A和B的距离。 M O
D C
A B
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用空间向量求异面直线直角距离的问题，解答这类问题需要理解异面直线之间距离的定义，掌握运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定两条异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式，求出公垂线段的长就可求出异面直线之间的距离。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。
D C
A B
2、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a，M、N分别是AB、BC的中点。
求：（1）异面直线D与MN所成角的大小；
（2）异面直线B与MN之间的距离。
D C
N
【典例5】解答下列问题： A M B
1、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E为C的中点，则直线A与平面BED的距离为（ ）
A 2 B C D 1
2、已知直二面角—l—，点A，ACl，C为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A B C D 1
3、如图在四棱锥P—ABCD中，底面四边形 P
ABCD是边长为14的菱形，并且，
PA=3，PA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点，
OE⊥PC于E。 A E D
求：（2）点P到CD的距离； O
（3）异面直线PC、BD之间的距离； B C
（3）点B到平面PCD的距离； B
4、如图设是平面的单位法向量，AB是
平面的一条斜线，其中A∈。
（1）求AB与平面所成的角； A
（2）求点B到平面的距离；
5、如图已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的 P
高分别为1，2，AB=4。
（1）证明：PQ⊥平面ABCD； D C
（2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值；
（3）求点P到平面QAD的距离（2012广东中山二模）
A B
Q
6、如图在棱长为2的正方体ABCD--中 ，
G是A的中点。 G
求：BD到平面G的距离； D C
A B
7、如图斜三棱柱ABC--的侧面AC与
底面ABC垂直，，BC=2，AC=2。
求：侧棱B到侧面AC的距离。
A C
B
8、如图在长方体ABCD--中 ，AB=4，
Bc=3，C=2。
（1）求证：平面B∥平面AC； D C
（2）求：平面B与平面AC的距离； A B
9、如图在正方体ABCD--中 ，M，N，
P分别是C，，的中点。
（1）求证：AP⊥MN； M
（2）求证：平面MNP∥平面BD； D P N C
（3）求平面MNP与平面BD的距离。 A B
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用空间向量求点到平面距离的问题，解答这类问题需要理解点到平面距离的定义，掌握运用空间向量求点到平面距离的基本方法；
（2）运用空间向量求点到平面的距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内取一点和两条相交的直线与；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出直线与的方向向量与（注意两点的顺序），并求出给定点与所取点的方向向量；④根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤运用公式d=求出点到平面的距离。
〔练习5〕解答下列问题： P
1、如图所示，平面内有Rt，，
P是平面外一点，且PA=PB=PC，P到平面
EMBED Equation.DSMT4 的距离为40cm，AC=18cm，求点P到边BC A B
的距离。（答案：点P到BC的距离为41cm）
2、如图已知ABCD是边长为4的正方形，E，F C G
分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且
GC=2.
求：点B到平面EFG的距离。 D C
F
A E B
3、如图在长方体ABCD—中 ，AB=4，
Bc=3，C=2。 D C
求：直线BD到平面A的距离。 A B
4、如图斜三棱柱ABC--的侧面AC与
底面ABC垂直， AC=，A=2。 A C
求直线到底面ABC的距离。 B
5、如图在三棱柱ABC-- 中，，
EMBED Equation.DSMT4 ，，侧棱的长为1，
求平面ABC到平面的距离。 A B
【雷区警示】 C
【典例6】解答下列问题：
如图所示，在空间直角坐标系中，有直三棱锥 B z
ABC-，AC=C=2BC，则直线B与 C y
A夹角的余弦值是 。 x A
正方体ABCD--的棱长为a ，求异面直线和B之间的距离。
『思考问题6』
【典例6】是解答运用空间向量求空间角的余弦值（或正弦值）和求空间距离问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视空间角的取值范围，导致解答问题出现错误；②忽视异面直线之间距离的定义，导致解答问题出现错误；
（2）解答运用空间向量求空间角的余弦值（或正弦值）和求空间距离问题时，为避免忽视空间角的取值范围的雷区，需要正确理解空间角的定义，注意个空间角的取值范围；
（3）解答运用空间向量求空间角的余弦值（或正弦值）和求空间距离问题时，为避免忽视异面直线之间距离的定义的雷区，需要正确理解异面直线之间距离的定义，注意公垂线段和公垂线段长的不同含义。
〔练习6〕解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD—中，点M，N分别
是棱A 和B的中点。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
2、如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。
D C
A B
【追踪考试】
【典例7】解答下列问题：
1、在长方体ABCD—中，已知D与平面ABCD和平面AB所成的角均为，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A AB=2AD B AB与平面AD所成的角为
C AC=C D D与平面BC所成的角为
2、已知正方体ABCD—，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 直线B与D所成的角为 B 直线B与C所成的角为
C 直线B与平面BD所成的角为 D 直线B与平面ABCD所成的角为
3、在正方体ABCD—中，P为的中点，则直线PB与A所成的角为（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
4、已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③MFN的余弦值的取值范围为［0，）；④FMN周长的最小值为+1.其中正确结论的个数为（ ）（2021成都市高三二诊）
A 1 B 2 C 3 D 4
5、（理）在正方体ABCD-中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面使
P//平面，Q//平面，若直线平面=M，则的值为（）
A B C D
（文）如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PA=AD=2，AB=1，则点A到平面MBC的距离为（）（2020成都市高三二诊）
A B C D
（理科图）（文科图）
6、如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，ABAC，ABAD，CAE
=，则cosFCB= （2020全国高考新课标I）
7、日 是中国古代用来测量时间的仪器，利用与 面垂直的 针投射到 面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的维度上指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日 ，若 面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬，则 针与点A处的水平面所成角为（ ）（2020全国高考新高考I）
A B C D
『思考问题7』
（1）【典例7】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末调研考试）试卷中与空间角（或空间距离）相关的问题，归结起来主要包括：①异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③平面与平面所成的角；④异面直线之间的距离；⑤直线到平行平面的距离；⑥平面到平行平面的距离等几种类型；
（2）解答空间角（或空间距离）问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类问题的解题思路和解答问题的基本方法，对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、如图，已知正方体ABCD—的棱长为2，点E，F，G，H，I分别为线段，
，B，BC，的中点，连接C，，C，DE，BF，CI，EH，则下列正确结论的序号是 。①点E，F，G，H在同一个平面上；②直线DE，BF，CI相交于同一点；③直线BF与直线C所成角的余弦值为；④该正方体过EH的截面的面积最大值为3（成都市高2021级201-2022高一下期期末名校联盟考试）
2、（理）如图，—MN—为，OMN，A，B，BON=AOM=，OA=OB=，则AB=（ ）
A B 2 C D
（文）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（ ）（成都市高2019级2018-2019成都市高一下期期末考试）
A B C D
3、（理）三棱柱ABC---底面是边长为1的正三角形，高A=1，在AB上取一点P，设P与底面的二面角为，P与底面的二面角为，则tan(+)的最小值为（ ）
A - B - C - D -
（文）在棱长为a的正方体ABCD----内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的A，BC的中点P，Q作直线，该直线被球面截在球内的线段长为（ ）（成都市高2019级2018-2019成都市高一下期期末考试）
4、已知ACB=，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 （2019全国高考新课标I）
5、在长方体ABCD—中，已知底面ABCD为正方形，P为的中点，AD=2，A=，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC=QP，则线段BQ的长度的最大值为 （2018成都市高三一诊）
空间向量运用-空间角（或距离）
【考纲解读】
理解并掌握空间向量的定义与性质，掌握空间向量坐标运算的法则和基本方法；
理解异面直线所成角，直线与平面所成角，平面与平面所成角的定义，能够运用空间向量的坐标运算求异面直线所成角的余弦值，直线与平面所成角的正弦值，平面与平面所成角的余弦值；
理解异面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间距离的定义，能够运用空间向量的坐标运算求面直线之间的距离，点到平面的距离，平行直线到平面的距离，两个平行平面之间的距离。
【知识精讲】
一、空间角：
（一）异面直线所成的角：
1、异面直线所成角的意义：
（1）异面直线所成角的定义：设a、b是异面直线，在空间任取一点O，过O作∥a,
∥b,则与所成的角，称为异面直线a与b所成的角（或称为异面直线a与b的夹角）；
（2）异面直线所成角的取值范围：如果是异面直线a与b所成的角，则（0，]；
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两异面直线a与b所成的角=，则称异面直线a、b互相垂直，记作ab；
2、求异面直线所成角余弦值的基本方法：
（1）异面直线所成角的确定：
设a、b是异面直线，由异面直线所成角的定义，
确定异面直线所成的角时，可以在空间任取一点 a
O，过点O分别作∥a, ∥b,则与所成
的角就是异面直线a、b所成的角，在处理实际问题时 b
为使问题简便，所取空间的任意点O可以在直线a O
(或b)上取一特殊点，过这一点作另一直线的平行
线，则所得的角为所求。
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值的基本方法： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值。
(二)直线与平面所成的角：
1、直线与平面所成角的定义：
（1）直线与平面所成角的定义：直线与平面斜交时，直线和它在平面内射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角；
（2）理解直线与平面所成角定义时应该注意的问题：①平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成角中的最小角；②直线与平面所成角是斜线与它在平面射影所锐成角；
（3）直线与平面所成角的特例：①如果直线垂直于平面，则直线和平面所成的角是直角；②如果直线在平面内，则直线和平面所成的角为角；
（4）直线与平面所成角的取值范围：如果设直线与平面所成的角为，则[0，]。
2、求直线与平面所成角正弦值的基本方法：
（1）判定直线与平面的位置关系；
（2）直线与平面所成角的确定：在确定直线与平面斜交时， P
如图在斜线上任意取一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂
足，设斜线与平面相交于点B，连接AB，则是直线与
平面所成的角； A B
（3）运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法是：
①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值。
(三)平面与平面所成的角（二面角）：
1、平面与平面所成角的定义：
（1）半平面的定义：平面内一条直线把平面分成两部分，其中的一部分叫做半平面；
（2）平面与平面所成角的定义：两个平面的交线与这两个平面各自的一个半平面所组成的图形，叫做平面与平面所成的角，也称为二面角；
（3）平面与平面所成角的表示：设平面∩平面=l，则平面与平面所成的角可以表示为-l-；
（4）平面与平面所成角的特例：①两个平面互相垂直时，平面与平面所成的角为；②两个平面重合（或平行）时，平面与平面所成的角为；
（5）平面与平面所成角的取值范围：设平面与平面所成的角为，则[0，）；
2、求平面与平面所成角（或二面角）余弦值的基本方法：
二面角的平面角：如图在两个平面的交线上任意
取一点O，过O分别向两个半平面作垂线OA、OB,则 B
为二面角的平面角； O A
（2）运用空间向量求平面与平面所成角（或二面角）
余弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值。
二、空间距离：
（一）异面直线的距离：
1、异面直线距离的定义：
（1）异面直线距离的定义：两条异面直线的公垂线段的长，称为两条异面直线的距离；
（2）理解定义时应该注意的问题：①定义中异面直线的距离是公垂线段的长，而不是公垂线段，②注意分辨公垂线段的长和公垂线段的不同含义，公垂线段是一个几何图形，公垂线段的长为线段的度量，是一个数。
2、异面直线距离的求法：
（1）确定两条异面直线公垂线段：利用证明直线垂直直线的方法，在图像中找出两条异面直线的公垂线段；
（2）运用空间向量求异面直线距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式求出异面直线的距离。
（二）点到平面的距离： P
1、点到平面距离的定义：
（1）点到平面的距离的定义：从平面外一点引平面
的一条垂线，这个点与垂足之间的距离，称为点到 A B
平面的距离；
(2)理解定义应注意的问题：①平面外一点到平面的正射影是过该点向平面作垂线的垂足；②点到平面的距离实际上是过该点的平面的垂线段的长。
2、求点到平面的距离的基本方法：
（1）确定点在平面内的正射影：过该点作平面的垂线的垂足就是点在平面内的正射影；
（2）运用空间向量求点到平面距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内取一点和两条相交的直线与；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出直线与的方向向量与（注意两点的顺序），并求出给定点与所取点的方向向量；④根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；⑤运用公式d=求出点到平面的距离。
（三）直线到平行平面的距离：
1、直线到平行平面距离的定义：
（1）直线到平行平面距离的定义：直线上任意一点到平行平面的距离，称为直线到平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①当直线平行平面时，直线上的点到平面的距离是相等；②求直线到平行平面的距离时，只需在直线上任意取一点，求这一点到平面的距离就是直线到平行平面的距离。
2、直线到平行平面距离的基本方法：
（1）求直线到平行平面距离的基本思路：在直线上找一个特殊的点，把问题转化为求点到平面的距离的问题；
（2）运用空间向量求直线到平行平面距离的基本方法是：①在直线找一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离就可求出直线到平行平面的距离。
(四)两个平行平面的距离：
1、两个平行平面距离的定义：
（1）两个平行平面距离的定义：在其中一个平面上任取一点，该点到另一个平面的距离，称为两个平行平面的距离；
（2）理解定义时应注意的问题：①两个平行平面之间的距离是相等；②在其中一个平面内任意取一点，求这点到另一个平面的距离，就可求出两个平行平面的距离。
2、求两个平行平面距离的基本方法：
（1）求两个平行平面距离的基本思路：在其中一个平面上取一个特殊点，把问题转化为求点到平面距离的问题；
（2）运用空间向量求两个平行平面距离的基本方法是：①在其中一个平面内取一个特殊点；②运用求点到平面距离的基本方法，求出所取点到平面的距离，就可求出两个平行平面之间的距离。
【探导考点】
考点1求空间角的余弦值（或正弦值）：热点①求异面直线所成角的余弦值；热点②求直线与平面所成角的正弦值；热点③求平面与平面所成角（或二面角）的余弦值；
考点2求空间距离：热点①求异面直线之间的距离；热点②求点到平面的距离。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD----中，若A=2AB，则异面直线AC，B所成角的余弦值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①正棱柱定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间
向量求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，根据正棱柱的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DB，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，的坐标，求出向量，，运用空间向量求求异面直线所成角余弦值的基本方法,就可求出求异面直线AC与B所成角的余弦值。
【详细解答】如图，设AB=AD=1，ABCD----是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A=2AB，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，2）， =（-1，1，0），=（0，1，-2），异面直线AC与B所成角的余弦值为==，A正确，选A。
2、空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，则AC和BD所成的角为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①空间四边形定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③求异面直线所成角大小的基本方法。
【解题思路】根据空间四边形和异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角大小的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AC与BD所成角的大小，就可得出选项。
【详细解答】如图，连接PQ，QR，PR，
AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC
=4，BD=2，PQ//AC，PQ=AC=2，QR
//BD，QR=BD=，PQR是异面直线AC与BD所成的角，PR=3，cosPQR
==0，PQR=，异面直线AC与BD所成的角为，A正确，选A。
如图在直三棱柱ABC---中，，点，分别是，的中点，BC=CA=C，求直线B与A所成角的余弦值；
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间
向量求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，根据,直三棱柱的性质，结合问题条件得到C⊥CA，C⊥CB，AC⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，，,的坐标，从而得到点、的坐标，求出向量，，运用空间向量求求异面直线所成角余弦值的基本方法,就可求出求异面直线B与A所成角余弦值。
【详细解答】如图，设BC=CA=C=1，ABC---是直三棱柱，C⊥CA，C⊥CB，， AC⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz， A（1，0，0），B（0，1，0），（1，0，1），（0，1，1）,（0，0，1），点，分别是，的中点，（，，1），（，0，1）， =（-，0，1），=（，-，1），异面直线B与A所成角的余弦值为==。
4、如图在三棱锥D—ABC中，DA⊥平面ABC，，，AC=BC，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
【解析】
【知识点】①异面直线所成角定义与性质；②求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角余弦值的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AB与CD所成角的余弦值。
【详细解答】如图，分别取DA，AC，DB的中点E，F，G，连接EF，EG，FG，设AC=BC=1，E，F，G分别是DA，AC，DB的中点，EG//AB，EF//DC，GEF是异面直线AB与CD所成的角，DA⊥平面ABC，，，AB==，DA==，EG=，EF=DC=，FG==，cosGEF
==，异面直线AB与CD所成角的余弦值为。
『思考问题1』
【典例1】是运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解异面直线所成角的定义，掌握运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线所成角的余弦值（或所成角大小）的基本方法是： ①建立空间直角坐标系；②分别在异面直线与上取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点）并确定各点的坐标；③分别求出异面直线与的方向向量与（注意两点的顺序）；④运用公式cos=||求出异面直线与所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，BD与C所成的角是（ ）（答案：C）
A B C D
2、如图所示，正方体ABCD—中，①AC和D所成角的余弦值是 ；②AC和所成角的余弦值是 ；③AC和所成角的余弦值是 ；④AC和B所成角的余弦值是 ；⑤O为的中点，AC和BO所成角的余弦值是 。（答案：①AC和D所成角的余弦值是0；AC和所成角的余弦值是；AC和所成角的余弦值是0；④AC和B所成角的余弦值是-；⑤AC和BO所成角的余弦值是0）
3、如图正四棱柱ABCD—中，A=2BA.。求异面直线B与A所成角的余弦值。（答案：异面直线AB和PC所成角的余弦值为-）
4、如图在三棱锥P—ABC中，，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
求异面直线AB和PC所成角的余弦值。（答案：异面直线AB和PC所成角的余弦值为）
【典例2】解答下列问题：
1、若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A （0，） B ［0，） C （0，］ D ［0，］
【解析】
【知识点】①直线与平面所成角定义与性质；②确定直线与平面所成角大小的基本方法。
【解题思路】根据直线与平面所成角的性质，运用确定直线与平面所成角大小的基本方法，结合问题条件求出直线a与平面所成角的取值范围，就可得出选项。
【详细解答】当直线a与平面平行时，直线a与平面所成角为0；当直线a与平面垂直时，直线a与平面所成角为；当直线a与平面斜交时，直线a与平面所成角为大于0吗，小于，综上所述，若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是［0，］，D正确，选D。
2、在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，若将ABD沿BD所在直线翻折，使得二面角A—BD—C的大小为，则AD与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①矩形定义与性质；②直线与平面所成角定义与性质；③二面角定义与性质。
【解题思路】如图，根据矩形和二面角的性质，结合问题条件，求出点A到平面BCD的距离，从而求出AD与平面BCD所成角的正弦值就可得出选项。 A
【详细解答】如图，过点A作AE平面BCD于点E，
过点E作EFBD于点F，连接AF，AEBD， B F D
EFBD，EF，AE平面AEF，AEEF=E， E
BD平面AEF，BDAF，AFE=， B
矩形ABCD中，已知AB=1，AD=，=，AF==，
AE=AF=，AD与平面BCD所成角的正弦值为=，A正确，选A。
如图所示，长方体ABCD—中， z
AB=，BC=A=1，则B与平面
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所成角的正弦值为 。 D Cy
【解析】 x A B
【知识点】①长方体定义与性质；②直线与平面所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间
向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面的法向量=（x，y，z），根据,长方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点B，，,，的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法求出平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直线B与平面所成角的正弦值。
【详细解答】如图，设平面的法向量=（x，y，z），ABCD—是长方体， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，AB=，BC=A=1，B（1，，0），（1，0，1），（1，，1），（0，，1），（0，0，1），=（0，，0），=（-1，0，0），=（-1，-，1），，且，.=0+y+0=0①，. =-x+0+0=0②，联立①②解得：x=0，y=0，z=1，=（0，0，1），直线B与平面所成角的正弦值为==。
4、如图所示，在正方体ABCD—中， z
直线D与平面CD所成角的正弦值为 。
【解析】 D Cy
【知识点】①正方体定义与性质；②直线与平面 A x B
所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面CD的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，根据,正方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点C，D，,的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法求出平面CD的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直线D与平面CD所成角的正弦值。
【详细解答】如图，设平面CD的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，ABCD—是正方体， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，C（0，1，0），D（0，0，0），（1，1，1），（0，1，1），=（0，1，0），=（1，1，1），=（0，1，1），，且，.=0+y+0=0①，. =-x+y+z=0②，联立①②解得：x=-1，y=0，z=1，=（-1，0，1），直线D与平面CD所成角的正弦值为==。
5、如图正方体ABCD—中，E，F z
分别是A，BA.的中点。
求：直线EF与平面AC所成角的正弦值；
【解析】 E D Cy
【知识点】①正方体定义与性质；②直线与平面
所成角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基
本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标 xA F B
运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面AC的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，根据正方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，的坐标，从而得到点E，F的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法求出平面AC的法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出直线EF与平面AC所成角的正弦值。
【详细解答】如图，设平面AC的法向量=（x，y，z），正方体ABCD—的棱长为1，ABCD—是正方体， D⊥DA，D⊥DC，DA⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），E，F 分别是A，BA.的中点，E（1，0，），F（1，，0），=（-1，1，0），=（0，0，1），=（0，，-），，且，.=-x+y+0=0①，. =-0+0+z=0②，联立①②解得：x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），直线EF与平面AC所成角的正弦值为==。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解直线与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求直线与平面所成角正弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值（或所成角大小）的基本方法是：①确定直线与平面 的角，②运用解三角形的知识求直线与平面所成角的 值；
（3）运用空间向量求直线与平面所成角的正弦值的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②在平面内找两条相交的直线与，分别在斜线l和直线，各取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，（注意两点的顺序）；③根据求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④运用公式sin=||求出直线与平面所成角的正弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的正弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习2〕解答下列问题： P
1、如图所示，已知ABC为等腰直角三角形，P为
空间一点，且AC=BC=5，PCAC，PCBC， C B
PC=5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角 M
为 。（答案：PM与平面ABC所成的角为） A
2、如图所示在长方体ABCD—中，AB=BC
=2，A=1，则B与平面BD所成角的正弦值
为（ ） （答案：D） D C
A B C D A B
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，各棱长都
相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BC的中心， A D C
则AD与平面BC所成角的大小是 。（答案：AD与平面 B
BC所成角的大小是）
4、已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为，平面内一条直线和斜线在平面内的射影的夹角为。求平面的斜线和平面内的这条直线所成的角。（答案：平面的斜线和平面内的这条直线所成的角为）
【典例3】解答下列问题：
1、在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的大小为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①二面角定义与性质；②确定二面角的基本方法；③求二面角大小的基本方法。
【解题思路】根据二面角的性质，运用确定二面角和求二面角大小的基本方法，结合问题条件，求出锐二面角的大小就可得出选项。
【详细解答】如图，设A为平面内一点，过点A作 B
AB平面于点B，ACl(l为平面与平面的交 C A
线）于点C，连接BC，AB平面于点B，ACl于点C，ACl，ACB是
二面角-l-的平面角，在RtABC中，AC=2AB，ACB=，即二面角的大小为，A正确，选A。
2、如图所示，四边形ABCD是正方形，PA P z
平面ABCD，且PA=AB，则二面角B—PA—C
的大小为 ； A Dy
【解析】 B x C
【知识点】①正方形定义与性质；②二面角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面ABP的法向量=（x，y，z），平面ACP的法向量=（，，），PA=AB=1，根据正方形和直线垂直平面的性质，结合问题条件得到PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，得到点A，B，C，P的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面ABP，平面ACP的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法求出二面角B—PA—C的余弦值，就可求出二面角B—PA—C的大小。
【详细解答】如图，设平面ABP的法向量=（x，y，z），平面ACP的法向量=（，，），PA=AB=1，四边形ABCD是正方形，PA 平面ABCD， PA⊥AB，PA⊥AD，BA⊥AD，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），=（1，0，0），=（0，0，1），=（1，1，0），，且，.=x+0+0=0①，
. =-0+0+z=0②，联立①②解得：x=0，y=1，z=0，=（0，1，0），，且，.=-0+0+=0③，. =++0=0④，联立③④解得：=-1，=1，=0，=（-1，1，0），二面角E--BD--C的余弦值为=
=，二面角E--BD--C的大小为。
3、如图已知在长方体ABCD----中，AB=2，BC=B=1，E为的中点。 求二面角E—BD—C的正切值。
【解析】
【知识点】①长方体定义与性质；②二面角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面BDE的法向量=（x，y，z），平面BCD的法向量=（，，），根据长方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点B，D，,，E的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面AB，平面PB的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法求出二面角E—BD—C的余弦值，从而求出二面角E—BD—C的正切值。
【详细解答】如图，设平面BDE的法向量=（x，y，z），平面BCD的法向量=（，，），ABCD----是长方体， D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向
量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向 z E
建立空间直角坐标系D-xyz，AB=2，BC=B=1，
B（1，2，0），D（0，0，0），C（0，1，0），（0， D Cy
2，1)，（0，0，1），E是的中点，E（0，1， A x B
1），=（0，1，1），=（1，1，0），=（0，1，0），，且，
.=0+y+z=0①，. =-x+y+0=0②，联立①②解得：x=1，y=--1，z=1，=（1，-1，1），，且，.=-++0=0③，. =-0++0=0④，联立③④解得：=0，=-0，=1，=（0，0，1），二面角E--BD--C的余弦值为
==，二面角E--BD--C的正弦值为 =，二面角E--BD--C的正切值为=。
如图在棱长为1的正方体ABCD----中，P是AD的中点。求二面角A--B
-P的余弦值。
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②二面角定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】如图，设平面AB的法向量=（x，y，z），平面PB的法向量=（，，），根据正方体的性质，结合问题条件得到D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，D，，P的坐标，求出向量，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面AB，平面PB的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角A—B—P的余弦值。 z
【详细解答】如图，设平面AB的法向量=（x，y，z），平
面PB的法向量=（，，），ABCD----是 P D Cy
棱长为1的正方体， D⊥DA，D⊥DC，AD⊥DC，以D为 x A B
原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，0），（0，0，1），P是AD的中点，P（，0，0），=（0，1，0），=（-1，-1，1），=（-，-1，0），，且，.=0+y+0=0①，. =-x-y+z=0②，联立①②解得：x=1，y=-0，z=1，=（1，0，1），，且，.=--+=0③，. =--+0=0④，联立③④解得：=2，=-1，=1，=（2，-1，1），二面角A--B--P的余弦值为
== 。
5、如图底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC---中，，A=AC，D 是C的中点。
（1）求证：平面AD⊥平面AB；
（2）求：二面角B--D—A的余弦值。
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③二面角定义与性质；
④建立空间直角坐标系的基本方法；⑤空间向量定义与性质；⑥空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑦运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑧运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法；⑨运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设平面AD的法向量=（x，y，z），平面AB的法向量=（，，），A=AC=1，根据直三棱柱和等腰直角三角形的性质，结合问题条件得到C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，C，，，D的坐标，求出向量，，，，运用空间向量求平面法向量的基本方法分别求出平面AD，平面AB的法向量，利用空间向量证明平面垂直平面的基本方法，就可证明平面AD⊥平面AB；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），根据（1）求出向量，运用平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角B—D—A的余弦值。
【详细解答】（1）如图，设平面AD的法向量=（x，y，z），平面AB的法向量=（，，），A=AC=1，ABC---是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，，
D 是C的中点，C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（0，1，1），（,0，0，1），D（0，0，），=（1，0，-），
=（0，1，），=（1，-1，0），=（0，0，1），，且，.=-x+0-z=0①，. =0+y+z=0②，联立①②解得：x=1，y=-1，z=2，=（1，-1，2），，且，.=--+0=0③，. =0+0+=0④，联立③④解得：=1，=1，=0，=（1，1，0），.=1-1+0=0，平面AD⊥平面AB；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），=（0，1，-），，且，.=0+y-z=0①，. =0+y+z=0②，联立①②解得：x=1，y=0，z=0，=（1，0，0），二面角B—D—A的余弦值为==。
6、如图，直三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D⊥BD.
（1）证明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的余弦值。
【解析】
【知识点】①直三棱柱定义与性质；②直线垂直平面判定定理及运用；③直线垂直平面性质定理及运用；④二面角定义与性质；⑤建立空间直角坐标系的基本方法；⑥空间向量定义与性质；⑦空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑧运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑨运用空间向量求二面角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据直三棱柱的性质，结合问题条件得到D⊥DC，运用直线垂直平面的判定定理证明D⊥平面BCD，利用直线垂直平面性质定理就可证明D⊥BC；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），平面BD的法向量=（，，），根据直线垂直平面判定定理，得到BC⊥平面AC，从而得到C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，C，，D，的坐标，求出向量|，，，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法与球平面法向量的基本方法，求出平面BD的法向量，平面BD的法向量，利用空间向量求二面角余弦值的基本方法就可求出二面角—BD—的余弦值。
【详细解答】（1）直三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中点，D+DC=C，D⊥DC，D⊥BD，DC，BD平面BCD，DCBD=D，D⊥平面BCD，BC平面BCD，D⊥BC；（2）设平面BD的法向量=（x，y，z），平面BD的法向量=（，，），AC=BC=1，C⊥BC,C，D平面AC，CD=，BC⊥平面AC，C⊥CA，C⊥CB，CA⊥CB，以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（1，0，2），D（1，0，1），（,0，0，2），
=（-1，1，-1），=（0，0，1），=（-1，0，1），，且，.=-x+y-z=0①，. =0+0+z=0②，联立①②解得：x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），，且，.=-+-=0③，. =--+0+=0④，联立③④解得：=1，=2，=1，=（1，2，1），二面角—BD—的余弦值为
==。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题，解答这类问题需要理解平面与平面所成角的定义，掌握运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的问题的基本方法；
（2）运用空间向量求平面与平面所成角余弦值（或所成角大小）的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②分别在两个平面内找两条相交直线，，，；③在各条直线分别取两点（图中有线段，一般取线段的两个端点），求出各自的方向向量，，，（注意两点的顺序）；④根据求平面法向量的基本方法分别求出两个平面的法向量，；⑤运用公式cos=求出平面与平面所成角的余弦值（若问题是求所成角的大小，根据求出所成角的余弦值，利用特殊角的三角函数值求出角的大小）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、正方体ABCD—中，截面BD与底面ABCD所成二面角—BD—A的正切值等于（ ）（答案：B）
A B C D
2、如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面 P
ABC, BAC=，则二面角B—PA—C的大
小等于 ； A C
（答案：二面角B—PA—C的大小等于） B
3、直三棱柱ABC---中，AC⊥BC，
AC=BC=C，E、F分别是B、的 F
中点。
（1）求证：EF∥平面AC； E
（2）求证：EF⊥平面BC； C
（3）求二面角A--B—C的余弦值。 A B
（答案：（1）提示：以C为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，证明向量与平面AC法向量的数量积为0；（2）提示：证明向量与平面BC法向量平行；（3）二面角A--B—C的余弦值为）
4、如图在三棱锥P—ABC中，， P
PA=1，AB=，AC=2，PA⊥平面ABC。
（1）求直线AB和直线PC所成角余弦值； A C
（2）求PC和平面ABC所成角的正弦值； B
（3）求二面角A—PC—B的余弦值。 （答案：（1）直线AB和直线PC所成角余 弦值为-；（2）PC和平面ABC所成角的正弦值为；3）二面角A—PC—B的余弦值为）
【典例4】解答下列问题：
1、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，底边BC=6，AB=5，则点P到BC的距离为（ ）
A 4 B C 3 D 2
【解析】
【知识点】①三棱锥定义与性质；②点到直线距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求点到直线距离的基本方法。
【解题思路】如图，取BC的中点D，连接PD，过点A作AEAB与点A，根据直线垂直平面的性质，得到PAAB，PAAE，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，得到点A，B，C，P的坐标，从而得到点D的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，得到PDBC，求出||的值，求出点P到BC的距离，就可得出选项。 P z
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接PD，
过点A作AEAB与点A，PA平面ABC，
AE，AC平面ABC，PAAB，PAAE， A D Cy
以A为原点，向量，，分别为 E x B
x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，三角形ABC是等腰三角形，，PA=8，底边BC=6，AB=5，P（0，0，8），C（0，5，0），B（，，0），D（，，0），=（-，，0），=（，，-8），.=-++0=0，
PDBC，点P到BC的距离为||== 4，A正确，选A。
2、如图在正方体ABCD---中，棱 z
长为1。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与之间的距离；
（3）异面直线A与C之间的距离。 D Cy
【解析】
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线之 A x B
间距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明ABBC，CBC，得到BC是异面直线AB和C的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AB与C之间的距离；（2）如图，根据（1）得到点的坐标，求出向量，，运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明ABA，A，得到A是异面直线AB和的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AB与之间的距离；（3）
如图，根据（1）得到点D，，的坐标，求出向量，，， 运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明ADC，CDC，得到DC是异面直线A与C的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线A与C之间的距离。
【详细解答】（1）如图，ABCD---是棱长为1的正方体，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，1，1）， =（0，1，0），=（-1，0，0），=（0，0，1）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ABBC，CBC，BC是异面直线AB和C的共垂线段，异面直线AB与C之间的距离为||==1；（2）如图，（1，0，1）， =（0，0，1），=（-1，1，0）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ABA，A，A是异面直线AB和的共垂线段，异面直线AB与之间的距离为||==1；（2）如图，D（0，0，0），（0，0，1），（1，1，1）， =（0，1，0），=（-1，0，1），=（1，0，1）， . = 0+0+0=0， . =0+0+0=0， ADC，CDC，DC是异面直线A和C的共垂线段，异面直线A与C之间的距离为||==1。 z
3、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a。 E
求：（1）异面直线AB与C之间的距离； F
（2）异面直线AC与D之间的距离。 D C y
【解析】 A x O B
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线之间距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，连接B交C于点E，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，，的坐标，从而得到E的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明BEAB，BEC，得到BE是异面直线AB和C的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AB与C之间的距离；（2）如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，过点C作CFD于点F，连接OF，设F（，，），根据（1）得到点D的坐标，从而得到点O，F的坐标，求出向量，，，运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明OFAC，OFD，得到OF是异面直线AC和D的共垂线段，求出||的值，就可求出异面直线AC与D之间的距离。
【详细解答】（1）如图，连接B交C于点E，ABCD---是棱长为a的正方体，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），（a，a，a），（0，a，a），E是棱B的中点， E（a，a，a），=（0，a，0），=（a，0，a），=（-a，0，a）， . = 0+0+0=0， . =- +0+=0， BEAB，BEC，BE是异面直线AB和C的共垂线段，异面直线AB与C之间的距离为||==a；（2）如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，过点C作CFD于点F，连接OF，设F（，，），D（0，0，0），=（-a，a，0），=（a，a，a），=（，，）=（ta，ta，ta），=（ta，ta-a，ta），CFD，.=t+t-+t=0，t=，F=（a，a，a），点O是AC的中点，O（a，a，0），=（-a，-a，a）， . = - +0=0， . =- -+
=0， OFAC，OFD，OF是异面直线AC和D的共垂线段，异面直线AC与D之间的距离为||==a。
4、如图已知正方体ABCD---的棱长为a，M是棱A的中点，点O是对角线B的中点。 z
（1）证明OM是异面直线A和B的共垂线；
（2）求异面直线A和B的距离。
【解析】 M O
【知识点】①正方体定义与性质；②异面直线
之间距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的 D C y
基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐 A x B
标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，D，，的坐标，从而得到M，O的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量证明直线垂直直线的基本方法，分别证明OMA
，OMB，就可证明OM是异面直线A和B的共垂线；（2）根据（1）得到线段OM是异面直线A和B的共垂线段，运用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出||的值，就可求出异面直线A和B的距离。
【详细解答】（1）如图，ABCD---是棱长为a的正方体，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），D（0，0，0），（a，0，a），（0，0，a），M是棱A的中点，点O是对角线B的中点， M（a，0，a），O （a，a，a），=（0，0，a），=（-a，-a，a），=（a，-a，0），
. = 0+0+0=0， . =- ++0=0， OMA，OMB
， 即 OM是异面直线A和B的共垂线；（2）由（1）知 OM是异面直线A和B的共垂线段， 异面直线A和B的距离为|| ==a。
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用空间向量求异面直线直角距离的问题，解答这类问题需要理解异面直线之间距离的定义，掌握运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法；
（2）运用空间向量求异面直线之间距离的基本方法是：①建立空间直角坐标系；②根据运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，确定两条异面直线的公垂线段；③运用两点之间的距离公式，求出公垂线段的长就可求出异面直线之间的距离。
〔练习4〕解答下列问题：
如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。 D C
（答案：1）异面直线A和的距
离为a；（2）求异面直线AB和的距 A B
离为b。）
2、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a，M、N分别是AB、BC的中点。
求：（1）异面直线D与MN所成角的大小；
（2）异面直线B与MN之间的距离。
（答案：（1）异面直线D与MN所成角的大 D C
小为；（2）异面直线B与MN之间的距 A M B N
离为a）
【典例5】解答下列问题：
1、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E为C的中点，则直线A与平面BED的距离为（ ）
A 2 B C D 1
【解析】 A B
【知识点】①正方体定义与性质；②直线到平面距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，连接OE，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，C，D的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面ABC的法向量，利用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出点D到平面ABC的距离，就可得出选项。
【详细解答】如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，连接OE，设平面BED的法向量=（x，y，z），ABCD—是正四棱柱，ADDC，DDC，DDA，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角 坐标系D-xyz，E为C的中点，OE//A， z
EMBED Equation.DSMT4 OE平面BED，A平面BED，A
∥平面BED，直线A与平面BED的距离， E
点A到平面BED的距离，AB=2，C=2，
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， D O Cy
D（0，0，0），E（0，2，），=（2， Ax B
2，0），=（0，2，），=（0，2，0），，且，.=2x+2y+0=0①，. =0+2y+z=0②，联立①②解得：x=，y=-，z=1，=（，-，1）， 点A到平面BED的距离为||==1，D正确，选D。
2、已知直二面角—l—，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（ ）
A B C D 1
【解析】 A B
【知识点】①直二面角定义与性质；②点到平面距离定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】如图，过点C在平面内作EC//BD，根据直二面角的性质，建立空间直角坐标系C-xyz，得到点A，B，C，D的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，由空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面ABC的法向量，利用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出点D到平面ABC的距离，就可得出选项。
【详细解答】如图，过点C在平面内作EC//BD，
设平面ABC的法向量=（x，y，z），BDl， Az
二面角—l—为直二面角，CEl，以C为 C D y
原点，向量，，分别为x轴，y轴，z x B
轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，AB=2，
AC=BD=1，A（0，0，1），B（1，，0），C（0，0，0），D（0，，0），=（1，，-1），=（0，0，-1），=（0，，-1），，且，.=x+y-z=0①，. =0+0-z=0②，联立①②解得：x=-，y=1，z=0，=（-，1，0），D到平面ABC的距离为==，C正确，选C。
3、如图在四棱锥P—ABCD中，底面四边形 P z
ABCD是边长为4的菱形，并且，
PA=3，PA⊥底面ABCD，O是AC、BD的交点， H
OE⊥PC于E。 A E Dy
求：（1）点P到CD的距离； O F
（2）异面直线PC，BD之间的距离； B x C
（3）点B到平面PCD的距离；
【解析】
【知识点】①四棱锥定义与性质；②菱形定义与性质；③点到直线距离定义与性质；④异面直线之间距离定义与性质；⑤点到平面距离定义与性质；⑥建立空间直角坐标系的基本方法；⑦空间向量定义与性质；⑧空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑨运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑩运用空间向量求空间距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，过点A作AG⊥AD于点A，交BC于点G，取CD的中点F，连接PF，AF，根据直线垂直平面和菱形的性质，结合问题条件得到PA⊥AG，PA⊥AD，PA⊥AC，PC=PD，从而得到PF⊥CD，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，得到点P，B，C，D，F的坐标，求出|PF|就可求出点P到CD的距离；（2）根据（1）得到BO⊥平面PAC，从而得到BO⊥OE，OE是异面直线PC，BD的公垂线段，求出|OE|就可求出求出异面直线PC，BD之间的距离；（3）过点A作AH⊥PC与点H，得到AH⊥CD，从而得到AH⊥平面PCD，运用空间这类证明直线平行平面的基本方法，得到AB//平面PCD，求出点A到平面PCD的距离，就可求出点B到平面PCD的距离。
【详细解答】（1）如图，过点A作AG⊥AD于点A，交BC于点G，取CD的中点F，连接PF，AF，PA⊥底面ABCD，AG，AD，AC平面ABCD，PA⊥AG，PA⊥AD，PA⊥AC，以A为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，
PA=3，四边形ABCD是边长为4的菱形，并且，ABC=，AC=AD，PACPAD，PC=PD，PF⊥CD，点P到CD的距离为线段PF的长，P（0，0，
3），D（0，4，0），C（2，2，0），F（，3，0），点P到CD的距离为|PF|
==；（2）设E（x,y,z）,BD⊥AC，BD⊥PA，PA，AC平面PCD，PAAC=A，BD⊥平面PAC，BD⊥OE，OE⊥PC，OE是异面直线BD，PC的公垂线段，异面直线PC，BD之间的距离为|OE|，=（2，2，-3），=（x,y,z-3）,点E在PC上，E（2t，2t，3-3t），O（，1，0），=（2t-，2t-1，3-3t），OE⊥PC，
12t-6+4t-2-9+9t=25t-17=0，t=，E（，，），异面直线PC，BD之间的距离为|OE|==；（3）过点A作AH⊥PC与点H，设平面PCD的法向量=（x，y，z），H（，，），AB//CD，CD平面PCD，AB平面PCD，AB//平面PCD，点B到平面PCD的距离，点A到平面PCD的距离，CD⊥PF，CD⊥AF，PF，AF平面PAF，PFAF=F，CD⊥平面PAF，CD⊥AH，CD，PC平面PCD，CDPC=C，AH⊥平面PCD，点A到平面PCD的距离为|AH|，=（2，2，-3），=（0,4,-3）,，且，.=2x+2y-3z=0①，. =0+4y-3z=0②，联立①②解得：x=，y=，z=1，=（，，1），点H在PC上，AH⊥PC，H（，，），=（，，），点A到平面PCD的距离为
==，即点B到平面PCD的距离为。
4、如图设是平面的单位法向量，AB是 B
平面的一条斜线，其中A∈。
（1）求AB与平面所成角的正弦值；
（2）求点B到平面的距离； A
【解析】
【知识点】①平面法向量定义与性质；②直线与平面所成角定义与性质；③点到平面距离定义与性质；④运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法；⑤运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，根据平面法向量和直线与平面所成角的性质，运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法，就可求出AB与平面所成角的正弦值；（2）根据点到平面距离的性质，运用空间向量求点到平面距离的基本方法，就可求出点B到平面的距离。
【详细解答】（1）如图，平面的法向量为，AB是平面的一条斜线，其中A∈，AB与平面所成角的正弦值为||；（2）如图，平面的法向量为，AB是平面的一条斜线，其中A∈，点B到平面的距离为||。
5、如图已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的 P z
高分别为1，2，AB=4。
（1）证明：PQ⊥平面ABCD； D C
（2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值；
（3）求点P到平面QAD的距离 。 O
【解析】 x A B y
【知识点】①正四棱锥定义与性质；②点到平面
平面之间距离定义与性质；③建立空间直角坐系 Q
的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量求异面直线所成角余弦值的基本方法；⑧运用空间向量求平面法向量的基本方法；；⑨运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】（1）如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，根据正四棱锥的性质，建立空间直角坐标系O-xyz，得到点A，B，C，D，P，Q的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法，得到PQ⊥AC，PQ⊥BD，就可证明PQ⊥平面ABCD；（2）根据（1）求出向量，，运用空间向量求异面直线所成角余弦值的基本方法，就可求出异面直线AQ与PB所成角的余弦值；（3）根据（1）求出向量，，运用空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面QAD的法向量，利用空间向量求点到平面距离的基本方法，就可求出点P到平面QAD的距离。
【详细解答】如图，连接AC，BD，AC，BD相交于点O，四棱锥P—ABCD与Q—ABCD均为正四棱锥，点O在PQ上，ACBD，以O为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1，2，AB=4，A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），P（0，0，1），Q（0，0，-2），=（-4，0，0），=（0，-4，0），=（0，0，-3），.=0+0+0=0，.=0+0+0=0，PQ⊥AC，PQ⊥BD，
AC，BD平面ABCD，ACBD=O，PQ⊥平面ABCD；（2）由（1）得：=（-2，0，-2)，=（0，2，-1），异面直线AQ与PB所成角的余弦值为||
==；
设平面QAD的法向量=（x，y，z），由（1）得：=（2，2，0)，
=（0，2，-2），，且，.=2x+2y+0=0①，. =0+2y-2z=0②，联立①②解得：x=1，y=-1，z=-，=（1，-1，-），
=（0，0，-3），点P到平面QAD的距离为||==。
z
6、如图在棱长为2的正方体ABCD--中 ，
G是A的中点。 G
求：BD到平面G的距离； D C y
【解析】 xA B
【知识点】①长方体定义与性质；②直线与平面之间距离定义与性质；③建立空间直角坐标
系的基本方法；④空间向量定义与性质；⑤空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑥运用空间向量求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量证明平面平行平面的基本方法；⑧运用空间向量求点到平面距离的基本方法。
【解题思路】如图，根据正方体的性质，建立空间直角坐标系D-xyz，得到点A，B，D，，，的坐标，运用空间向量坐标运算的法则和基本方法，求出向量，，，，由空间向量求平面法向量的基本方法，求出平面G的法向量，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明BD∥平面G，从而问题转化为求点B到平面G的距离，求出向量， 由用空间向量求点到平面距离的基本方法，求出点B到平面G的距离，就可求出直线BD到平面G的距离。
【详细解答】如图，设平面BP的法向量=（x，y，z），ABCD--是正方体，以D为原点，向量，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，正方体ABCD--的棱长为2，G是A的中点，A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），（2，0，2），（2，2，2），（0，0，2），G（2，0，1），=（0，2，1），=（-2，0，1），=（-2，-2，0），=（-2，-2，2），
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，且，.=0+2y+z=0①，. =-2x+0+z=0②，联立①②解得：x=1，y=-1，z=2，=（1，-1，2），.=-2+2+0=0，，BD平面G，BD∥平面G，BD到平面G的距离，点B到平面G的距离，点B到平面G的距离为||==，BD到平面G的距离为。
如图斜三棱柱ABC--的侧面AC与
底面ABC垂直