本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
2.函数的基本性质
1． 求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③方程法等．
例1、已知，求
例2、已知是一次函数，且经过，求的解析式
例3、已知满足关系式，求
2． 函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函数图象解决各类问题．
1 y f ( x a ) 的图象可以由y f ( x ) 的图象向______平移____个单位得到；
2 y f ( x ) b 的图象可以由y f ( x ) 的图象向______平移____个单位得到；
3 ______________的图象与y f ( x ) 的图象关于x轴对称；
4 ______________的图象与y f ( x ) 的图象关于原点对称；
5 y f ( | x | ) 的图象可以由y f ( x ) 的图象________________________得到；
6 y | f ( x ) | 的图象可以由y f ( x ) 的图象_______________________得到；
例4、作出函数的图像
例5、
3． 函数单调性的定义：对于定义域内的某个区间D上任意两个值，若时，都有，称为D上增函数，若时，都有，称为D上减函数．
4． 利用定义证明单调性的一般步骤：①设、②减、③代、④化、⑤断，其中“化”的目标是_____________________________．
5． 复合函数的单调性规律：同增异减．
6． 单调函数的运算规律：
① 增函数＋增函数＝增函数；
② 减函数＋减函数＝减函数；
③ 增函数－减函数＝增函数；
④ 减函数－增函数＝减函数；
注意：单调函数的乘除规律比较复杂，不能按以上规律随意类比．
例6、判断并证明在的单调性
例7、已知函数在R上是增函数，且，判断、、的单调性。
例8、若定义在R上的单调减函数满足，你知道的取值范围吗？
例9、二次函数在［0，＋∞）是增函数，你能确定字母的值吗？
例10、的递增区间是 递减区间是 ，递减区间是 。
例11、奇函数在上是增函数，若，试求实数的取值范围
7． 奇偶性的定义：
为奇函数 ；
为偶函数 ；
8． 关于函数奇偶性的注意点：①如果奇函数y f ( x )在原点有定义，则 ；②奇偶函数的定义域一定关于原点对称，所以判定函数的奇偶性时，首先应该看定义域是不是关于原点对称．
9． 奇偶函数的图象规律：奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于________对称．
10． 奇偶函数的单调性规律：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性________；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性________．
例12．为奇函数，则满足 ；若为偶函数，则满足 。
例13．，若，则= ，为奇函数，则的值为 。
例14．则= ；为奇函数，在上有最小值7，则在的最 值为 。
例15．为奇函数，为偶函数，，则 ，= 。
例16．定义域在上的奇函数，已知时，，求的解析式。
例17．是定义在上的奇函数，当时，，不等式的解集为 。
2.函数的基本性质对应练习
一、选择题
1．已知函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于 （ ）
A．-3 B．13 C．7 D．含有的变量
2．奇函数，当时，，则函数的图象为 （）
3．已知函数,若,则的值为（ ）
A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定
4．已知函数是上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有，则一定有（ ）
A． B． C． D．
6．函数与的图象关于下列那种图形对称( )
A．轴 B．轴 C．直线 D．原点中心对称
7．如果奇函数在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上是（ ）
A．增函数且有最小值-5 B． 增函数且有最大值-5
C．减函数且有最小值-5 D．减函数且有最大值-5
8．已知函数在上最大值是3,最小值是2,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11． 已知函数在区间上是减函数,则与的大小关系是 ．
12．定义域为上的函数是奇函数，则= ．
13．设，则 ．
14．如果函数是偶函数，那么函数的图象关于_________对称．
15．若函数是奇函数，则为__________。
16.（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．
（2）的单调递增区间为 ．
三、解答题
17.已知 是一次函数，且 ，求的解析式。
18．作出函数的图象，并利用图象回答下列问题：
(1)函数在R上的单调区间； (2)函数在[0,4]上的值域．
19．设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.
**20．已知函数定义域是，且,,对于,都有, （1）求； （2）解不等式。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1．集合与函数概念
第一章、集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合元素三个性质：确定性、互异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：或，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作.
2、 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：.
2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：.
3、全集、补集？
§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
知识点1：集合的元素特性（确定性、无序性、互异性），集合相等的概念
1．，，则的值为 。
2. ，则集合中所应满足的条件？
(变式：－2是该集合元素，则为何值？)
知识点2：元素与集合关系（），常见数集（）
3．填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， Q， R
知识点3：集合的表示（列举法、描述法）
4．用列举法表示 ，
用描述法表示比大，且比1小的所有实数 。
5．几种常见集合分别是什么含义？
知识点4：集合间关系（子集、真子集），特殊的集合：空集
6．的非空真子集为
7．满足的集合A的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．7个
8．，则关系为（ ）
A． B． C． D．
9．则正确的是（ ）
A． B． C． D．
***10．，若，的取值范围是_________________
11．已知集合，，则能使 AB 成立的实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．， 且BA，实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．，则组成的集合为
知识点5：集合的运算（交集、并集、补集）
14． ，
， ， 。
15． ， ， ， 。
***16．下列说法正确的是（ ）
①则 ②则
A．①② B．① C．② D． ①②都不对
17．
1）若Φ，求的范围； 2）若，求的范围。
知识点6：函数的概念（任一x，唯一y）
18．与直线交点的个数为（ ）
A．只有1个 B．2个 C．至少1个 D．至多1个
19．，给出下列四个图形，其中是函数的个数（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
20．下列与是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点7：函数的定义域（分母、偶次根式、零（负指数）次幂、对数中的真数与底数）
21．的定义域为 ，的定义域为
知识点8：函数的对应法则（分段函数、复合函数）
22． 则= ，若，则的值为 。
23．，= 。
知识点9：值域（一次分式函数）
24．的值域 。
25．的值域是________________的值域是_______________
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
4．幂函数、二次函数
幂函数：掌握幂函数在上的性质
例1． 定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
例2．比较大小 ；比较大小 。
例3．幂函数图象经过点，则= ；指数函数图象经过点，则= 。
例4．下列命题正确的是（ ）
A．幂函数图象一定经过点 B．当时，幂函数图象是一条直线
C．幂函数图象不可能经过第四象限 D．若幂函数是奇函数，则必单调
二次函数在闭区间上的值域（最值）的求法：①图象法（特别注意对称的位置、开口方向）；②配方法．注意：不能不加分析地将区间端点代入．
例5．，，函数的最大值 ，最小值 。
例6．，在上的值域为，则的取值范围为 。
例7．设，求函数的最大值与最小值。
例8．设
（1）在区间上最小值为，求的表达式，
（2）在区间上最大值为，求的表达式。
二次函数的其它问题：结合二次函数图像解决
例9．，，则= 。
例10．对恒成立，则取值范围是 。
例11．对任意定义在上的函数，若实数满足，则称为的不动点，若函数没有不动点，则取值范围是 。
例12．若不等式对一切成立，则的最小值 。
4．幂函数、二次函数对应练习
一、选择题
1．函数的图象形状
如图所示,依次大致是 （ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3）
C．（3）（1）（2） D．（3）（2）（1）
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，曲线分别是函数和在第一象
限的图象，那么一定有（ ）
A．nn>0 D．n>m>0
5．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数的 图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数
6．下列命题正确的是（ ）
A． 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B． 图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数
C． 如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同
D． 如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数
二、填空题
7．若函数的图象关于原点对称，则 ．
8．幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 ．
9．用“<”或”>”连结下列各式： ，
．
10．设，幂函数的图象在的上方，则的取值范围是 ．
11．函数在区间上 是减函数．
12．在区间上单调递增，则的取值范围是 。
13．函数在第二象限内单调递增，则最大的负整数是_______ _．
14．，的值域 ；，的值域 。
15．定义域 ，值域 。
定义域 ，值域 。
定义域 。
16．的值域 ，的值域 。
三、解答题
17．讨论函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
18．已知函数y＝．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）求函数的单调区间．
19．一个幂函数的图象过点(3, ),另一个幂函数的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式；
（2）判断这两个函数的奇偶性；
（3）作出这两个函数的图象，观察得的解集.
20．已知，若在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式。
（1） （2） （3）
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
3．指数、对数函数
1． 分数指数、零指数与负指数的定义：
①____； ②____；③____；．
2． 无理数指数幂：是一个确定的实数，我们可以根据无理指数的有理数近似值计算出其任意精确度的近似值．
3． 指数幂的运算性质：______；______；______；
例1．= ，= 。
例2．已知，则 ， 。
4． 对数的定义：______；其中a的取值范围是_________，N的取值范围是_________，零和负数没有对数．
5． 对数的运算性质：①____；②______；
③______；④__________；
⑤__________；⑥_______；
⑦______⑧换底公式：______________________；
⑨__________； ⑩__________；
6． 常用对数与自然对数：①叫做常用对数，简记为______；②_______；③叫做自然对数，简记为_________，其中e是一个无理数，其近似值为________．
例3． = ，= ，= ，= 。
例4．= ，= ，=_______
例5．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．已知，，，下列关系中，与不等价的是（ ）
A． B． C． D．
例7．方程的两根积为= 。
7． 指数函数：画出指数函数的图象，结合图象体会下表：
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为
函数图象都过定点（0，1）
图象自左向右逐渐上升 图象逐渐自左向右下降 增函数 减函数
第一象限内的图象在直线y =1的上方 第一象限内的图象在直线y =1的下方
第二象限内的图象在直线y =1的下方 第二象限内的图象在直线y =1的上方
图象上升的趋势是越来越陡 图象下降的趋势是越来越缓 函数值增长开始较慢，后来极快； 函数值减小开始极快，后来较慢；
8． 对数函数：画出对数函数的图象，结合图象体会下表：
图象特征 函数性质
函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数图象都过定点（1，1）
图象逐渐上升 图象逐渐下降 增函数 减函数
第一象限的图象在直线x =1右边 第一象限的图象在直线x =1左边
第二象限的图象在直线x =1左边 第二象限的图象在直线x =1右边
例8．写出符合的一个函数 ；
写出符合的一个函数 。
例9．，则的取值范围 ；
，则的取值范围 。
例10．的图象恒过定点，则的坐标 ；的图象恒过定点，则的坐标 。
例11．若，则函数不过第 象限，不过第 象限。
例12．画出与在同一坐标系中的图象
例13．二次函数与指数函数在同一坐标平面的图象是（ ）
A． B． C． D．
例14．，则的取值范围 ，，则的取值范围 。
例15．，则的关系是 ；
，则的关系是 ；
例16．在上恒有，则的取值范围 。
例17．，比较大小 。
例18．，比较大小 。
例19．比较大小 。
例20． 在上最大值为14，求实数值
例21．，当时，的取值范围是，求实数值
3．指数、对数函数对应练习
一、选择题
1．要使代数式有意义,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
2．下列函数中，图象与函数的图象关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D． 3．把函数的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则的值是（ ）
A．9 B． C．－9 D．－
9．若指数函数在［－1，1］上的最大值与最小值的差是1，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．计算. ．
11．设，求___________________
12．函数的图象恒过定点 ．
13．若函数的图象不经过第二象限，则满足的条件是 ．
14．计算 ．
15．若,求 ．
三、解答题
16．先化简,再求值: (1),其中；
(2) ,其中．
17．(1)已知，求的最小值与最大值．
(2)已知函数在[0,2]上有最大值8,求正数的值．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
5．反函数、零点、二分法
1：反函数
1．的反函数为 ；的反函数为 ；
的反函数为 ；的反函数为 。
2．二次函数是否存在反函数？ ；要使存在反函数，则定义域为 （写出任意一个即可）；，的反函数为
。
3．原函数与反函数关于 对称，若原函数经过点（），则反函数必经过点 ，若的反函数经过点（2，4），则= 。
2：方程与函数的关系：方程有实根 函数的图象_______________
函数有________．
1．下列对零点说法正确的有几个（ ）
①函数的零点就是方程的根。
②函数的零点就是的图象与轴的交点
③函数的零点是实数
④函数的零点是平面上的一个点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．，则函数零点为
3．零点是3，则的零点为
3：二次方程的根
4．函数有两个异号的零点，则的取值范围
5．已知是函数的两个零点，且则（ ）
A． B．
C． D．
6．一根比1大，另一根比1小，求的取值范围。
7．的两根分别在区间和上，求的取值范围。
4：闭区间上函数零点存在定理：区间[a，b]上的连续函数如果有，则：函数在区间(a，b)内有_______，方程在(a，b)内有_______．
8．下列说法正确的是（ ）
A．若，则在区间上至少有一个零点
B．若在上连续且，则在区间上没有零点
C．若在上连续且，则在区间上有且只有一个零点
D．若在上连续且，则在区间上至少有一个零点
9．有零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
10．函数零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象是连续不断的，有如下对应关系：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 1 -2 -5 -6 -4 3 -2
写出零点所在区间（区间长度为1） 。
5：零点个数
12．零点有 个。
13．零点有 个。
14．零点有 个。
6：证明零点唯一性
15．找出零点所在区间，并证明只有一个零点。
7：二分法求函数零点的一般步骤：
①确定区间[a，b]，使；②求区间(a，b)中点c；③计算，若，则____________；若，则__________；若，则___________；④判断是否达到精确度 ：若，则_____________；否则_________________．
16．用二分法求在区间上的实根，取区间中点，则下一个有解区间为 。
17．用二分法求的近似解， ，下一个求，则=
18．用二分法求的近似解（精确到0.1），利用计算器得，
，则近似解所在区间（ ）
A． B． C． D．
5．零点、二分法对应练习
1．如果抛物线的图象与轴交于两点和,则的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．对于任意,函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3． 设方程的根为,则（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
4．关于的一元二次方程有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则的取值范围是 ．
5．已知,在下列说法中：
(1) 若f(m)f(n)<0,且m(2) 若f(m)f(n)<0,且m(3) 若f(m)f(n)>0,且m(4) 若f(m)f(n)>0,且m其中正确的命题题号是 ．
6．用二分法求一个正数的零点（误差不超过0.1）
端点、中点坐标 端点、中点函数值 有解区间 区间长度
必修1综合测试
1．设全集，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解集是（ ）
A．{3} B．{－1} C．{－1,3} D．{1,3}
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．下表表示是的函数，则函数的值域是（ ）
2 3 4 5
A． B． C． D．N
5．已知，则之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．－2或3
7．函数的图像（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
8．根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为（ ）
-1 0 1 2 3
0.37 1 2.72 7.39 20.09
1 2 3 4 5
A．(-1,0) B．(0,1) C． (1,2) D． (2,3)
9若，则的值等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．已知函数满足，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
11．已知A={(x,y)|x+y-2=0},B={(x,y)|x-2y+4=0},C={(x,y)|y=3x+b},若(A∩B) C,则b= ．
12．已知函数是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，则整数的值是 ．
13．已知函数的图象如图所示，则的值分别为 、 ．
14．已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是单调增函数，若,则的取值范围是 ．
15．已知函数，令
(即和中的较大者)，则的最小值是___________．
16．设，求函数的最大值和最小值．
17．已知关于的二次函数．
(1)求证：对于任意，方程必有实数根；
(2)若，求证：方程在区间及上各有一个实数根．
18．对于函数,
(1)判断并证明函数的单调性； (2)是否存在实数，使函数为奇函数．证明你的结论．
19． 在距城的地发现稀有金属矿藏，现知由至某方向有一条直铁路，到该铁路的距离为，为在之间运送物资，拟在铁路上的某点处筑一直公路通到地．已知单位重量货物的铁路运费与运输距离成正比，比例系数为; 单位重量货物的公路运费与运输距离的平方成正比，比例系数为．设单位重量货物的总运费为元，AC之间的距离为．
(1) 将表示成的函数；(2)若，则当x为何值时，单位重量货物的总运费最少．并求出最少运费．
Ｏ
1
-2
y
A
C
D
X
B
50km
30km
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
