高中数学北师大版必修一第四章高中数学北师大版必修一 3.2 对数函数y=log2x的图象和性质 同步练习（含解析）

3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
课后训练
1.已知函数f(x)=log2(x+1),若f(a)=1,则a=(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
3．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点(　　)
A．(5,1) B．(1,5)
C．(1,1) D．(5,5)
4．函数y＝|log2(x＋1)|的图象是(　　)
5．已知函数f(x)＝log2x，且f(m)>0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．R
6.设集合A={x|y=log2x},B={y|y=log2x},则下列关系正确的是(　　).
A.A∪B=A B.A∩B=
C.A∈B D.A B
7.函数y=|log2x|的图象大致是(　　).
8.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)=(　　).
A.-log2x B.log2(-x)
C.logx2 D.-log2(-x)
9.已知函数f(x)=那么f的值为(　　).
A.27 B. C.-27 D.-
10．[多选题]已知函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．－
C．1 D.
11.设函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a=　　　　　.
12.满足不等式log2(2x-1)13.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为　　　　　.
14．已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)．
(1)求f(0)，f(1)；
(2)求函数f(x)的解析式．
16.当m为何值时,关于x的方程|log2(x-1)|=m无解 有一个解 有两个解
17.已知函数y=log2x的图象,如何得到y=log2(x+1)的图象 求出y=log2(x+1)的定义域、值域、函数图象与x轴的交点.
18.求函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)在区间[,4]上的最值,并求出取最值时对应的x的值.
19．已知函数f(x)＝|log2x|.
(1)若f(m)＝3，求m的值；
(2)若a≠b，且f(a)＝f(b)，求ab的值．
1.解析:因为f(a)=log2(a+1)=1,所以a+1=2,所以a=1.
答案:B
2.解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)，则2＝loga4即a2＝4得a＝2.故所求解析式为y＝log2x.
答案：A
3．解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．
答案：A
4．答案：A
5．解析：结合f(x)＝log2x的图象(图略)可知，当f(m)>0时，m>1.
答案：C
6.解析:由题意知A={x|x>0},B=R,故A B.
答案:D
7.解析:有关函数图象的变换是考试的一个热点,本题的图象变换是翻折变换,可知这个函数的图象是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分关于x轴翻折上去,位于x轴及上方的部分保留不变而得到的.
答案:A
8.解析:设x<0,则-x>0.
又当x>0时,f(x)=log2x,∴f(-x)=log2(-x).
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时,f(x)=-log2(-x).
答案:D
9.解析:f=log2=log22-3=-3,
f=f(-3)=3-3=.
答案:B
10．解析：当a>0时，log2a＝，则a＝2＝；当a≤0时，2a＝，即2a＝2－1，则a＝－1.综上，a＝－1或a＝.故选AD.
答案：AD
11.解析:∵函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为y=2x,即g(x)=2x(x∈R).
又g(a)=,∴2a=,∴a=-2.
答案:-2
12.解析:因为对数中真数大于0,且y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,所以有解得答案:,2
13.解析:∵f(x)=log2x在区间[a,2a]上是增函数,
∴f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log2(2a)-log2a=1.
答案:1
14．解析：如图所示，需使函数f(x)的图象与直线y＝a恒有两个不同的交点，则a∈(0,1]．
答案：(0,1]
15．解析：(1)∵当x≤0时，f(x)＝log (－x＋1)，∴f(0)＝0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝log [－(－1)＋1]＝log2＝－1，即f(1)＝－1.
(2)令x>0，则－x<0，
∴f(－x)＝log (x＋1)＝f(x)，
∴x>0时，f(x)＝log (x＋1)．
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
16.解:在同一平面直角坐标系,分别画出函数y=|log2(x-1)|和y=m的大致图象,如图所示.
由图象得:当m<0时,方程无解;当m=0时,方程有一个解;当m>0时,方程有两个解.
17.解:函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数y=log2(x+1)的图象,如图.
函数y=log2(x+1)的定义域为(-1,+∞),值域为R,与x轴的交点是(0,0).
18.解:f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log2x+2)(log2x+1)=(log2x)2+3log2x+2.
令log2x=t,则f(x)=g(t)=t2+3t+2=(t+)2-.因为≤x≤4,所以-2≤t≤2,所以当t=-时,g(t)有最小值,为g(-)=-;
当t=2时,g(t)有最大值,为g(2)=12.
由log2x=-,得x=;
由log2x=2,得x=4.
综上,当x=时,f(x)有最小值-;
当x=4时,f(x)有最大值12.
19．解析：(1)由f(m)＝3，得|log2m|＝3，
即log2m＝3或log2m＝－3，
解得m＝8或m＝.
(2)∵a≠b，且f(a)＝f(b)，不妨设a∴|log2a|＝|log2b|，
则－log2a＝log2b，∴log2a＋log2b＝0，
∴log2ab＝0，故ab＝1.
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