2023-2024学年江苏省南通市崇川区第一初级中学九年级（上）10月月考数学试卷(含解析）

2023-2024学年江苏省南通市崇川区第一初级中学九年级（上）10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列函数中，一定为二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. 直径是圆中最长的弦 B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆 D. 半径相等的两个半圆是等弧
3.在平面直角坐标系中，如果将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，那么所得的新抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在中，，点在上，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.抛物线的顶点是
( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，是直径，弦，则的长为( )
A. B. C. D.
7.若点，，在抛物线上，则下列结论正确的
( )
A. B. C. D.
8.若二次函数的与的部分对应值如下表，则当时，的值为
( )
A. B. C. D.
9.二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是
( )
A. B. 且 C. D. 且
10.如图，已知，在正方形中，，以点为圆心，为半径作，点在上移动，连接将绕点逆时针旋转至，连接在点移动过程中，长度的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11.二次函数的图象的对称轴是 ．
12.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ．
13.二次函数的图象绕其顶点旋转后所得图像的解析式是 ．
14.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行___ __才能停下来．
15.已知抛物线与轴交于两点，，且，则 ．
16.的半径为，弦，，，则与之间的距离是 ．
17.如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：
；；；，其中正确的有 填序号．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
已知点，点都在关于的函数的图象上，且，则的取值范围是 ．
19.本小题分
已知是关于的二次函数．
若函数有最小值，求的值；
判断点是否在中的函数图象上．
20.本小题分
如图，，是上的两点，是的中点．求证：．
21.本小题分
一座拱型桥，桥下水面宽度是米，拱高是米，大雨过后，桥下水面宽度是米，求水面上涨了多少米？若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中如图，可设抛物线的表达式为，请你求出此时水面上涨了多少米？
22.本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作于，，．
求的长；
求的长．
23.本小题分
如图，抛物线经过点，点，且．

求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
24.本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，．

试判断的形状，并给出证明；
若，，求与的长度．
25.本小题分
红星公司销售一种成本为元件的产品，若月销售单价不高于元件．一个月可售出万件；月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为单位：元件，月销售量为单位：万件．
直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当月销售单价是多少元件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于元件，月销售最大利润是万元，求的值．
26.本小题分
定义：函数图象上到两坐标轴的距离之和小于或等于的点，叫做这个函数图象的“阶近距点”例如，点为函数图象的“阶近距点”；点为函数图象的“阶近距点”．
在；；三点中，是一次函数图象的“阶近距点”的有______、填序号；
若关于的一次函数的图象的“阶近距点”不止一个，求的取值范围；
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的定义，进行判断即可．
【详解】解：、，是一次函数，不符合题意；
B、，当时，不是二次函数，不符合题意；
C、，含有分式，不是二次函数，不符合题意；
D、，是二次函数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查判断是否是二次函数，熟练掌握二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】根据直径的定义对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据等圆的定义对进行判断；根据半圆和等弧的定义对进行判断．
【详解】解：、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
3.【答案】
【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】二次函数的图象向左平移个单位所得函数解析式为：；
二次函数的图象沿轴向上平移个单位所得函数解析式为：．
故选A
4.【答案】
【解析】【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解：，点在上，

故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】将一般式化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】解：；
顶点坐标为；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是把一般式转化为顶点式．
6.【答案】
【解析】【分析】根据圆周角定理得出，得出是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】，
，
，
，
是等腰三角形，
是直径，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出．
7.【答案】
【解析】【分析】把点、、的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
【详解】解：时，
时，
时，
，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，
抛物线的对称轴为，
和的函数值相同，为；
故选D．
【点睛】本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴．
9.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
且，
且．
故选：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
10.【答案】
【解析】【分析】通过画图发现，点的运动路线为以为圆心，以为半径的圆，可知：当在对角线上时，最小，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，则得出的长．
【详解】解：如图，当在对角线上时，最小，
连接，
由旋转得：，
，
四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
即长度的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出长度的最小值．
11.【答案】直线
【解析】【分析】利用二次函数的对称轴是：直线，运用对称轴公式即可求解．
【详解】解：，
，，
二次函数图象的对称轴是：直线．
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称轴，解题的关键是掌握二次函数对称轴的公式．
12.【答案】
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】利用旋转性质，形状顶点不变，开口大小不变，由于转转，开口向下，变负，为此先把原抛物线解析式配方变顶点式即可．
【详解】，
抛物线的顶点为，
抛物线绕顶点旋转，
开口向下，开口大小不变，顶点不变，
则所求抛物线解析式为，
抛物线解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转后抛物线解析式问题，关键是掌握旋转不变形顶点不变，开口大小不变，只是开口方向改变，会利用不变形解决抛物线顶点问题，利用开口方向与大小确定，是问题得以解决．
14.【答案】
【解析】【详解】求停止前滑行多远相当于求的最大值．
则变形，
所以当时，汽车停下来，滑行了．
15.【答案】
【解析】【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式即可得到关于的一元二次方程，求出的值即可．
【详解】抛物线与轴交于，两点，
，，
，
，
解得，或，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，熟知一元二次方程的根与系数的关系及完全平方公式是解答此题的关键．
16.【答案】或
【解析】【分析】首先作、的垂线，然后根据垂径定理求得，，在直角三角形和直角三角形中，利用勾股定理求得、的长度；最后根据图示的两种情况计算的长度即可．
【详解】解：有两种情况．如图．过作、的垂线，，交于点，交于点．
就是、间的距离．
，，
根据垂径定理，得，，
，
在直角三角形和直角三角形中，
，，
．
故答案是：或．
【点睛】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，解题关键是要进行分类讨论．
17.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线与轴有个交点可得，进而可判断错误；根据对称轴在轴的左侧可得，根据抛物线与轴的交点在轴上方可得，进而可判断正确；由时，可得，然后求出，进而可判断正确；根据二次函数的对称性可得时，，然后可判断正确．
【详解】解：抛物线与轴有个交点，
，即，错误；
抛物线的对称轴在轴的左侧，
、同号，即，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，正确；
时，，
，
对称轴为直线，
，
，
，
，正确；
抛物线的对称轴为直线，
和时的函数值相等，即时，，
，正确；
正确的有，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系．
18.【答案】【空】


【解析】【分析】根据抛物线的对称轴，求出的值，进而得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：，
对称轴为：，
点，点都在抛物线上，且函数值相同，
两个点关于对称轴对称，
，解得：；
，
，
，对称轴为，
抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
，
当时，有最大值为，当时，有最小值为：；
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出的值．
19.【答案】解：是关于的二次函数
二次函数有最小值，则，
；
解：，
当时，
点不在此函数图象上．

【解析】【分析】先根据二次函数的定义求出的值；
把代入二次函数的解析式，若计算出来的值等于纵坐标，则点在二次函数图象上，否则不在．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数．
20.【答案】证明：连接．
是的中点，
，
，
，，
≌ ，
．

【解析】【分析】连接，由是的中点，得到，则，然后证明≌ 即可得到．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等．
21.【答案】由题意“拱高是米”可知抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
由得，
将点代入抛物线解析式，得：，
解得：，
抛物线解析式为：
由桥下水面宽度可得，
当时，
此时水面上涨了米．

【解析】【分析】根据拱高可设抛物线解析式为：，然后将代入可求得抛物线的解析式为，再计算时函数的值即可．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是巧设抛物线的解析式．
22.【答案】解：是的直径，
，
，
，
，
；
解：，，
，
在中根据勾股定理可得，
，
在中根据勾股定理可得，
，
即，
解得：，
．

【解析】【分析】根据中位线定理即可得到答案；
根据垂径定理得到，在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出半径即可得到答案．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是应用两次勾股定理求半径．
23.【答案】解：抛物线经过点，点，且．
，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
抛物线解析式为
解：，
，
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
．

【解析】【分析】根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】解：是等腰直角三角形，证明如下：
为的直径，
，
同弧所对的圆周角相等，
又，
，
，
是等腰直角三角形；
是等腰直角三角形，，
，，
为的直径，
，
，
过点作于点，

，
，
，
，
．

【解析】【分析】圆周角定理得到为直角，，进而得到，即可得出结论；
勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长，过点作于点，分别利用勾股定理求出，即可．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握圆周角定理，是解题的关键．
25.【答案】解：由题意，当时，，
当时，，
，
，
解得，
综上，；
设该产品的月销售利润为万元，
当时，，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，最大值为；
当时，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
因为，
所以当月销售单价是元件时，月销售利润最大，最大利润是万元；
捐款当月的月销售单价不高于元件，月销售最大利润是万元大于万元，
，
设该产品捐款当月的月销售利润为万元，
由题意得：，
整理得：，
，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最大值，最大值为，
因此有，
解得．

【解析】【分析】分和两种情况，根据“月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；
在的基础上，根据“月利润月销售单价成本价月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润月销售单价成本价月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
26.【答案】解，
不是一次函数图像的“阶近距点”；
，
是一次函数图像的“阶近距点”；
，
是一次函数图像的“阶近距点”；
故答案为：；
如图作正方形，四个顶点坐标分别为，，，，
当时，
关于的一次函数的图象的“阶近距点”不止一个，
当时，
即，解得：；
当时，，即，解得：，
；
当时，
关于的一次函数的图象的“阶近距点”不止一个，
当时，
即，解得：；
当时，，
即，解得：舍去
；
综上，若关于的一次函数的图象的“阶近距点”不止一个，则或；
解：二次函数，
抛物线的顶点，
抛物线的顶点在直线上运动，
如图中，当点在第一象限时，过点作于点，在轴的正半轴上截取，使得，以为对角线作正方形，

当抛物线与正方形有交点时，二次函数图像的存在“阶近距点”，
，
当抛物线经过点时，，
或舍去，
如图中，当抛物线经过时，

，
或舍去，
如图中，当抛物线与直线相切时，

，
，
，
，
二次函数图像的“阶近距点”不存在，
的取值范围为：或．

【解析】【分析】根据题意直接代入判断即可得到答案；
如图作正方形，然后分和两种情况，分别根据“阶方点”不止一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出的值，并舍去不合题意的值即可得；
二次函数，得到抛物线的顶点，推出抛物线的顶点在直线上运动，当点在第一象限时，过点作于点，在轴的正半轴上截取，使得，以为对角线作正方形，当抛物线与正方形有交点时，二次函数图像的存在“阶近距点”求出三种特殊位置的值，即可判断．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图像的交点问题是解题的关键．
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