2023-2024学年江苏省苏州市吴中区碧波中学八年级（上）10月月考数学试卷(含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市吴中区碧波中学八年级（上）10月月考数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，三个居民小区分别坐落在地图中的三个顶点，，处，现要建一个牛奶供应站，且该供奶站到三小区，，的距离相等，则该供奶站的位置应选在
( )
A. 三边的垂直平分线的交点 B. 三个内角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高所在直线的交点
3.在中，，，的对边分别是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是
( )
A. B.
C. D.
4.如图，一轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后两船相距
( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
5.如图，，点是它内部一点，，点，分别是，上的两个动点，则周长的最小值为
( )
A. B. C. D.
6.如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积
( )
A. B. C. D.
7.如图，线段，的垂直平分线，相交于点若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是
( )
A. B. C. D.
9.如图，中，，点为内一点，，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，分别为边上的高，相交于点，，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长．其中正确的有
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长是 ．
12.如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，则与成轴对称且以格点为顶点三角形共有 个．
13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是，则最大的正方形的面积是 ．
14.直角三角形的两条边长分别为，，则这个直角三角形的斜边长为____ ．
15.我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”注：丈、尺是长度单位，丈尺这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是 尺．
16.如图，在中，以为直径的半圆的面积分别为，则 结果保留
17.如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ．
18.如图，长方体的底面边长分别为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ___．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为即三角形的顶点都在格点上．

在图中作出关于直线对称的；要求：与，与，与相对应
若有一格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有__________个；
在直线上求作一点使的值最小，此时__________．
20.本小题分
如图，在和中，，，，与交于点，与交于点．
求证：；
若，求的度数．
21.本小题分
年是中国共产党建党周年，大街小巷挂满了彩旗．如图所示：长方形彩旗完全展平时的尺寸图单位：其中长方形是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上．这杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度．
22.本小题分
如图，在中，，为延长线上一点，且交于点．
求证：是等腰三角形；
若，，为中点，则_____．
23.本小题分
如图，将矩形沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．

求的长；
求和的面积；
求中点到边上的距离．
24.本小题分
如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．

城是否受到这次台风的影响？为什么？
若城受到这次台风影响，则城遭受这次台风影响有多长时间？
25.本小题分
如图，中，于，且，
试说明是等腰三角形；
已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为秒，
若的边与平行，求的值；
若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】是轴对称图形，故A符合题意；
B.不是轴对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，故C不符合题意；
D.是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定点的位置．
【详解】解：点到点，，的距离相等，
点为、、的垂直平分线的交点．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了线段垂直平分线的性质．掌握三角形的重心及线段垂直平分线的性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案．
【详解】、，
，故不是直角三角形；
B、，且，
，故为直角三角形；
C、，故设
，故为直角三角形；
D、，故为直角三角形．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握这两个基本知识点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里，海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
，
两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里，
根据勾股定理得：海里
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
5.【答案】
【解析】【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，，如图所示：

由对称性可知，，，，
，
当点、、、四点共线时的周长最小，最小值为，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
周长的最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】延长交于点，根据题意，通过判定，由和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．
【详解】解：延长交于点，如图所示，
，
，
，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
和同底等高，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
7.【答案】
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到，计算即可．
【详解】解：如图，连接并延长至点，与线段交于，
，是、的垂直平分线，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
故选：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
8.【答案】
【解析】【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故选：．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
9.【答案】
【解析】【分析】作于点，延长交于点，连接由题意可求出由所作辅助线可判断为的垂直平分线，即得出，从而得出，进而可求出由图易求出，由三角形外角性质可求出，即再根据，即得出，从而可证明，即得出由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值，再根据三角形内角和定理可求出的值，相加即可．
【详解】如图，作于点，延长交于点，连接．
由题意可求出，
，
．
，
为的垂直平分线，
，
，
，
，，
．
，
．
又，
，
．
，
．
，
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】延长交于，先利用“”证明，得出，可判断正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断错误；由，得出，得出，可判断正确；由，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断正确；进而可以解决问题．
【详解】解：如图，延长交于，

分别为边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，故正确；
，
，
，
，故错误；
，，
，
，故正确；
，
，
，
，
垂直平分，
，
的周长
，故正确，
正确的有．
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】因为边为和，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【详解】当为底时，其它两边都为，而、、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和因为，所以不能构成三角形，故舍去，
答案只有．
故答案为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
12.【答案】
【解析】【分析】解答此题首先找到的对称轴，、、，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有，，，，共个，
故答案为．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解．
【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，

根据题意可得，，，
，
是正方形的面积，
正方形的面积为，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积为，
正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】【分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当为直角边时，这个直角三角形的斜边长为，
当为斜边时，这个直角三角形的斜边长为，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，熟记定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】首先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可．
【详解】设这个水池深尺，
由题意得，，
解得：
答：这个水池深尺．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16.【答案】
【解析】【分析】根据半圆面积公式，求出、即可解决问题．
【详解】，，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了半圆的面积公式，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．
17.【答案】
【解析】【分析】证明，可得，，可得．
【详解】解：，为的中点，
，
，，
在中，，
同理可得到：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的求解是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将长方体展开，连接、，
，，
根据两点之间线段最短，．
故答案为：
19.【答案】解：根据轴对称的性质，找到对应的格点，连接对应线段，如下图：
即为所求，

解：由题意可得，点在线段的垂直平分线上，如下图：

由图形可得，满足条件的点有个；
故答案为：
解：连接交直线于点，点即为所求，
由轴对称的性质可得：
由三角形三边关系可得：
当三点共线时，，此时最小，为
由勾股定理得：
的最小值为

故答案为

【解析】【分析】根据轴对称的性质，求得对应的格点，连接对应线段即可；
由题意可得，点在线段的垂直平分线上，寻找相应的格点即可；
根据轴对称的性质可得：，再根据三角形三边关系可得，当三点共线时，最小，根据勾股定理求解即可．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
20.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
；
解：，
，
即，
，
，
，
，
．

【解析】【分析】利用可以证明，从而可以证明结论成立；
根据中的全等和三角形内角和可以得到的度数，据此即可求解．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：由题意可得：
彩旗这一长方形的对角线即，
．

【解析】【分析】分析可知：彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．
22.【答案】证明：
又
，
是等腰三角形；
解：过作，交于点
，，为中点
又在中，，
，
在和中
≌
，是等腰三角形，
，
故答案为：．

【解析】【分析】通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形；
过作，交于点根据全等三角形的判定和性质得出≌，≌，找出线段间的数量关系求解即可．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质．
23.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，由折叠性质得：，
，
，
设，则．
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：，
；
解：由折叠的性质得：，，，，
，
；
解：，设到边上的距离为，
则，即：，解得：，
到边上的距离为．

【解析】【分析】易证，在直角中，根据勾股定理就可以求出的长；
由折叠的性质得，，，，由，即可得出结果；
由勾股定理得出的长，设到边上的距离为，则，即可得出结果．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，运用三角形面积公式计算是解题的关键．
24.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；
设上点，，则还有一点，有．

，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，，
在中，，，
由勾股定理得，，
则，
遭受台风影响的时间是：．

【解析】【分析】由点向作垂线，垂足为，根据勾股定理求得的长，与比较即可得结论；
上分别取、，则是等腰三角形，由，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．
25.【答案】证明：设，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；
解：设，
则，
，而，
，
则，
由题意可知当点到达点时点刚好到达点，此时．
当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行，值为或．
点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图所示：
此时，
，
，
，
，
，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为或或．

【解析】【分析】设，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
由的面积求出；当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
由直角三角形的性质得出，根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能：；；；分别得出方程，解方程即可．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
第1页，共1页