哈师大青冈实验中学2023—2024学年度第一学期期中考试
高二学年数学试题
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知点，点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若共面，则实数的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称 为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（ ）
A．3 B． C． D．1
7．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．若点在圆上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．过两点的直线方程为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
C．点关于直线的对称点为
D．直线必过定点
11．在棱长为2的正方体中，分别为棱，，的中点，为侧面的中心，则（ ）
A．直线平面 B．直线平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积
12．太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳角， 太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义，若一个函数的图像能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．函数可以是某个圆的“太极函数”
B．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图像是中心对称图形
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为 ．
14．已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为 .
15．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ．
16．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面．，，分别是，的中点，是棱上的动点，下列结论中正确的序号是 ．
①
②存在点，使平面
③存在点，使直线与所成的角为
④点到平面与平面的距离和为定值
四、解答题（本题共6个小题，其中17小题10分，其他小题每题12分，共70分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知直线和直线的交点为．
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．
18．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.
19．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且.
(1)求证：；
(2)求EF与CG所成角的余弦值.
20．①经过点；②与轴相切，半径为2；③被直线平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
问题：已知圆经过点，点，__________.
(1)求圆的方程；
(2)若经过点的直线与圆相切，求直线的方程.
注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．在平面上．设椭圆，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为．
(1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；
(2)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．
(1)证明：；
(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的二面角的夹角．哈师大青冈实验中学2023—2024学年度第一学期期中考试
高二学年数学试题
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1--5 ABABC 6--8 BDB
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．AD 10．BD 11．BCD 12．AB
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13． 14．16 15． 16． ①②④
四、解答题
17．解：联立解得，可知交点
（1）设与直线平行的直线方程为把交点代入可得，∴
∴所求的直线方程为：
（2）设与直线垂直的直线方程为：∵到的距离为，解得或
∴直线的方程为：或
18．（1）由题意得，解得，所以椭圆方程为.
（2）设，则，即
，
因为的对称轴为，所以在为减函数，
所以当时，的最大值为的最大值为.
19．（1）证明：以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图，
则根据题意可得：
，，， ，，，
，即，；
（2）由（1）知，，，
又与所成角的范围为，EF与CG所成角的余弦值为．
20．（1）选①.设圆的方程为，因为圆经过三点，所以，解得.所以圆的方程为，即.
选②.由点，得线段的中垂线方程为.则圆心在直线上，设圆的圆心坐标为，又由圆与轴相切，可知圆心在轴上方由半径为2，得，所以.所以圆的方程为.
选③.由点，得线段的中垂线方程为.则圆心在直线上，因为圆被直线平分，则圆心在直线上.由解得所以圆心坐标为，所以半径，
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.因为直线与圆相切，所以，解得，所以直线的方程为.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；综上，直线的方程为或.
21．（1）梯形的高为，，代入椭圆方程得：，
在上的射影为的焦点，，又，.
（2）
当时，椭圆；设，由得：，，；，可设直线，由得：，
则，解得：，，；
；；
，，整理可得：，即；
点到直线的距离为直线与间距离的倍，，，即的面积为定值.
22．（1）设，则为的中点，连接，
因为为菱形，则，又因为，且为的中点，则，
，平面，所以平面，且平面，则，
又因为∥平面，平面，平面平面，可得∥，所以.
（2）因为，且为的中点，则，且，，平面，所以平面，可知与平面所成的角为，即为等边三角形，
设，则，且平面，平面，可得平面，平面，
且平面平面，所以，即交于一点，因为为的中点，则为的重心，且∥，则，设，则，
如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，
设平面的法向量，则，令，则，可得，
可得，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
