河南省郑州市宇华学校2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

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宇华学校2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名 准考证号 座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.的图像可由的图像平移变换得到
B.和的图像有相同的对称中心
C.若和具有相同的奇偶性，则
D.和都在区间上单调递增
4.若，则的值为（ ）
A.-7 B.-14 C. D.
5.已知圆和点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.在的展开式中，的系数为（ ）
A.4 B.-4 C.-60 D.60
7.已知等差数列的公差不为且成等比数列，则错误的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知数列，其中第一项是.接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（ ）
A.83 B.87 C.91 D.95
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列结论正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知，则正确的有（ ）
A.是第二象限角 B.
C. D.或3
11.在正四棱柱中，为的中点，为上的动点，则（ ）
A.三棱锥的体积为
B.直线所成角的余弦值为
C.的最小值为
D.当四点共面时，
12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.在上单调递减
B.恰有2个零点
C.若，则
D.若，则
三 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知偶函数是在上连续的可导函数，当时，，则函数的零点个数为__________.
14.设，若，则__________.
15.在直三棱柱中，所有的棱长都相等，为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为__________.
16.数列满足，前8项的和为106，则__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数，当时，取得最大值的图象上与该最大值点相邻的一个对称中心为点.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域.
19.（12分）如图，在中，在的外部，.
（1）求；
（2）若与的延长线交于点，且，求面积的最大值.
20.（12分）如图，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交第一象限于两点，设点到焦点的距离为.
（1）若，求抛物线的标准方程；
（2）若点是的中点，求直线的斜率.
21.（12分）2022年北京冬奥会成功举办后，冰雪运动深受人们喜爱.高山滑雪运动爱好者乙坚持进行高山滑雪专业训练，为了更好地提高滑雪技能，使用两个气候条件有差异的标准高山滑雪场进行训练.
（1）已知乙第一次去滑雪场训练的概率分别为0.4和0.6.选择高山滑雪场的规律是：如果第一次去滑雪场，那么第二次去滑雪场的概率为0.6；如果第一次去滑雪场，那么第二次去滑雪场的概率为0.5，求高山滑雪运动爱好者乙第二次去滑雪场的概率；
（2）高山滑雪爱好者协会组织高山滑雪挑战赛，挑战赛的决赛由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙 丙组成的“飞雪”队进行比赛，约定赛制如下：“飞雪”队的乙 丙两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场比赛则甲获胜；若甲连续输两场比赛则“飞雪”队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，若甲与乙比赛，乙赢的概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为，其中.赛事组委会规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.若“飞雪”队第一场安排乙与甲进行比赛，设赛事组委会预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围.
22.（12分）已知椭圆的上 下焦点分别为为坐标原点.
（1）若点在椭圆上，且，求的余弦值；
（2）若直线与椭圆交于两点，记为线段的中点，求直线的斜率.
宇华学校2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学 参考答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：A
解析：由，得，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以可化为
因为在区间单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选：A
2.答案：A
解析：，
，
，
故，所以.
3.答案：D
解析：的最小正周期为
的最小正周期为与两函数的周期性不同，故的图像不可由的图像平移变换得到，错误；
易知的图像的对称中心是的图像的对称中心是和的图像没有相同的对称中心，B错误；
是奇函数，若也是奇函数，则即，故C错误；
由得，所以的单调递增区间为，故在区间上单调递增，，由
得，所以的单调递增区间为在区间上单调递增，
和都在区间上单调递增，D正确.
故选D.
4.答案：B
解析：一方面由题意，且注意到，
联立得，解得，
所以，
另一方面不妨设，且，
所以有，解得或（舍去），
即，
由两角和的正切公式有，
所以
.
故选：B.
5.答案：C
解析：取，连接，
则，又，
所以，
又，故，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
6.答案：C
解析：，
其展开式的通项为，
若先满足中的次数，则，可得，
其中展开式的通项为，
令，得，所以，
故的系数为.
故选：C.
7.答案：C
解析：设等差数列的公差为，
因为且成等比数列，所以.
解得，所以.
，故A正确；
因为，所以，故B正确；
，故C错误；
因为，所以当时，，即，
故D正确.
8.答案：D
解析：根据题意将数列分组，第一组为第一项是，
第二组为为第二项和第三项是，
依次类推，第组为，
第组含有项，
所以第组的和为：，
前组内一共含有的项数为：，
所以前组内的项数和为：，
若该数列的前项和为2的整数幂.，只需将消去即可；
若，则，
不满足；
若，则，
不满足；
若，则，
满足；
故满足如条件的最小整数为95.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.答案：BCD
解析：对于，当时，由，得，则；
当时，由，得，则，
因为，所以，
综上，或，所以错误；
对于，因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，即，
所以，所以，所以正确；
对于C，令，则，
所以，所以，所以，所以，所以C正确；
对于，令，则，当时，
，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以正确.故选BCD.
10.答案：BD
解析：对于，
，
为第三象限角，
，
，
当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角，
可能为第二或第四象限角，故A错误；
对于，
，
，
，故B正确；
对于，由，
，
可能为正，也可能为负，
，故C错误；
对于，当时，
，
故，
当时，
故
故或3，故D正确.
故选：BD.
11.答案：AC
解析：以为原点，的方向分别为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
设为平面的法向量，
则，取得，
所以，点到平面的距离，
易知，所以，
所以，A正确；
因为，
所以直线所成角的余弦值为错误；
由上可知，，
所以，
由二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为正确；
当四点共面时，则有，
因为，
所以，
即，解得，
此时，，又，所以，
因为，
所以与不垂直，错误.
故选：AC
12.答案：ABD
解析：对于，故在区间上单调递减，
但在定义域上不递减，又，故A正确，B正确；
对于，不妨设，作出的简图，如图，
由知或者或者
而，且，但当时，从而此时，故C错误；
对于，因为在上单调递减，
所以，即，故D正确.
故选ABD.
三 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.答案：2
解析：显然不是的零点，
方程等价于，
令，
则，
当时，，则在上单调递增，
为偶函数，为奇函数，
在上单调递增，
由图象可知与有两个交点，
故函数的零点个数为2，
故答案为：2.
14.答案：
解析：因为，所以，
因为，所以，故，
所以
故
.
则.
故答案为：.
15.答案：
解析：解：以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，
所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设直三棱柱所有的棱长都为2，则，
，所以.
设与所成的角为，
则.故答案为：.
16.答案：8
解析：，
当为奇数时，；
当为偶数时，.
设数列的前项和为
，解得.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）答案：（1）；（2）.
解析：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
经检验满足题意，所以.
（2）由（1）知，易知在上单调递减，
由，可得，
因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于
，
又在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
18.（12分）答案：（1）
（2）
解析：（1）设的最小正周期为，
由题意可知：，
则，可得，
则，
且图象过点，可得，
则，解得，
又因为，可知，
所以.
（2）由题意可得：，
因为，则，
可得，
即，所以在区间上的值域为.
19.（12分）答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
即，
整理得，即，
显然，所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以A，分别是的中点，故.
在中，，
故.
由余弦定理得，
即，
即，当且仅当时，等号成立.
故，
所以面积的最大值为.
20.（12分）答案：（1）；（2）
解析：（1）抛物线的焦点，准线方程为，
则，由，可得轴，
则，即有，即，
所以抛物线方程为；
（2）设，
代入抛物线的方程，可得，
，即且，
，
因为点是的中点，所以，
由可得，
即有，解得，
因为点位于第一象限，所以，
所以所求直线的斜率为.
21.（12分）答案：（1）0.54
（2）
解析：（1）设：第一次去滑雪场，：第二次去滑雪场，：第一次去滑雪场，：第二次去滑雪场，
所以，
，
所以.
（2）由已知或.
因为第一场比赛由“飞雪”队的乙与甲进行，
所以“飞雪”队获胜的概率为，
甲获胜的概率为，
所以非平局的概率为，
平局的概率为.
随机变量的分布列为：
4.5 3.6
随机变量的数学期望为（万元），
又，所以的取值范围为（单位：万元）.
22.（12分）答案：（1）；（2）.
解析：（1）依题意，，
则，
而，
故；
（2）设，
则
两式相减可得，，
则，即，
即，
而直线的斜率，
故.