福建省莆田市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

莆田市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学科
（总分：150分，考试时间：120分钟）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卷上.
第I卷（选择题共60分）
一 单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.数列.的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知等差数列中，，则公差的值为（ ）
A. B.1 C.-1 D.
4.已知等比数列中，，则（ ）
A.4 B.±4 C.8 D.±8
5.已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数列满足，则（ ）
A.2 B. C.-1 D.2023
7.过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知实数满足方程，则的最大值和最小值分别为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.设等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A. B. C. D.最大
10.直线的方程为：，则（ ）
A.直线斜率必定存在
B.直线恒过定点
C.时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
D.时直线的倾斜角为
11.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A.1 B.-1 C.-2 D.2
12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
三 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）
14.点到直线的距离为__________.
15.点关于直线的对称点的坐标为__________.
16.若数列的通项公式是，则__________.
四 解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（10分）等差数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值.
18.（12分）已知直线的方程为.
（1）求过点，且与平行的直线方程；
（2）过点，且与垂直的直线方程.
19.（12分）在平面直角坐标系中有曲线.点为曲线上的动点，点.
（1）求线段的中点的迹方程；
（2）求三角形面积的最大值，并求出对应点的坐标
20.（12分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21.（12分）已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
22.（12分）已知正项数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
莆田市五校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学科
参考答案
第I卷（选择题共60分）
一 单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.【答案】B
【详解】由题意，的斜率为1，倾斜角为.
故选：B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】用观察法总结其规律，写出一个通项公式即可.
【详解】先不考虑符号，数列的通项公式为，
然后再考虑符号（正负交替出现），则它的一个通项公式为.
故选：C.
3.【答案】C
【解析】等差数列中，，
则，即，
解得
故选C
4.【答案】C
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
5.【答案】A
【分析】使用点法式求直线方程，然后化简即可.
【详解】由题可知：使用点法式可得直线方程为，
化简得：.
故选：A
6.【答案】A
【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定.
【详解】由，……
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
7.【答案】B
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线的斜率为，倾斜角为，
，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，
因为，所以.
故选：B.
8.【答案】B
【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可.
【详解】圆，圆心，半径为，
令，即的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的值，
，解得，
的最大值为，最小值为.
故选：B
二 多选题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.【答案】ABC
【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式求解判断.
【详解】等差数列，由得，所以正确；
，故B正确；
，又，可知大于，故C正确，错误.
故选：ABC.
10.【答案】BC
【分析】当时，斜率不存在，即可判断A，直接求出直线恒过的定点，即可判断，时，直线，求出在轴，轴上截距，进而可求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，即可判断C，时，直线斜率为，可得倾斜角，即可判断D.
【详解】当时，直线，此时斜率不存在，故A错误；
直线，即，直线恒过定点，故B正确；
时，直线，在轴，轴上截距分别为，此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故C正确.
时，直线，此时斜率为，倾斜角为，故错误；
故选：BC
11.【答案】AD
【解析】
【分析】先考虑直线过原点的情况，再把直线的一般式方程转化为截距式方程，通过横纵截距相等求出实数的值.
【详解】，即时，直线化为，
它在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
，即时，直线化为，
因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，且，解得；综上所述，实数或.
故选：AD.
12.【答案】BCD
【分析】根据数列各项可知其是以6为周期的周期数列，由此可判断AB；根据斐波那契数列的定义，采用累加法可判断；由斐波那契数列定义可推导得到，累加即可判断D.
【详解】斐波那契数列：，则，
，
即数列是以6为周期的周期数列，
对于A，，故A错误；
对于
，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，
，
，
，
又，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列.
第II卷（非选择题）
三 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.【答案】（只需满足即可）
【分析】计算出直线的斜率，可写出该直线的一个方向向量坐标.
【详解】直线的斜率为，
所以，直线的方向向量坐标可以为.
故答案为：（只需满足即可）.
14.【答案】
【解析】由题可知：，则
所以点到该直线的距离为
故填
15.【答案】
【解析】
【分析】设的坐标，由题意可得直线为线段的中垂线，可得点的坐标.
【详解】设是点关于直线的对称点，
由题意可得，解得，可得.
故答案为：.
16.【答案】3036
【解析】
【分析】根据通项公式可知相邻奇数项与偶数项两项之和为常数，分组求和即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：3036
四 解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.【答案】（1）；（2）6
【解析】（1）设首项为，公差为.因为，
所以解得，所以.
（2）由（1）可得，所以当或3时，取得最
大值..
18.【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设所求直线方程为，代入点即可得到结果；
（2）设所求直线方程为，代入点即可得到结果.
【详解】
（1）设与平行的直线方程为：，
代入得：，
过点，且与平行的直线方程为.
（2）设与垂直的直线方程为：，
代入得：，
过点，且与垂直的直线方程为：.
19.【解析】（1）设线段的中点为，点，
由中点坐标公式可得即
由于点在曲线上，则，
即，整理可得，
因此，线段的中点的轨迹方程为.
（2）由于点在曲线上，当点为曲线与轴的交点时，的面积取得最大值，此时点的坐标为.
20.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，
则
设等差数列的公差为，则，所以.
所以
设等比数列的公比为，由题，即，所以.
所以；
（2），
所以的前项和为
21.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为；
【详解】
（1）由，得直线的斜率为，线段中点，所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
即，解得，
所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即
22.【解析】（1）
（2）
【分析】小问1：利用通项公式与的关系即可求出；
小问2：根据（1）可得，结合错位相减法即可求出前项和.
（1）当时，.
当时，①，，②
①-②得：，
即：.
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
；
（2）由（1）可知，则
①
两边同乘2得：，②
①-②得：
，
.