湖南省衡阳市衡阳县第四中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

衡阳县第四中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合,,则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数,则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知是奇函数,将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为.则（ ）
A. B. C. D.
4.已知平面单位向量满足,则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数的极小值为,极小值点为,零点为.若底面半径为的圆锥的高,则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.某公司年会的抽奖环节准备了甲、乙、丙、丁四个封闭的盒子,盒子内装有现金.为活跃气
氛,主持人通过大屏幕给出四个提示,且只有一个提示是真的.提示：四个盒子中装的现.
金不都是元；提示：乙盒子中装的现金是元；提示：四个盒子中装的现金都是元；提示：丁盒子中装的现金不是元，由此可以推断（ ）
A.甲盒子中装的现金是元 B.乙盒子中装的现金是元
C.丙盒子中装的现金是元 D.丁盒子中装的现金是元
7.已知的定义域为,为奇函数,为偶函数,若当时,,则（ ）
A. B. C. D.
8.若,则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在某市高二年级举行的一次体育统考中,共有名考生参加考试.为了解考生的成绩情况,随机抽取了名考生的成绩,其成绩均在区间,按照,
分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中,成绩落在区间的人数为,则（ ）
A.
B.考生成绩的中位数为
C.考生成绩的第百分位数为
D.估计该市考生成绩的平均分为(每组数据以区间的中点值为代表)
10.已知正数满足,则（ ）
A. B. C. D.
11.如图所示,该几何体由一个直三棱柱和个四棱锥组成,,则下列说法正确的是（ ）
A.若,则
B.若平面与平面的交线为,则
C.三棱柱的外接球的表面积为
D.当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为
12.已知为坐标原点,为抛物线的焦点,过点的直线交于两
点,直线分别交于,则（ ）
A.的准线方程为 B.
C.的最小值为 D.的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知，，，则 .
14.已知函数则函数的零点个数为 .
15.某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间,该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下
午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为，已知该
同学在某天晚上去跑步,则下午打过篮球的概率为 .
16.“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近,用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在点处的切线方程为 ,已知,利用上述“切线近以代替曲线”的思想计算”所得结果为 .(结果用分数表示)
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.记的内角的对边分别为,的面积为,.
(1)求；
(2)若,,设为边的中点,求.
18.如图,在三棱锥中,平面,,,是 的中点.为上的动点.
(1)证明：平面平面；
(2)当平面时,求平面与平面夹角的余弦值.
19.已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
20.甲同学现参加一项答题活动,其每轮答题答对的概率均为,且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得分,答错得分,记第轮答题后甲同学的总得分为,其中
.
(1)求；
(2)若乙同学也参加该答题活动,其每轮答题答对的概率均为,并选择另一种答题方式答题：从第轮答题开始,若本轮答对,则得分,并继续答题；若本轮答错,则得分,并终止答题,记乙同学的总得分为.证明：当时,.
21.已知椭圆的中心在坐标原点,两焦点在轴上,离心率为，点在上,且的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的动直线与相交于两点,点关于轴的对称点为,直线与轴的交点为,求的面积的最大值.
22.已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）当时，证明：.
数学参考答案及解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.答案：B
解析：
∵,故.
2.答案：A
解析：
因为,所以复数
在复平面内对应的点是，位于第一象限.
故选：A.
3.答案：A
解析：
因为是奇函数,所以,
所以,因为,所以,则，.
由，得，所以.
故选：A.
4.答案：D
解析：
由可知，两边同时平方得，∴，
故.
故选：D.
5.答案：B
解析：
由题意得,令,解得,则当时，
,函数单调递减；当时,,函数单调递增,
所以函数的极小值,极小值点.令,解得,
所以,所以,所以圆锥的母线长为，该圆锥的表面积为
.
故选：B.
6.答案：D
解析：
因为提示和提示矛盾,所以提示和提示一真一假,因此提示和是假的.提示为假能够推断乙盒子中装的现金不是元,故B错误；由提示为假可知,丁盒子中装的现金是元,故D正确；由提示和提示为假能判断提示正确，提示错误,但无法判断甲、丙两个盒子中装的现金是多少,故A,C错误.
故选：D.
7.答案：C
解析：
为奇函数.即.所以关于中心对称；为偶函数.即.所以关于直线对称.
所以.故.即是周期为 的周期函数,所以.
故选：C.
8.答案：B
解析：
设.所以在上单调递增.
因为,且在上,所以.
设
当时.,所以,所以在上单调递减,
所以,即，所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.答案：B、D
解析：
对于A,由频率分布直方图可得,
则,故A错误；对于B,考生成绩的中位数为,故B正确；对于C,考生成绩的第百分位数为,故C错误；
对于D,该市考生成绩的平均分,故D正确.
故选：BD.
10.答案：
A、B、D
解析：
.所以.即.因为.所以.故A正确；.故B正确；取.则满足，.此时.故C不正确；，所以，
同理，所以.故D正确.
故选：ABD.
11.答案：B、D
解析：
对于选项A,若，又因为平面,但是点不一定在平面上,所以A不正确；对于选项B,因为,所以平面,平面平面,平面,所以,所以B正确；
对于选项C,取的中心,的中心,的中点为该三被柱外接球的球心,所以外接球的半径，
所以外接球的表面积为，所以C不正确；
对于选项D,该几何体的外接球即为三棱柱的外接球，的中点为该外接球的球心,该球心到平面的距离为，点到平面的最大距离为,所以D正确.
故选：BD.
12.答案：
A、B、D
解析：
对于A.由题意,所以的准线方程为,故A正确；对于B.
设，设直线，与抛物线联立可得
,，，，
所以，故B正确；对于C,，
故C错误；对于D,设直线,与抛物线联立可得，
，，同理，
由，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.答案：
解析：
，两边平方得.所以.
故.因为.则.又因为，
所以.
14.答案：
解析：
令得.在同一直角坐标系中作出(图中细实线所示),(图中粗实线所示)的大致图象如下：
由图象可知，函数与的图象有个交点,即函数有个零点.
15.答案：
解析：
设下午打篮球为事件.晚上跑步为事件,易知,.
∴，
∴.
16.答案：
解析：
由,得y,所以曲线在点处的切线斜率.所以切线方程为.由题意知在附近,,所以,
所以，即.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.答案：
解析：
(1)由题意，
∴，∵，∴；
(2)由余弦定理：，又，
∴，∵为边的中点,∴,
∴，.
18.答案：
解析：
(1)证明：因为平面,平面,所以平面平面.
又.平面平面,平面,
所以平面.又平面,所以.
又,是的中点，所以.又,平面.
所以平面.因为平面,所以平面平面.
(2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,过点且与平行的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为平面,平面,平面平面,所以.又是的中点,所以是的中点，
则.
所以，
则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
则即
令,得,,所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为,
所以,
故平面与平面夹角的余弦值为.
19.答案：
解析：
(1)由，可得，则，
令,则再结合，解得
∴，又，
∴是首项为,公差为的等差数列.
(2)由(1)知，
，
∴.
20.答案：
解析：
(1)设,故.∴，
故；
(2)由(1)知，记乙同学的答题次数为,且的所有可能取值为,
且,，，
∴，
且，
，
∴当时,.
21.答案：
解析：
(1)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为,
因为，则.
因为,则,即.
于是,解得,从而,.
因为椭圆的焦点在轴上,所以椭圆的标准方程是.
(2)设直线的方程为，代入椭圆方程,得,
即.设点，
则.
因为点关于轴对称,则.设点，
因为三点共线,则,即,
即,即,
得
.
所以点为定点，.
令,
则.
当且仅当时取等号,所以的面积的最大值为.
22.答案：
解析：
(1)当时,，则，，，
所以所求切线的方程为.
(2)证明：(法一)当时,要证,只需证
，即要证.
易证,即,当且仅当时,等号成立.
令.则,所以,
即，因此，只需证对恒成立.
令,则.
令,则,在上单调递减，在上单调
递增,所以,所以在上单调递增,
所以.故当时,恒成立.
(法二)要证,由于,
只需证.
当时,.
因为,所以.
当时,令.则,
所以在上单调递增.则,
所以，综上,恒成立，
所以,即.