河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期11月月考数学试题（含解析）

沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期11月月考
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．函数的定义域是
A． B． C． D．
3．下列表示同一个函数的是
A．与 B．与
C．与 D．与
4．已知幂函数的图象过点，则
A． B． C． D．
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
6．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则
A．1 B．0.75 C．0.25 D．
7．若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意的正数t，恒有，则m的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列函数有最小值的是
A． B． C． D．
10．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
11．若，则函数的大致图象可能是
A． B． C． D．
12．已知函数（，且），则
A．有两个零点 B．不可能为偶函数
C．的单调递增区间为 D．的单调递减区间为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则 ．
14．函数（且）的图象恒过定点是 ．
15．请写出“”的一个必要不充分条件： ．
16．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
计算：
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）
已知集合，，．
（1）若，求实数a取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论关于x的方程的根的个数．
20．（本小题满分12分）
已知是R上的奇函数．
（1）求b的值；
（2）若不等式对恒成立，求m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10～20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求．随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能．科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻．某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为；当时，y是x的指数函数；当时，y是x的二次函数．性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表（部分）：
x（单位：克） 1 4 6 …
y 2 8 4 …
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳．
22．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；
（2）若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期11月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A
由已知得，又，所以．故选A．
2．C
由，易得．故选C．
3．C
对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；对于B，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；对于C，，，这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，即该选项正确；对于D，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数．故选C．
4．B
设，依题意，所以，所以，所以．故选B．
5．A
由题意可知，，，所以，故．故选A．
6．C
因为，，所以在内存在零点，根据二分法第二次应该计算，其中．故选C．
7．D
因为，且，所以．当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，所以m的取值范围是．故选D．
8．B
当时，在上单调递增；当时，易知函数在上单调递增，且．即函数在上单调递增，因为，，所以，即，所以．故选B．
9．AD
对于A，，当且仅当时，取等号，故，则A正确；对于B，的值域为，无最小值，则B错误；对于C，的值域为，则C错误；对于D，，故有最小值0，则D正确．故选AD．
10．ABD
对于A，原式，A正确；对于B，原式
，B正确：对于C，原式，C错误；对于D，原式，D正确．故选ABD．
11．BC
由，得当时，，此时，且单调递减，B满足；当时，，此时，且单调递增，C满足．故选BC．
12．ABD
对于A，令，则或，所以或，有两个零点，A正确；对于B，的定义域为，为非奇非偶函数，B正确；对于C，当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．故选ABD．
13．3
，．
14．
当，即时，为定值，此时，故（且）的图象恒过定点．
15．（答案不唯一）对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件；对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件．
16．
在1～中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，所以．
17．解：
（1）原式．
（2）原式．
18．解：
（1）若，则，得．
（2）因为，
若“”是“”的充分不必要条件，
则B是A的真子集，
即，解得，
经检验，当时均有．
即实数a的取值范围是．
19．解：
（1）由图可知，解得．
设，则，
∵函数是定义在R上的偶函数，且当时，，
∴，
∴（）．
∴．
（2）作出函数的图象如图所示：
．
由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；
当或时，关于x的方程的根的个数为2；
当时，关于x的方程的根的个数为4；
当时，关于x的方程0的根的个数为3．
20．解：
（1）∵，是R上的奇函数，
∴，可得，
经检验，此时为奇函数，满足题意．
∴．
（2）∵，
∴在R上单调递增，
又为R上的奇函数，
∴由，，
∴，即恒成立，
当时，不等式为不可能对恒成立，故不合题意；
当时，要满足题意，需，解得．
实数m的取值范围为．
21．解：
（1）当时，y是x的指数函数，设（且），
由数表知，满足指数函数解析式，于是得，
即当时，；
易知时，．
当时，y是x的二次函数，设（），
显然，，满足二次函数解析式，即，
解得，，，
即当时，．
所以y关于x的函数关系式．
（2）当时，，则当时，y取得最大值4；
当时，，则当时，y取得最大值8，而．
因此当时，y取得最大值8．
综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳．
22．解：
（1）由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
（2）法一：因为关于x的方程即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数a的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数a的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，在上有解，
整理得在上有解，
设，显然，则，或．
即，解得．
故实数a的取值范围为．