陕西省西安市长安区2023-2024学年高三上学期期中教学质量检测数学（理）试题（含答案）

西安市长安区2023-2024学年高三上学期期中教学质量检测
数学（理科）
试题时间：100分钟 总分：150分
一 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.体育老师为测试学生的身体素质，在体育课上收集了10位同学的铅球成绩，数据如下（单位：）：，则下列结论错误的个数是（ ）
①平均数为9.48；②中位数为9.45；③极差为0.55.
A.3 B.2 C.1 D.0
3.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
4.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，设向量，若，则实数的值为（ ）
A.14 B.7 C.3 D.1
5.已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.甲 乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一 第二 第三局比赛中获胜的概率分别为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知满足约束条件，则的最大值是（ ）
A.0 B.6 C. D.7
8.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
10.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A.2 B. C.4 D.5
11.设，将的图像向右平移个单位，得到的图像，设，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知实数满足：，则（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则__________.
14.等差数列中的是函数的极值点，则__________.
15.已知在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为__________.
16.若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为__________.
三 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（12分）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18.（12分）如图，三棱锥中，，为的中点.
（1）证明：；
（2）点满足，求二面角的正弦值.
19.（12分）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）为验证抽样试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表：
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）.
附：经验回归方程系数：；
参考数据：（其中）.
20.（12分）已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设是椭圆的左 右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围.
21.（12分）已知函数.
（1）设，求的单调区间；
（2）求证：存在恰有2个切点的曲线的切线.
请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围.
【选修4-5：不等式选讲】
23.（10分）
已知函数的图象关于直线对称.
（1）求的最小值；
（2）设均为正数，且，求的最小值.
西安市长安区2023-2024学年高三上学期期中教学质量检测
数学（理科）答案
时间：120分钟 总分：150分
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C A B C C A B D C D
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）因为，所以.
因为，
所以，
由题意，所以，
所以.
（2）由（1）知，所以.
由正弦定理得，所以
又，
所以.
18.【解析】【详解】（1）连接，因为为中点，，所以①，
因为，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②平面，
所以，平面，而平面所以.
（2）不妨设.
，又平面平面.
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为，而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而.
所以二面角的正弦值为.
19.【解析】参考答案：
（1）解：的取值可能为，所以；
，
所以的分布列为：
1 2 3
所以数学期望为：；
（2）解：令，则，由题知：，
所以，
所以，
故所求的回归方程为：，
所以估计时，；估计时，，估计时，；
预测成功的人的总人数为.
20.【解析】解：（1）由题意可知，解得
椭圆的方程为.
（2）易知直线的斜率不为0.由（1）得，故可设直线的方程为，
联立消去并整理，得，
显然恒成立，.
，
椭圆的内接平行四边形的面积.
令，则.
设，易知在上单调递增，
，故平行四边形的面积取值范围是.
21.【解析】【解答】（1）解：数，
，
令，可得或，
当或或时，，
当或时，，
所以的单调减区间为和和，单调增区间为和
（2）证明：，
假设存在直线以为切点，
不妨设，则，
以为切点的切线方程为：，
以为切点的切线方程为：，
所以
令，则，
令在上递增，
，所以在上递减，
，
故存在唯一的满足，即存在恰有2个切点的曲线的切线.
请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.【解析】
【答案】（1）的普通方程为的直角坐标方程为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用消参即可得到曲线的普通方程，利用将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）将曲线代入直线可得，通过二次函数的性质即可求得的取值范围，即可求解
【小问1详解】
由曲线的参数方程为（为参数）可得曲线的普通方程，
即，
因为直线的极坐标方程为
，
且，
所以直线的直角坐标方程为即
【小问2详解】
将曲线代入直线，消可得，整理得
，
所以当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
且当时，，当时，，
故要使与有两个不同的交点，只需，即，
故实数的取值范围
【选修4-5：不等式选讲】
23.【答案】（1）4； （2）
【解析】
【分析】（1）先整理，再利用题意中的对称求出，然后用三角不等式求出最小值即可；
（2）由（1）可得，然后利用“1”的妙用和基本不等式即可求解
【小问1详解】
，
令，解得；令，解得，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，解得，
所以，当且仅当时，取等号，
故的最小值为4；
【小问2详解】
由（1）可得，即，
所以，
当且仅当即时，取等号，
故的最小值为.