乌鲁木齐市第四十中学 2022-2023学年
高二下学期开学考试 数学试题
（考试范围：选择性必修一全册）
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（12小题每题5分共60分）
1 已知直线与互相垂直，则（ ）
A. B. C. 3 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为即可得解
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，
，解得
故选：D
【点睛】两直线垂直得到斜率乘积为是解题关键.属于基础题.
2. 过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，判断点(2，4)是否在抛物线上，即可求解.
【详解】因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.
故选B.
3. 抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
由点到准线距离求得结果
【详解】由于知，所以点M到抛物线的准线的距离
故选：C
4. 已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知求出，再求出即得解.
【详解】由题意，得，，所以，所以，
所以椭圆的短轴长为8.
故选：D.
5. 曲线表示（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
【答案】D
【解析】
【分析】化简整理方程即得解.
【详解】解：由题得，
所以，
它表示以点为圆心，以2为半径的圆.
故选：D
6. 设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.
【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|可得|AF|m，
由抛物线的方程可得：F（1，0），
过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，
过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，
则△BFD∽△BAC，所以，
即，解得：m，
所以2，
故选：B.
【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.
7. 已知，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，作出方程的图形，结合圆心到直线的距离即可判断；
对于B，利用重要不等式（当且仅当等号成立）即可判断；
对于C，利用重要不等式及对数运算即可判断；
对于D，根据（当且仅当等号成立）即可判断.
【详解】对于A，令，则直线，如图所示，
当直线与圆相切或相交时，，此时满足题意，
圆心到直线距离为，即，
于是有，，，故A不正确；
对于B，由，得，故B不正确；
对于C，由，得 ，故C正确；
对于D，由，得，故D不正确；
故选：C.
【点睛】本题解决的关键对于A选项，作出图形利用数形结合即可解决，对于BCD三个选项，记住不等式链
（当且仅当时等号成立）即可解决该问题.
8. 若直线与直线互相垂直，则a的值为（ ）
A. B. 1
C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】解：因为直线与直线互相垂直，所以
解得；
故选：B
9. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构建基向量，，表示，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.
【详解】如下图，构建基向量，，.
则，
所以
所以.
故选：C.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率．
【详解】解：双曲线的左右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，
则：△为等腰直角三角形．
由于通径，
则：，
解得：，
所以：，
解得：；
由于e＞1，
所以：，
故选：C．
【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用．属于基础题型．
11. 已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则点到直线的距离,然后根据三角函数求出最值.
【详解】设，则点到直线的距离
.
因为，所以，则.
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于中档题.
12. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 内含 D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的方程得到两圆的圆心和半径，通过比较圆心距与半径关系即可判断.
【详解】由题，圆的圆心为，半径为2；
圆，即，所以圆心为，半径为；
所以两圆圆心距离为，
所以两圆外切.
故选：D
二、填空题（共4小题，每题5分共20分）
13. 在正方体中，给出以下向量表达式：
①； ②；
③； ④.
其中能够化简为向量的是______________（填序号）.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案；
【详解】①中，；
②中，；
③中，；
④中，.
故答案为：①②.
【点睛】本题考查空间向量的加法、减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
14. 平面的斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别为，则斜线与平面所成角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据线面角的定义可得，即为线面所成角或其补角，利用两的夹角公式求解即可.
【详解】由线面角的含义知，即为线面所成角或其补角，
又因为线面角，
所以，
所以，即斜线与平面所成角为60°.
故答案为：.
【点睛】本题考查线面角的定义、空间中线面角的求法，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
15. 已知空间三点，，，向量分别与，都垂直，且，且的横 纵 竖坐标均为正，则向量的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设向量的坐标为，根据，，以及列方程组，解方程组即可求解.
【详解】设向量的坐标为，
因为，，，
所以，，
因为向量分别与，都垂直，且，
所以，解得：，
所以向量的坐标为，
故答案为：.
16. 已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,求出直线经过定点，以及由圆的方程分析圆的圆心与半径,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】直线恒过点，
圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线与圆的弦长问题.对于这类问题,一般有两种方法,一是联立直线和圆的方程,利用弦长公式 进行求解；另外还可利用几何的方法,求出圆心到直线的距离,求出圆的半径,根据勾股定理可求出弦长.
三、解答题（共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
17. 如图，在四棱锥中，，底面，是边长为2的菱形，，正所在平面与底面垂直．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设的中点为O，利用面面垂直的性质证明平面，从而证明，进而证明四边形为平行四边形，由此可证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出面和平面的法向量，利用向量的夹角公式结合同角的三角函数的平方关系即可求得答案.
【小问1详解】
设的中点为O，连接,
因为是正三角形，所以，
又因为平面平面，所以平面，
又因为底面，所以，
又因为，
所以四边形为平行四边形，所以，平面，
因此平面．
【小问2详解】
因为，，所以是正三角形，
连接OB,则，
如图，以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
可取平面的法向量为，
设平面的法向量，
由，
由，
令，即，
所以，
所以所求二面角的正弦值为．
18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.
（1）若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；
（2）若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）②，证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先连接、交于，确定是几等分点，再确定是的几等分点．
（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为，列出方程求解．
【小问1详解】
条件②可以推断平面.
如图，连接，相交于点，连EM.
在梯形中，有，，.
又因，所以，故，又平面，
平面，所以平面.
故当时，平面.
【小问2详解】
以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，
则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，
设，则
对于平面ADN，设其法向量，
满足，即，故取
对于平面BDN，设其法向量，
满足，即，故取，
若平面ADN平面BDN，则，即，
解得，此时N为PC中点，.
19. 判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
【解析】
【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.
（2）根据直线的斜率即可判断.
（3）求出两直线的斜率即可求解.
【详解】（1）经过，两点，则，
则，可得两直线平行.
（2）经过，两点，可得平行于x轴，
平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以；
（3）经过，两点，，
经过，两点，则，
所以.
20. 双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，，，由已知条件可得，即，又点在双曲线上，代入可得，即为点的轨迹方程.
【详解】设，，，，
由题意可知，，否则点（或点）和点（或点）重合，不符合题意；
，，
利用垂直斜率关系可得，两式相乘得①
又点在双曲线上，，即
将其代入①式得，化简整理得：
所以点的轨迹方程为：
【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：
（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；
（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；
（3）代入法：如果轨迹点依赖于另一动点，而又在某已知曲线上，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程即可得到动点的轨迹方程；
21. 求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．
【答案】.
【解析】
【分析】根据等轴双曲线可设为，点代入直接求解即可.
【详解】设所求的等轴双曲线的方程为：，
将代入得：，即，
所以等轴双曲线的标准方程：
22. 如图，在三棱锥中，，O为中点.
（1）证明：直线平面；
（2）若点M在棱上，，且，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证得和，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.
【小问1详解】
∵，且为中点，∴，∵，且为中点，∴，
∵，且为中点， ∴， ∵，，，∴，∴，
∵，平面，且， ∴平面，
【小问2详解】
∵，且为中点，∴，从而，，两两垂直，
如图，建立以为原点，且，，分别为，，轴的空间直角坐标系，
则，，，，
设，由，即，所以，所以，解得，
∴，，，
不妨设平面的一个法向量为， 故，，
∴ 令，则，，∴ ，
设直线与平面所成角为，∴，
因为，所以，
∴直线与平面所成角的余弦值为.乌鲁木齐市第四十中学 2022-2023学年
高二下学期开学考试 数学试题
（考试范围：选择性必修一全册）
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（12小题每题5分共60分）
1. 已知直线与互相垂直，则（ ）
A. B. C. 3 D. 1
2. 过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
3. 抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
5. 曲线表示（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
6. 设抛物线y2＝4x焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若直线与直线互相垂直，则a值为（ ）
A. B. 1
C. D. 2
9. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知点在直线上，点在椭圆上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
12. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 内含 D. 外切
二、填空题（共4小题，每题5分共20分）
13. 在正方体中，给出以下向量表达式：
①； ②；
③； ④.
其中能够化简为向量的是______________（填序号）.
14. 平面的斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别为，则斜线与平面所成角为__________.
15. 已知空间三点，，，向量分别与，都垂直，且，且横 纵 竖坐标均为正，则向量的坐标为___________.
16. 已知直线与圆相交于A，B两点，则线段长为___________.
三、解答题（共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
17. 如图，在四棱锥中，，底面，是边长为2的菱形，，正所在平面与底面垂直．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18. 已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.
（1）若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；
（2）若点为棱上一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
19. 判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
20. 双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
21. 求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．
22. 如图，在三棱锥中，，O为中点.
（1）证明：直线平面；
