2021-2022学年度苏港中学高二年级期中考试卷（数学）
试卷满分150分，考试时间：120分钟
一、单选题（10*5＝50分）
1. 下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A. 质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B. “隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C. 老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D. 某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
【答案】AD
【解析】
【分析】根据简单随机抽样的定义，逐项分析判断即可.
【详解】选项A：“一次性”抽取与逐个不放回的抽取等价，符合不放回简单随机抽样要求，故正确；
选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”，故错误；
选项C：因为总体容量是无限的，不符合简单随机抽样要求，故错误；
选项D：8条跑道，抽取1条，总体有限，每个个体被抽到的机会均等，是简单随机抽样，故正确.
故选：AD
2. 8位居民的幸福感指为5、7、9、6、10、4、7、6，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】首先按照从小到大排列，再按照百分位数公式，即可求解.
【详解】首先按照从小到大排列，4、5、6、6、7、7、9、10，
不是整数，所以应是第6个数据，即是7.
故选：A
3. 某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，…，后画出频率直方图如图所示．观察图形的信息，则（ ）
A. 成绩在区间上的人数为5
B. 抽查学生的平均成绩是71分
C. 这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为
D. 若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名学生的概率(第一名只一人)为
【答案】B
【解析】
【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义和平均值的计算公式判断个选项即可.
【详解】成绩在区间上的人数为，故A错误.
抽查学生的平均成绩是分，故B正确.
依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为：，所以抽样学生成绩的及格率为，故C错误.
成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为：人，
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一个，选到第一名的概率，故D错误.
故选：B.
4. 游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某车间50名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位20人，其余人都是黄金或铂金段位．从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.4，则抽得铂金段位的概率是（ ）
A. 0.14 B. 0.20 C. 0.40 D. 0.60
【答案】B
【解析】
【分析】先求出黄金段位的人数，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽得铂金段位的概率．
【详解】黄金段位的人数是，
则抽得铂金段位的概率是．
故选：B．
5. 从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A. 至多有2只不成对 B. 恰有2只不成对
C. 4只全部不成对 D. 至少有2只不成对
【答案】D
【解析】
【分析】先把全部事件分成三类“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”，再得到事件“4只全部成对”的对立事件.
【详解】从4双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”，所以事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对或4只都不成对”，即“至少有2只不成对”.
故答案为D.
【点睛】本题主要考查对立事件，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
6. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用列举法求出所有的基本事件数及满足要求的基本事件数，再利用古典概型概率公式计算即可得解.
【详解】掷一枚均匀的硬币3次，可能出现的基本情况有：
正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种；
其中满足条件的基本情况有：
正正反，正反正，反正正，共3种.
所以出现正面向上的次数恰好为两次的概率.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.
7. 已知向量，，且，那么（ ）
A. B. 6 C. 9 D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量共线的充要条件求出的值，然后代入模的计算公式即可求解.
【详解】因为，且向量，，
所以，解得：，
所以，
故选：A.
8. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，,
所以点到直线的距离为.
故选：A
9. 已知直线的斜率分别是，如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率和倾斜角的关系直接判断即可.
【详解】由图象可知：，，；
设倾斜角分别为，则，，即，
.
故选：C.
10. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，
其中正确命题的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．
【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确；
由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确，
所以正确的命题个数是4．
故选：D．
二、多项选择题（2*5＝10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
11. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据独立事件概率公式，计算后，判断的ABD；根据古典概型概率公式，判断C.
【详解】对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A错误；
对于B，用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,,,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B正确；
对于C，从1，2，3，4中任取2个不同的数，共有种方法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，在概率，故C正确；
对于D，易得,即,
即,∴,又,
∴,∴,故D错误
故选BC
12. 正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 面AEF D. 二面角的大小为
【答案】BC
【解析】
【分析】
通过线面垂直的判定和性质，可判断选项，通过线线和线面平行的判断可确定和选项，利用空间向量法求二面角，可判断选项.
【详解】解：由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，
则不垂直于，则选项不正确；
连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，
则平面平面，所以选项正确；
由题知，可设正方体棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
得平面的法向量为，
所以，所以平面，则选项正确；
由图可知，平面，所以是平面的法向量，
则.
得知二面角的大小不是，所以不正确.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维.
三、填空题（4*5＝20分）
13. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______．
【答案】
【解析】
【分析】通过空间向量的加法和减法得到，从而表示出
【详解】因为
即
故答案为：
14. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为，最大频率为0.32，则的值为______．
【答案】54
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图先求出两组中的频数，再根据后5组频数和求出前三组频数和，从而求出第三组频数，再由最大频率求出第四组频数，即可求出结果.
【详解】前两组中的频数为，
因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38，
第三组频数为，又最大频率为0.32，所以最大频数即第四组频数为，所以．
故答案：54
15. 已知两点，若直线的斜率为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由斜率公式求解即可，注意验证
【详解】因为两点，且直线的斜率为，
所以且，解得，
故答案为：
16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为0.3，0.4，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是0.4，0.3，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为___________．
【答案】0.33
【解析】
【分析】根据对立事件概率公式可求得两人租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率，根据独立事件概率乘法公式和概率加法公式直接求解即可；
【详解】由题意可得，甲租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率为，
乙租车在三小时以上且不超过四小时还车的概率为，
记甲、乙两人所付租车费用相同为事件A，则.
故答案为：0.33
四、解答题（17题10分，18-22题12*5＝60分）
17. 已知坐标平面内三点，，．
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
【答案】（1）直线AB的斜率为，倾斜角；
（2）
【解析】
【分析】（1）由A，B的坐标可得直线AB的斜率及倾斜角；
（2）由平行四边形利用向量的相等，可得D的坐标.
【小问1详解】
因为，，可得，
所以可得倾斜角为；
【小问2详解】
，，．
设，若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，
可得，即，解得，
即点D的坐标为
18. 年月日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了名已婚男性，其中愿意生育二孩的有名，经统计，该名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，估计这名已婚男性的年龄平均值、众数和样本方差（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（2）若在愿意生育二孩的且年龄在、、的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取人，试估计每个年龄段应各抽取多少人？
【答案】（1）平均值36、众数为，方差25
（2）人数分别为人、人、人.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数，方差公式及众数定义直接求解即可；
（2）利用分层抽样的定义求解即可.
【小问1详解】
已婚男性的平均年龄和样本方差分别为：
，
，众数为.
【小问2详解】
在年龄段、、的频率分别为、、，
，∴人数分别为人、人、人.
19. 建三江一快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达 延迟5分钟内送达 延迟5至10分钟送达 其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元 奖励0元 罚款3元 罚款6元，假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；
（2） 若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为6元的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式求概率即可；
（2）根据概率乘法公式求概率即可
【小问1详解】
设事件分别表示“被评为等级”，
由题意，事件两两互斥，
又“不被罚款”，
所以.
因此“不被罚款”的概率为.
【小问2详解】
若想要奖励之和为6元，则需要两个订单都评定为A级，设两单奖励之和为6元为事件，所以.
20. 如图，且，，且，且，平面，．
（1）求平面与平面的夹角；
（2）求直线到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.
【小问1详解】
因为，面，故可以为坐标原点，
为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图：
由题可知：，，，，，，，
易知面的一个法向量为，设面的法向量为，
，，故得，即，
不妨令y＝1，则，，
所以平面与平面的夹角为．
【小问2详解】
因为，面，则面，
所以直线到平面的距离与点到面的距离相等，
如图，连接，由（1）可知平面，平面，
所以，
又因为，所以，设点到平面EBC的距离为，
则，
，
又因为，所以，
所以直线AD到平面EBC的距离为．
21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角；
（3）求平面和平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，利用空间向量求异面直线夹角；（3）求平面和平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
∵为正方形，则，
又∵平面，平面，
∴，
又∵，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴.
【小问2详解】
如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，
∴，
∵，
则异面直线与所成角的余弦值为，故异面直线与所成角为.
【小问3详解】
设平面的法向量为，
由（2）可得：，则，
令，则，即，
由题意可得：平面的法向量，
∵，
故平面和平面所成角的余弦值为.
22. 水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
（1）求需要进行五局比赛才能结束的概率；
（2）若前3局打成2∶1时，比赛因故终止．有人提议按2∶1分配奖金，请利用相关数学识解释这样分配是否合理？
【答案】（1）
（2）不合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由进行五局比赛结束的情况为前四局{甲两胜，乙两胜，最后一局甲胜}、{甲两胜，乙两胜，最后一局乙胜}，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.
（2）根据前3局2:1时，利用独立乘法公式求出胜2局者和胜1局者分别获胜的概率，即可判断分配是否合理.
【小问1详解】
由题意，任意一局甲胜概率为，乙胜的概率为，进行五局比赛结束，
若第五局甲胜，则前四局{甲两胜，乙两胜}，
此时，
若第五局乙胜，则前四局{甲两胜，乙两胜}，
此时，
综上，需要进行四局比赛才能结束的概率为.
【小问2详解】
不合理，理由如下：
前3局：若甲胜两局，乙胜一局，
甲获胜情况为{第4局甲胜}、{第4局乙胜，第5局甲胜}，
故此情况下，甲获胜的概率为，而乙获胜概率为，
所以前3局胜2局者与胜1局者奖金分配应为，故题设分配不合理.2021-2022学年度苏港中学高二年级期中考试卷（数学）
试卷满分150分，考试时间：120分钟
一、单选题（10*5＝50分）
1. 下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A. 质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B. “隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C. 老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D. 某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
2. 8位居民幸福感指为5、7、9、6、10、4、7、6，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. 某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，…，后画出频率直方图如图所示．观察图形的信息，则（ ）
A. 成绩在区间上的人数为5
B. 抽查学生的平均成绩是71分
C. 这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为
D. 若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，则选到第一名学生的概率(第一名只一人)为
4. 游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某车间50名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位20人，其余人都是黄金或铂金段位．从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.4，则抽得铂金段位的概率是（ ）
A. 0.14 B. 0.20 C. 0.40 D. 0.60
5. 从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A. 至多有2只不成对 B. 恰有2只不成对
C. 4只全部不成对 D. 至少有2只不成对
6. 掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
7 已知向量，，且，那么（ ）
A. B. 6 C. 9 D. 18
8. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A. B. C. 3 D.
9. 已知直线的斜率分别是，如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，
其中正确命题的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题（2*5＝10分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
11. 下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
12. 正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 面AEF D. 二面角的大小为
三、填空题（4*5＝20分）
13. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______．
14. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为，最大频率为0.32，则的值为______．
15. 已知两点，若直线的斜率为，则______.
16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为0.3，0.4，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是0.4，0.3，两人租车时间都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为___________．
四、解答题（17题10分，18-22题12*5＝60分）
17. 已知坐标平面内三点，，．
（1）求直线AB斜率和倾斜角；
（2）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
18. 年月日，我国实施“全国二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了名已婚男性，其中愿意生育二孩有名，经统计，该名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，估计这名已婚男性的年龄平均值、众数和样本方差（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（2）若在愿意生育二孩的且年龄在、、的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取人，试估计每个年龄段应各抽取多少人？
19. 建三江一快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达 延迟5分钟内送达 延迟5至10分钟送达 其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元 奖励0元 罚款3元 罚款6元，假定评定为等级的概率分别是.
（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款概率；
（2） 若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为6元的概率.
20. 如图，且，，且，且，平面，．
（1）求平面与平面的夹角；
（2）求直线到平面的距离．
21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求异面直线与所成角；
（3）求平面和平面所成角的余弦值．
22. 水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
（1）求需要进行五局比赛才能结束的概率；
（2）若前3局打成2∶1时，比赛因故终止．有人提议按2∶1分配奖金，请利用相关数学识解释这样分配是否合理？
