2023-2024学年江苏省南通市启东市百杏中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市启东市百杏中学八年级（上）10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各图中，正确画出 边上的高的图形是
( )
A. B.
C. D.
3.如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定≌的是( )
A. B.
C. D.
4.已知三条线段的长分别是，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是( )
A. B. C. D.
5.如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得≌，这样就有则说明这两个三角形全等的依据是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知，那么的度数为
( )
A. B. C. D.
7.如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若点到的距离是，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形则图中与成轴对称的格点三角形有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或
10.如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：恒成立；的值不变；四边形的面积不变；的长不变，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.人字梯中间一般会设计一”拉杆”，这样做的数学道理是 ．
12.一个多边形的外角和比内角和小，则这个多边形是 边形．
13.在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ．
14.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为 ．
15.如图，在、轴上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点若的坐标为，则 ．
16.如图，已知的周长是，和的角平分线交于点，于点，若，则的面积是 ．
17.在中，，中线，则边的取值范围是 ．
18.如图，四边形中，，，，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
在图中作出关于轴的对称图形；
请直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________；___________；___________；
求的面积．
20.本小题分
如图，，，．
求证：；
若，平分，求的度数．
21.本小题分
如图，点、、、在直线上、之间不能直接测量，点、在异侧，测得，，．

求证：；
若，，求的长度．
22.本小题分
如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：，
．
，
第一步
又，，
第二步
第三步

小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
请写出正确的证明过程．
23.本小题分
中，平分，
求证：：
在中，，，，求的长．
24.本小题分
已知在平面直角坐标系中，，且．
如图，求点的坐标；
如图，若点运动到位置，点运动到位置，仍保持，求的值．
25.本小题分
在中，，点是直线上的一点不与点、重合，以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．

如图，当点在线段上，如果，则________度．
设，．
点是在线段上移动时，如图，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由．
点是在线段延长线上移动时，则中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，经过点，且平行于轴的直线记作直线我们给出如下定义：点，先关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点称为点关于轴和直线的二次反射点．
点关于轴和直线的二次反射点的坐标是__；
点关于轴和直线的二次反射点的坐标是， ；
若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是，求线段的长用含的式子表示；
如图，正方形的四个顶点坐标分别为、、、，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边没有公共点，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】【分析】三角形一边上的高是从该边所对的顶点向该边引的垂线段的长度，由此即可求解．
【详解】解：根据三角形高的定义，及画法可得，
、是边上的高，不符合题意；
、不是边上的高，不符合题意；
、不是边上的高，不符合题意；
、是边上的高，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形高的概念及作法，理解三角形高的概念，掌握三角形高的作法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】欲使≌，已知，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．
【详解】解：，为公共角，
A、如添加，利用即可证明≌，不符合题意；
B、如添，利用即可证明≌，不符合题意；
C、如添，等量关系可得，利用即可证明≌，不符合题意；
D、如添，因为，不能证明≌，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
4.【答案】
【解析】【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【详解】解：三条线段的长分别是，，，它们能构成三角形，
，
，
整数的最大值是．
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】根据全等三角形的判定可作出选择．
【详解】解：在和中，
≌，
，即．
是的平分线
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】根据四边形的外角和等于即可求解．
【详解】解：，
故选．
【点睛】本题考查了多边形的外角和公式，熟练掌握多边形是外角和公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又点到的距离是，进而求出．
【详解】解：过点作于，
，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
．
故选：．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】符合题意的三角形如图所示：

满足要求的图形有个
故选：
【点睛】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，关键是要掌握轴对称的性质和轴对称图形的含义．
9.【答案】
【解析】【分析】根据点和点不同位置进行分类讨论，根据题意，容易得到，只需，就可得到与全等，即可解决问题．
【详解】解：当时，点在上，点在上，如图，
此时有，，，．
当，即，
解得，不合题意舍去；
当时，点在上，点也在上，如图，
若，则点与点重合，即，
解得；
当时，点在上，点在上，如图，
当即，
解得；
当时，点停在点处，点在上，如图，
当即，
解得；
综上所述：当等于或或秒时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等．
故选．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是分情况讨论时间的取值范围．
10.【答案】
【解析】【详解】
如图，作于，于．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，

≌，
，
在和中，

≌，
，，故正确，
，
四边形四边形定值，故正确，
定值，故正确，
的长度是变化的，故错误，
故选：．
11.【答案】三角形具有稳定性
【解析】【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为三角形具有稳定性．
【点睛】此题考查三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
12.【答案】五
【解析】【分析】根据多边形的外角和是先求出其内角和，然后根据多边形的内角和公式列方程计算即可．
【详解】解：多边形的外角和是，
这个多边形的内角和是，
设这个多边形的边数为，
则，
解得：，
即这个多边形是五边形，
故答案为：五．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟知多边形的外角和是是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可．
【详解】解：点与点关于轴对称，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
14.【答案】
【解析】【分析】由题意可得：垂直平分，则，即可求解．
【详解】解：由题意可得：垂直平分，则，
的周长
故答案为：
【点睛】此题考查了垂直平分线的尺规作图以及性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
15.【答案】
【解析】【分析】根据尺规作图可知，点在角平分线上，所以点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出的值．
【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点是角平分线上的一点，
点在第一象限，
点的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】过点作于，于，连接，如图，根据角平分线的性质得，，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积．
【详解】解：过点作于，于，连接，如图，
平分，，，
，
同理可得，
，
的周长是，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
17.【答案】
【解析】【分析】延长到，使，连接先证明≌，得到，，在中，根据三角形三条边的关系即可求出的取值范围．
【详解】解：延长到，使，连接
在和中，
，，，
≌，
全等三角形的对应边相等．
，，
，
在中，，
边的取值范围是：．
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，正确做出辅助线证明≌是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】过点作交的延长线于点，先证明，从而证明，进而即可求解．
【详解】过点作交的延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
的面积，
故答案是．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键．

19.【答案】解：根据题意作出图如图所示：
解：，，，
，，，
故答案为：，，；
解：由图可得，
，
的面积为．

【解析】【分析】根据轴对称的性质作图即可；
关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案；
利用割补法求三角形的面积即可．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】证明：，
，
在与中，
，
；
解：，平分，
，

【解析】【分析】根据，可得，进而证明，即可得证；
根据角平分线的定义可得，根据的结论可得，即可求解．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
21.【答案】，

，
在与中，
；
，
，
，
，
，，
．

【解析】【分析】由，得，根据“”即可证明；
根据全等三角形的性质得，则，然后根据即可求解．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
证明：，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
．

【解析】【分析】根据证明过程即可求解．
利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
23.【答案】证明：如图，过作，
平分，
，
，，
；
如图，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
．

【解析】【分析】过作，根据角平分线的性质定理，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求证；
过点作于点，可得到，从而得到，即可求解．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
24.【答案】解：如下图，过点作轴于点，作轴于点，
则四边形为正方形，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点，，
，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
点；
由可知，，
，即，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
．

【解析】【分析】过点作轴于点，作轴于点，由证明，可得出、，求出的值，即可确定点坐标；
由证明，得出，然后由即可获得结果．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、四边形内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
25.【答案】【详解】解：，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
由题知，
，
，
，
；
，理由如下：
类比题，可得，
，
，，
，
，
，
，
．


【解析】【分析】证明，得，即可证明；
与同理，得，则根据即可证明；与同理，得，再根据即可证明．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键．
26.【答案】【小题】解：点，
点关于轴对称得到点，
点关于直线对称得到点．
故答案为：．
【小题】点，
点关于轴对称得到点，
点关于直线对称得到点，
，解得，
故答案为：．
【小题】点的坐标是，
点关于轴对称得到点，
点关于直线对称得到点，即，
．
【小题】由题意可知，点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，
且轴，，
线段与正方形的边没有公共点，有三种情况：
，解得；
，解得；
，解得．
综上，若线段与正方形的边没有公共点，则的取值范围或或．

【解析】根据二次反射点的定义直接得出答案；
根据二次反射点的定义得出，则，由此可得的值；
根据二次反射点的定义得出，则可得出答案；
根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
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