2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校八年级（上）10月月考
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.点在函数的图象上，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.下列各图能表示是的函数是( )
A. B.
C. D.
4.函数中自变量的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知点关于轴的对称点为，且在直线上，则( )
A. B. C. D.
6.如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.如图，直线与相交于点，点的横坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是
( )
A. B.
C. D.
8.如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边做平行四边形，对角线交于点；以、为邻边做平行四边形；；依此类推，则平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点、分别在和上．则正方形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.计算： ．
12.边长为的等边三角形的面积是 ．
13.和都是方程的解，则 ．
14.为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量吨
户数
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法：众数是；平均数是；调查了户家庭的月用水量；中位数是，正确的有 填序号．
15.如图，为矩形的对角线交点，平分交于，于，，则 ．
16.如图，正方形的边长为，在上，且，是上的一动点，则的最小值为 ．
17.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为”希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ．
18.已知，那么多项式的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，直线上有一点，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到像点，点恰好在直线上．
写出点的坐标；
求直线所表示的一次函数的表达式；
若将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到像点请判断点是否在直线上，并说明理由．
20.本小题分
计算：
解方程组：；
．
21.本小题分
如图，点，，，在一条直线上，，，求证：四边形是平行四边形．
22.本小题分
一次学科测验，学生得分均为整数，满分为分，成绩达到分以上包括分为合格，成绩达到分以上包括分为优秀，这次测验中甲、乙两组各名学生成绩分布的条形统计图如图所示．
请补全下面的统计表：
平均数 方差 中位数 合格率 优秀率
甲组
乙组
甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组学生观点的理由．
23.本小题分
列方程组解应用题：
九章算术是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．九章算术早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本并被译成日、俄、德、法等多种文字版本．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？
大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元钱，问有多少人？该物品价值多少元？
24.本小题分
如图，已知中，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点，
判断与的数量关系，并证明；
求证：；
若，求的值．
25.本小题分
探究：
如图，在与中，，，，连结、请写出图中所有全等的三角形： 不添加字母．
如图，已知，，，是过点的直线，，，垂足为、求证：≌．
解决问题：
如图，已知，，，在边上，，．
求证：．
26.本小题分
已知：如图，在中，，，点在轴上，直线：为常数，且过点，且与轴、轴分别交于点，直线：为常数，且与直线交于点，且的面积为．
求点的坐标；
求直线的解析式；
如图，直线在轴左侧，且轴，与直线轴分别交于点，且直线与线段交于点，若点的横坐标为，求的面积关于的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】利用二次根式的加减法则，二次根式的乘除法则对各选项分别化简并进行判断即可．
【详解】解：．，故此选项不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算．正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】
【解析】【分析】直接把点代入函数，求出的值即可．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、对于的每一个取值，有时有两个确定的值与之对应，所以不是的函数，故A选项错误；
B、对于的每一个取值，有时有两个确定的值与之对应，所以不是的函数，故B选项错误；
C、对于的每一个取值，有时有两个确定的值与之对应，所以不是的函数，故C选项错误；
D、对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，所以是的函数，故D选项正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
4.【答案】
【解析】【详解】试题分析：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，，解得，故选B．
考点：函数自变量的取值范围．
5.【答案】
【解析】【分析】先求出点的坐标，再将其代入，即可求出答案．
【详解】点关于轴的对称点为，
点坐标为，
又点在直线上，
解得，
故选：．
【点睛】本题考查的是坐标对称的特点与一次函数的知识，能够求出点坐标是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B.，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C.由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D.，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．
【详解】解：根据函数图象可知，当时，，
即不等式的解集为，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
8.【答案】
【解析】【详解】设矩形的面积为，
为矩形的对角线的交点，
平行四边形底边上的高等于的．
平行四边形的面积
平行四边形的对角线交于点，
平行四边形的边上的高等于平行四边形底边上的高的．
平行四边形的面积．
，
依此类推，平行四边形的面积．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】【分析】首先根据四边形是正方形得出，，根据是等边三角形得出，最后根据即可证明；根据全等的性质可间接得出，，从而得出是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出，设，则，然后利用勾股定理求出，即可得出正方形的边长，最后求出正方形的面积．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
，
在中，，
设，则，
，即，
解得或舍去，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质．解答本题的关键是对正方形和三角形的性质以及勾股定理的运用要熟练掌握．
11.【答案】
【解析】【分析】先化简绝对值，再计算减法即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的加法以及化简绝对值，题目较为基础．
12.【答案】
【解析】【分析】作出相应图形中，作，由三线合一性质解得，继而根据勾股定解得的长，最后根据三角形面积公式解题．
【详解】如图，在中，作，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三线合一性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13.【答案】
【解析】【分析】把方程的两组解分别代入方程，可得关于，的方程组，再求解即可．
【详解】解：把和分别代入方程中，
可得，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数，为未知数的方程组．
14.【答案】
【解析】【分析】根据众数和中位数的定义判断和，根据加权平均数的计算判断，将所有户数加起来可判断．
【详解】解：出现了次，出现的次数最多，则众数是，原说法错误；
这组数据的平均数是：，说法正确；
调查的户数是，说法正确；
把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是，则中位数是，说法正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查众数；统计表；加权平均数；中位数，掌握各定义及计算方法是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】根据平分与可以计算出，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得，从而得到是等边三角形，再证明是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在矩形中，，
是等边三角形，
，
，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出是等边三角形是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，确定最小值为的长度，再由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，
正方形是轴对称图形，点与点是关于直线为对称轴的对称点，
连接，，则直线即为的垂直平分线，

，
，
连接交于点，
点为上的动点，
由三角形两边之和大于第三边，
知当点运动到点时，
，的最小值为的长度．
四边形为正方形，
，，
，，
即的最小值为．
故答案为：
【点睛】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
17.【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积则为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上三角形的面积，
【详解】解：为直角三角形，，，，
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
的面积为：，
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】本题考查代数式求值，因式分解．根据可得出再将变形为，整体代入即可得出，再次整体代入求值即可，利用整体代入的思想是解题关键．
【详解】解：，
．
．
故答案为：．
19.【答案】设直线所表示的一次函数的表达式为，
点，在直线上，
， 解得．
直线所表示的一次函数的表达式为．
点在直线上．
由题意知点的坐标为，
，
点在直线上．

【解析】【详解】分析：设直线所表示的一次函数的表达式为，把点、的坐标代入，利用待定系数法求得系数的值；根据平移的规律得到点的坐标为，代入直线方程进行验证即可．
20.【答案】解：
将代入中，可得
解得：，
将代入中，可得，
方程组的解为；
解：
．

【解析】【分析】方程组利用代入消元法求出解即可；
原式算术平方根、立方根定义以及零指数幂计算即可求出值．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：，
，
，
在和中，
≌；
，
，
又，
四边形是平行四边形．

【解析】【分析】证出，由即可得出≌；再由全等三角形的性质得出，证出，由，即可得出结论．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】解：甲组数据从小到大排列，第个数和第个数均为，
乙组数据的平均数为，
故答案为：；；
解：由可得乙组的平均数大于甲组的平均数，所以乙组的成绩要好于甲组，
根据图表可得乙组的方差小于甲组的方差，所以乙组的成绩比较稳定，要好于甲组．

【解析】【分析】根据中位数和平均数的概念，结合条形统计图，即可解答；
从平均数，方差，中位数等方面，说出支持乙组学生的观点，即可解答．
【点睛】本题考查了条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23.【答案】设有人，该物品价值元，
根据题意得：
解得：．
答：有人，该物品价值元．

【解析】【分析】设有人，该物品价值元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
24.【答案】解：
证明：四边形是正方形，，
，
，
，
，
在和中，
．
证明：如图，连接，四边形是正方形，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
连接，
，
在中，
，
，，
由知，
由知，在中，，
四边形是正方形，
，

【解析】【分析】证明即可求解；
连接，证明，结合的结论即可求解；
连接，勾股定理求得的长，继而求得的长，由知，由知，在中，勾股定理可得的长，由四边形是正方形，即可求解．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转模型全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25.【答案】证明：，，
，
在和中，
≌；
故答案为≌；
，，
，
在和中，
≌；
如图：作于，于，则，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．

【解析】【分析】由，得到，然后结合，，即可证明≌；
由同角的余角相等，得到，结合条件，，即可证明≌；
作于，于，由是等腰直角三角形，则，由，得到≌，则，，则，得到，则得到，则，即可得到结论成立．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及同角的余角相等，本题中求证≌，≌，≌是解题的关键．
26.【答案】解：如图，作于．

，，，
，
在中，，
故．
解：由可得，
把代入得到，，解得，
直线的解析式为，
，设点的坐标为，
由题意，
解得，
，
解得，
，把代入，得到解得，
直线的解析式为．
如图，连接．

，
直线的解析式为，
，且，
，
．

【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，即可求得．
将点的坐标代入直线的解析式求出，再利用三角形的面积公式求出点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
表示出的长度，利用铅垂法即可求出三角形的面积．
【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、三角形的面积等知识，灵活应用三角形的面积公式是解题的关键．
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