第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组小结与复习
考点呈现
考点1 不等式的基本性质
例1 (2011年淄博市)若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
分析：根据不等式的基本性质，逐一验证即可得出结果.
解: 本题考查了利用不等式的基本性质进行不等式变形．不等式两边都减去3，不等号方向不改变，所以A错误；不等式两边同时乘以(－2)，不等号方向改变，所以B错误；不等式两边都除以4，不等号方向不改变， 所以C错误；因为，b＞b-1，所以，故选D．
说明:不等式的基本性质是不等式变形的依据，注意当不等式两边同时乘以或除以一个不等于零的负数时，不等号的方向要改变．
考点2 解一元一次不等式（组）
例2（2011年北京市）解不等式：4(x－1)＞5x－6.
分析：依据解不等式的步骤一步步完成.
解：去括号，得4x－4＞5x－6.移项、合并同类项，得－x＞－2.化系数为1，得x＜2.所以原不等式的解集是x＜2.
说明：注意移向和化系数为1时，符号的变化.
例3（2011年佛山市）解不等式组：
分析：先确定不等式组中每一个不等式的解集，进而再确定其公共解集.
解：解不等式－1＜x，得x＞－2；解不等式x－(3x－1)≥－5，得x≤3.因此原不等式组的解集是－2＜x≤3.
说明：确定不等式组的解集的方法有两种：“数轴法”和“口诀法”.
考点3 确定一元一次不等式（组）的整数解
例4（2011年烟台市）不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）
A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
分析：先依照解一元一次不等式的一般步骤求出不等式的解集，进而利用非负整数的意义求解.
解：解不等式，得x≤2.因为x是非负整数，所以x＝0，1，2，共有3个，故选C.
说明：此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断.
例5（2011年苏州市）不等式组的所有整数解之和是（ ）
A.9 B.12 C.13 D.15
分析：先分别求出不等式组的解集，进而利用整数的意义求解.
解：解不等式x－3≥0，得x≥3；解不等式＜3，得x＜6，所以不等式组的解集为3≤x＜6.因为x是整数，所以x可取3，4，5，所以所有整数解之和是12.故选B.
说明：先求出不等式组的解集，然后按解集中有哪些整数，最后将这些整数相加.
考点4 确定一元一次不等式（组）中字母系数的范围
例6（2011年眉山市）关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是＿＿＿.
分析：先求出不等式的解集，再由“只有两个正整数解”确定a的取值范围.
解：解关于x的不等式3x－a≤0，得x≤.因为不等式只有两个正整数解，所以这两个正整数解只能为1，2，所以2≤＜3，6≤a＜9.
说明：本题也可以通过数轴来确定a的取值范围.
例7（2011年安顺市）若不等式组有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≤ B.m＜ C.m＞ D.m≥
分析：先求出不等式组中的每一个不等式的解集，进而利用“有实数解”进一步求解.
解：解不等式5－3x≥0，得x≤；解不等式x－m≥0，得x≥m.
因为原不等式组有实数解，所以m≤x≤，所以m满足m≤.故选A.
说明：求解本题时，应注意理解“有实数解”的意义，同时要避免忽略等于的情况.
考点5 不等式与一次函数
例8（2011年西宁市）如图，直线y＝kx+b经过A(－1，1)和B(－，0)两点，则不等式0＜kx+b＜－x的解集为＿＿＿.
分析：要求不等式的解集，可分别求得不等式0＜kx+b的解集和不等式kx+b＜－x的解集，此时可由已知的点的坐标，并结合图象求解.
解：因为不等式0＜kx+b对应的解集是直线在x轴上方的部分对应的x的值，而点B的坐标是(－，0)，所以x＞－.将A(－1，1)代入函数关系式y＝kx+b，得k+1＝b.解不等式kx+b＜－x得(k+1)x＜－b，即bx＜-b.因为b＞0，所以x＜－1.取其公共部分，得
－＜x＜－1，即不等式0＜kx+b＜－x的解集为－＜x＜－1.
说明：求解本题时，一定要根据一次函数与不等式的关系，充分利用数形结合的方法求解.
考点6 用一元一次不等式组解决应用题
例9（2011年桂林市）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.
（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的式子表示）
（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？
分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”易求牛奶盒数.（2）欲求老人的数目，需要确定一个范围，根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知1≤最后一个老人分得的牛奶盒数＜5，由于前面的老人每人6盒，且总共有(5x+38)盒，所以最后一个老人分得的牛奶盒数为(5x+38)－6(x－1)，因此有1≤(5x+38)－6(x－1)＜5，解之可得出老人的数目.
解：（1）依题意，得牛奶盒数为(5x+38)盒.
（2）根据题意，得解得39＜x≤43.
因为x为整数，所以x＝40，41，42，43 .
所以该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.
说明：应用不等式及不等式组解决实际问题时，需先设出未知数，根据题意找到不等关系，列出不等式（组）求解，再根据实际情况进行分析解答.如本题老人的数目必须是整数.
误区点拨
误区一：概念不清
例1 下列四个式子：①；②③；④.其中是不等式的有（ ）
A. ②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④
错解:选D
剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子是不是用不等号连接.常见的不等号有:.所以所给四个式子都是不等式.
正解：选C.
误区二：对不等式基本性质理解错误
例2已知，下列式子：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个
错解：根据不等式的基本性质知，5个式子都是正确的，故选D.
剖析：当，时，①不正确；根据不等式的基本性质1，可知②③正确；根据不等式的基本性质3，可知④正确； c的值不确定，当c<0时，⑤不正确.
正解：选C.
误区三：与方程组的解法混淆
例3 解不等式组
错解：由①+②，得-x+2≥0.解得x≤2.
所以，原不等式组的解集为x≤2.
剖析：错解误将解方程组的加减消元法用在解不等式组中，导致错误.
正解：解不等式①，得x≥1；解不等式②，得x≤.
所以原不等式组的解集是1≤x≤.
误区四：忽视等号
例4 已知不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A.a≤－3 B.a＜－3 C.a≥－3 D.a＞－3
错解：选D.
剖析：原不等式组等价于2a＋1＜x＜a－2，因为此不等式组无解，所以2a＋1与a－2之间不能留有“空隙”，因此，2a＋1应比a－2大，即2a＋1＞a－2.2a＋1与a－2可以相等吗？当2a＋1＝a－2时，解得a＝－3，不等式组为－5＜x＜－5，x同样取不到任何的值，原不等式组仍然无解，所以2a＋1≥a－2，解得a≥－3.
正解：选C.
课件15张PPT。胶州市第十二中学 袁仲伦第二章考点知识总结与跟踪训练不等式的基本性质 ? 考点1例1 若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．分析：根据不等式的基本性质，逐一验证即可得出结果.解: 本题考查了利用不等式的基本性质进行不等式变形．不等式两边都减去3，不等号方向不改变，所以A错误；不等式两边同时乘以(－2)，不等号方向改变，所以B错误；不等式两边都除以4，不等号方向不改变， 所以C错误；因为，b＞b-1，所以，故选D．说明:不等式的基本性质是不等式变形的依据，注意当不等式两边同时乘以或除以一个不等于零的负数时，不等号的方向要改变．D 考点2解一元一次不等式（组） ?例2、解不等式：4(x－1)＞5x－6.分析：依据解不等式的步骤一步步完成.解：去括号，得说明：注意移向和化系数为1时，符号的变化..4x－4＞5x－6.移项、合并同类项，得化系数为1，得－x＞－2.x＜2.所以原不等式的解集是x＜2.例3、解不等式组：分析：先确定不等式组中每一个不等式的解集进而再确定其公共解集.解：解不等式 －1＜x，得x＞－2； 解不等式x－(3x－1)≥－5，得x≤3. 因此原不等式组的解集是－2＜x≤3.说明：确定不等式组的解集的方法有两种：
“数轴法”和“口诀法”. 考点3确定一元一次不等式（组）的整数解? 例4、不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）
A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个分析：先依照解一元一次不等式的一般步骤求出不等式的解集，进而利用非负整数的意义求解.解：解不等式，得 所以x＝0，1，2，共有3个，故选C 说明：此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断.Cx≤2 因为x是非负整数， 考点3确定一元一次不等式（组）的整数解?例5、不等式组 的所有整数解之和是（ ）
A.9 B.12 C.13 D.15分析：先分别求出不等式组的解集，进而利用整数的意义求解.解：解不等式x－3≥0，得 解不等式 ＜3，得 x≥3； x＜6， 所以不等式组的解集为3≤x＜6. 因为x是整数， 所以x可取3，4，5， 所以所有整数解之和是12.故选B 说明：先求出不等式组的解集，然后按解集中有哪些整数，最后将这些整数相加.B 考点4确定一元一次不等式（组）中字母系数的范围例6、关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是＿＿＿.分析：先求出不等式的解集，再由“只有两个正整数解”确定a的取值范围.解：解关于x的不等式3x－a≤0，得 因为不等式只有两个正整数解， x≤所以这两个正整数解只能为1，2， 所以2≤＜3，6≤a＜9.说明：本题也可以通过数轴来确定a的取值范围. 考点4解：解不等式5－3x≥0，得 解不等式x－m≥0，得 例7、若不等式组 有实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≤ B.m＜ C.m＞ D.m≥分析：先求出不等式组中的每一个不等式的解集，进而利用“有实数解”进一步求解.确定一元一次不等式（组）中字母系数的范围x≤ x≥m. 因为原不等式组有实数解， 所以m≤x≤ 所以m满足m≤.故选A. A 考点5不等式与一次函数例8、如图，直线y＝kx+b经过A(－1，1)和(－ ，0)
两点，则不等式0＜kx+b＜－x的解集为＿＿＿.分析：要求不等式的解集，可分别求得不等式0＜kx+b的解集和不等式kx+b＜－x的解集，此时可由已知的点的坐标，并结合图象求解.解：因为不等式0＜kx+b对应的解集是直线在x轴上方的部分对应的x的值，而点B的坐标是(－ ,0)所以x＞－ 将A(－1，1)代入函数关系式y＝kx+b得k+1＝b. 解不等式kx+b＜－x得(k+1)x＜－b，即bx＜-b.因为b＞0，
所以x＜－1.取其公共部分，得－ ＜x＜－1 说明：求解本题时，一定要根据一次函数与不等式的关系，充分利用数形结合的方法求解. 考点6用一元一次不等式组解决应用题 例9、某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.
（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的式子表示）（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”易求牛奶盒数. （2）欲求老人的数目，需要确定一个范围，根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知 1≤最后一个老人分得的牛奶盒数＜5， 由于前面的老人每人6盒，且总共有(5x+38)盒， 所以最后一个老人分得的牛奶盒数为(5x+38)－6(x－1)，因此有1≤(5x+38)－6(x－1)＜5，解之可得出老人的数目. 考点6用一元一次不等式组解决应用题 例9、某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒.
（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的式子表示）（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？解：（1）依题意，得牛奶盒数为(5x+38)盒.（2）根据题意，得 因为x为整数， 所以该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.说明：应用不等式及不等式组解决实际问题时，需先设出未知数，根据题意找到不等关系，列出不等式（组）求解，再根据实际情况进行分析解答.如本题老人的数目必须是整数.解得39＜x≤43.所以x＝40，41，42，43 . 误区点拨例1 下列四个式子：① ； ② ；③ ；④ .其中是不等式的有（ ）
A. ②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④错解:选D剖析:概念不清致错.要判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子是不是用不等号连接.常见的不等号有: .所以所给四个式子都是不等式.误区一：概念不清正解： 选C. 例2已知，下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的有（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个错解：根据不等式的基本性质知，5个式子都是正确的，故选D.剖析：当 ， ，时，①不正确；根据不等式的基本性质1，可知②③正确；根据不等式的基本性质3，可知④正确； c的值不确定，当c<0时，⑤不正确.误区二：对不等式基本性质理解错误 误区点拨正解： 选C 例3 解不等式组 错解：由①+②，得-x+2≥0.解得x≤2.
所以，原不等式组的解集为x≤2.剖析：错解误将解方程组的加减消元法用在解不等式组中，导致错误. 误区点拨误区三：对不等式基本性质理解错误正解： 解不等式①，得x≥1； 解不等式②，得x≤.所以原不等式组的解集是：1≤x≤例4 已知不等式组 无解，则a的取值范围是（ ）
A.a≤－3 B.a＜－3 C.a≥－3 D.a＞－3 剖析：原不等式组等价于2a＋1＜x＜a－2，因为此不等式组无解，所以2a＋1与a－2之间不能留有“空隙” 误区点拨误区四：忽视等号错解：选D. 因此，2a＋1应比a－2大，即2a＋1＞a－2.2a＋1与a－2可以相等吗？ 当2a＋1＝a－2时，解得a＝－3，不等式组为－5＜x＜－5，x同样取不到任何的值，原不等式组仍然无解，所以2a＋1≥a－2，解得a≥－3.正解：选C.
