5.6 应用一元一次方程-追赶小明 课件（共28张PPT）-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课件（北师大版）

北师大版 数学 七年级上册
6 应用一元一次方程----追赶小明
第五章 一元一次方程
学习目标
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.（重点）
2.发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.（难点）
一、导入新课
复习回顾
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
实际问题
抽象
寻找等量关系
数学问题（一元一次方程）
解方程
数学问题的解（一
元一次方程的解）
验证
实际问题的解
解释
一、导入新课
情境导入
小明每天早上要在7：50分之前赶到距家1000米的学校上学.一天,小明以80米/分的速度出发,5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明.
爸爸能不能在小明到达学校之前追上他呢？
二、新知探究
探究一：应用一元一次方程解决追及问题
上述问题中，若已知爸爸在途中追上了小明.
问题（1）：爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等.在解决这个问题时，要抓住这个等量关系.
家
学校
追上
小明5分钟走的路程80×5
小明在爸爸追时走的路程80x
爸爸追赶小明时走的路程180x
若设爸爸追上小明用了x分钟，根据题意可以画出线段图.
问题（2）追上小明时，距离学校还有多远？
家
学校
追上
小明5分钟走的路程80×5
小明在爸爸追时走的路程80x
爸爸追赶小明时走的路程180x
二、新知探究
解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟.
根据题意，得 180x=5×80+80x
化简，得 100x=400
x=4
因此，爸爸追上小明用了4分钟.
?
1000-720＝280（米）
所以，追上小明时，距离学校还有280米。
（2）180×4＝720（米）
二、新知探究
问题1：后队追上前队用了多长时间 ？
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
议一议：育红学校七年级学生步行到郊外旅行：（1）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，（2）班的学生组成后队，速度为6km/h。前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h。
根据上面的事实提出问题并尝试去解答.
二、新知探究
问题1：后队追上前队用了多长时间 ？
解：设后队追上前队用了x小时，
由题意,得 6x = 4x + 4
解方程,得 x =2
答：后队追上前队时用了2小时。
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
解：由问题1得后队追上前队用了2小时，因此，联络员共行进了
12 × 2 = 24 （千米）
答：后队追上前队时联络员行了24千米。
二、新知探究
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
解：设联络员第一次追上前队时用了x小时，
由题意得: 12x = 4x + 4
解方程得：x =0.5
答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时。
二、新知探究
知识归纳
甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
(1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离；
注意：同向而行注意始发时间和地点．
(2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．
线段图：
甲
乙
二、新知探究
甲、乙两站间的路程为 450 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶 65 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶 85 千米.
（1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
解：（1）设 两车行驶了xh相遇，
根据题意得 65x+85x=450，
解，得 x = 3.
答：两车经过3h相遇.
分析：等量关系：慢车路程＋快车路程=甲乙之间的距离.
探究二：应用一元一次方程解决相遇问题
相遇
慢车行驶的路程65x
甲乙两地之间的距离450km
快车行驶的路程85x
甲
乙
线段图：
二、新知探究
（2）快车先开30min，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？
相遇
快车先开30min行驶的路程85×0.5
慢车行驶的路程65y
甲乙两地之间的距离450km
快车在慢车走时行驶的路程85y
解：（2）设慢车行驶了y小时两车相遇.
据题意得 65y+85（y+0.5）=450，
解，得 y= ??????????????????.
答：慢车行驶了??????????????????小时两车相遇.
?
相遇问题：
关于两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题，这类问题往往根据路程之和等于总路程列方程．
如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地相距的路程．
二、新知探究
知识归纳
二、新知探究
思考：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小强每秒跑4米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？
小强
小明
同时同地
同向而行
能相遇
探究三：环形跑道中的追及和相遇问题
分 析：
二、新知探究
操场一周是400米，小明每秒跑5米,小强骑自行车每秒15米.
(1)两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？
(2)两人同时同地相背而行，则两个人何时相遇？
解：设经过x秒两人第一次相遇，
根据题意，得15x-5x=400,
解得 x=40.
答：经过40秒两人第一次相遇.
（2）设经过x秒两人第一次相遇，
根据题意，得 15x+5x=400,
解得 x=20 .
答：经过 20 秒两人第一次相遇.
跟踪练习
二、新知探究
环形跑道长s米，设v甲＞v乙，经过t秒甲、乙第一次相遇.
一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行：
v甲t-v乙t=s.
②同时同地、背向而行：
v甲t+v乙t=s.
环形跑道问题
追及问题
相遇问题
知识归纳
解：设甲、乙两地距离是x千米，
由题意得 ????????????+??????????????????????=????????,
解得 x＝286，
答：甲、乙两地的距离是286千米.
?
二、新知探究
分析：本题涉及水流速度：
顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速－水速.
已知船在静水中的速度是24千米/时，水流速度是2千米/时，该船在甲、乙两地间行驶一个来回共用了24小时，求甲、乙两地的距离是多少？
做一做
1．顺(逆)水问题中的有关公式：
①顺水速度＝静水中的速度＋水流速度；
②逆水速度＝静水中的速度－水流速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水流速度．
2．顺(逆)风问题中的有关公式：
①顺风速度＝无风速度＋风速；
②逆风速度＝无风速度－风速；
③顺风速度－逆风速度＝2×风速．
二、新知探究
知识归纳
三、典例精析
例1：小明家离学校2.9千米．一天，小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，则小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
[解析] 设小明爸爸出发x分钟后接到小明．
可以画出线段图如右图所示.
解：设小明爸爸从家出发x分钟后接到小明，
由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.
解这个方程，得x＝10.
因此，小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．
三、典例精析
例2:小明的爷爷每天都步行到距离家3.2千米的公园去打太极拳.周日早晨，爷爷出发半小时后，小明发现爷爷忘记带家门钥匙了，小明就骑自行车去给爷爷送钥匙．如果爷爷的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，当小明追上爷爷时，爷爷到公园了吗？
解：设小明用x小时追上爷爷.
因为3千米＜3.2千米．
所以小明追上爷爷时，爷爷没有到公园．
三、典例精析
例3:一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9 h，当逆风飞行时则需3.1 h．已知风速为20 km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间的距离．
解：设无风时飞机的航速为x km/h，
根据题意，得 2.9(x＋20)＝3.1(x－20)．
解这个方程，得 x＝600.
则3.1(x－20)＝1798.
因此，无风时飞机的航速为600 km/h，这两个城市之间的距离为1798 km.
2.小明骑自行车到学校上学，若每小时骑15千米，可早到10分钟，若每小时骑13千米，则迟到5分钟，设他家到学校的路程为x千米，下列方程正确的是(　　)
四、当堂练习
1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得( )
A．4＋3x＝25.2　　　　　B．3×4＋x＝25.2
C．3(4＋x)＝25.2 D．3(x－4)＝25.2
C
A
四、当堂练习
3.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过几秒两人首次相遇(　　)
A．208秒 B．204秒 C．200秒 D．196秒
D
4.一列长30米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程为____米，速度是____米/分．
90
90
四、当堂练习
5.甲、乙两人赛跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲从起点处往后退20米，乙从起点处向前进10米，若甲、乙两人同时出发，则甲经过几秒钟追上乙？
解：设甲经过x秒追上乙．
由题意，得8x－5x＝20＋10.
解这个方程，得x＝10.
因此，甲经过10秒追上乙．
四、当堂练习
6.A，B两地相距30千米．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．
解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x＋1)千米/时．
根据题意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.
解这个方程，得x＝5.5.则x＋1＝6.5.
因此，甲、乙两人的速度分别为6.5千米/时、5.5千米/时．
四、当堂练习
7.一架飞机在两城市之间飞行，风速为24千米/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时．求无风时飞机的飞行速度和两城之间的航程．
五、课堂小结
同向追
及问题
相向相
遇问题
应用一元一次方程
——追赶小明
同地不同时：甲路程＝乙路程
同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程
甲的路程＋乙的路程=总路程
六、作业布置
习题5.9