5.4 二次函数与一元二次方程（第1课时） 课件（共29张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第5章 二次函数
5.4 二次函数与一元二次方程（1）
第1课时 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根之间的关系；
2.能通过一元二次方程根的判别式判断二次函数的图像与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴的交点个数确定参数的取值范围.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
函数y＝x＋1的图像与x轴有一个交点.
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o
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y
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5
知识回顾
画一次函数y＝x＋1的图像，并指出函数y＝x＋1的图像与x轴有几个交点？
y＝x＋1
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知识回顾
y＝x＋1
一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有什么联系？
从“数”的方面看，当一次函数
y＝x＋1的函数值y＝0时，相应的自变量的值即为方程x＋1＝0的解.
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知识回顾
y＝x＋1
一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有什么联系？
从“形”的方面看，函数
y＝x＋1与x轴交点的横坐标即为方程x＋1＝0的解．
知识回顾
函数y＝kx＋b(k≠0)中，当y=0时，x的值
方程kx＋b＝0(k≠0)的解
从“数”的方面看，
从“形”的方面看，
函数y＝kx＋b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标
方程kx＋b＝0(k≠0)的解
一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)有怎样的关系呢？
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思考与探索
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x
y
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8
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y=x2-2x-3
-2
-4
在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3的图像．
(2)当x取何值时y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有何关系？
(1)二次函数图像与x轴的交点坐标是什么？
解：(1)二次函数图像与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)．
解：(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，
这里x的取值是方程x2－2x－3＝0的两个根．
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思考与探索
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o
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x
y
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y=x2-2x-3
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在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3的图像．
(3)你能从中得到什么启示？
解：(3)二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根；
一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根就是二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交点的横坐标．
思考与探索
二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎样的关系呢？
思考1 二次函数y=ax2+bx+c何时能成为一元二次方程?
当y的值确定后，由二次函数y＝ax2＋bx+c
可以相应地得到一个一元二次方程. 如，y＝0时，由二次函数y＝ax2＋bx+c可得一元二次方程
ax2＋bx+c＝0.
思考2 二次函数的图像与x轴有交点吗？如果有，交点的纵坐标是多少？横坐标呢？
思考与探索
二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有怎样的关系呢？
从图像上看，如果二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，那么交点的纵坐标y=0，交点的横坐标就
是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
归纳总结
1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点坐标，实质是求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根．
2.由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2，可知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
新知巩固
1. 方程x2+4x-5=0的根是______________，则函数y=x2+4x-5的图像与x轴的交点有____个，其坐标是__________________．
x1=－5，x2=1
2
(－5，0)、(1，0)
2. 方程-x2+10x-25=0的根是_________，则函数y=-x2+10x-25的图像与x轴的交点有___个，其坐标是_________．
1
(5，0)
x1=x2=5
3.二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是________________，则一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是_______________.
(-2，0) ( ????????，0)
?
x1=－2 ，x2=????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
x
-2
-4
-6
O
2
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-6
-4
y
-2
-8
-10
2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
观察与思考
观察二次函数y＝-????????x2-4x-6、y＝x2-6x+9、y＝x2-2x+3的图像，分别说出一元二次方程-????????x2-4x-6=0、x2-6x+9=0、x2-2x+3=0的根的情况.
?
y＝-????????x2-4x-6
?
x
6
8
4
2
O
2
4
y
6
-2
8
y＝x2-6x+9
x
4
6
2
O
2
4
y
6
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8
y＝x2-2x+3
8
观察与思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
x
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y＝-????????x2-4x-6
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y＝x2-6x+9
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y＝x2-2x+3
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{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
抛物线与x轴公共点个数
公共点的横坐标
相应的一元二次方程的根
y＝-????????x2-4x-6
y = x2－6x＋9
y＝x2-2x+3
2个
-6，-2
-????????x2-4x-6=0，x1=-6，x2=-2
?
1个
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
0个
x2-2x+3=0无解
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
b2-4ac的符号
二次函数y=ax2+bx+c的图像
二次函数y=ax2+bx+c的图像
与x轴的公共点的情况
一元二次方程ax2+bx+c=0
的根的情况
a＞0
a＞0
b2-4ac＞0
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x1
x2
有两个公共点(x1, 0)，(x2, 0)
有两个不相等的实数根x1，x2，
x1, 2=?????±?????????????????????????????
?
b2-4ac=0
x
y
O
x=?????????????
?
x
y
O
x=?????????????
?
有一个公共点(?????????????， 0)
?
有两个相等的实数根，x1, 2=?????????????
?
b2-4ac＜0
x
y
O
x
y
O
无公共点
没有实数根
例题讲解
例1 不画图像，判断函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴是否有公共点？
解：∵一元二次方程-x2+5x-8=0的根的判别式
b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)<0,
∴方程-x2+5x-8=0没有实数根.
∴二次函数y＝-x2+5x-8的图像与x轴没有公共点.
例题讲解
例2 已知抛物线y＝x2＋4kx＋4k2－3k.
(1)当k为何值时，抛物线与x轴有一个公共点？
解：(1)∵抛物线与x轴有一个公共点，
∴b2－4ac=0，
∴(4k)2－4×(4k2－3k)=0，
解得k=0.
故当k=0时，抛物线与x轴有两个公共点．
例题讲解
例2 已知抛物线y＝x2＋4kx＋4k2－3k.
(2)当k为何值时，抛物线与x轴无公共点？
解：(2)∵抛物线与x轴无公共点，
∴b2－4ac＜0，
∴(4k)2－4×(4k2－3k)＜0，
解得k＜0.
故当k＜0时，抛物线与x轴没有公共点．
新知巩固
1.不画函数图像，判断下列二次函数的图像与x轴的公共点的个数.
(1) y＝x2-x
(2) y＝-x2+6x-9
(3) y＝3x2+6x+11
有2个公共点
有且只有1个公共点
没有公共点
新知巩固
2.已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图像与x轴有交点，求k的取值范围．
解：∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图像与x轴有交点，
∴b2－4ac≥0
22－4(k－3)≥0
解得k≤4
∵k－3≠0
∴k≤4且k≠3.
∴k的取值范围是k≤4且k≠3.
新知巩固
3.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
求证：此抛物线与x轴总有交点；
证明：∵一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0的根的判别式
b2-4ac=(m＋2)2－4m×2
＝m2＋4m＋4－8m
＝(m－2)2≥0,
∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0总有实数根.
∴二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2的图像与与x轴总有交点.
拓展延伸
1.若抛物线y=ax2+bx+c，当 a>0，c<0时，图像与x轴交点情况是( )
A .无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D.不能确定
C
2.抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是(　　)A.无交点　　 B.有一个交点　　　 C.有两个交点　　　 D.随m取值的改变而改变
C
拓展延伸
3.已知二次函数 y＝x2-6x+8的图像，利用图像回答问题：
(1)方程x2-6x+8＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，y>0 ？
(3)x取什么值时，y<0 ？
x
y
O
2
4
8
解：(1) x1=2，x2=4;
(2) x<2或x>4；
(3) 2课堂小结
二次函数与
一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的图像
与x轴的公共点的情况
两个公共点
一个公共点
无公共点
当堂检测
1.下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是( )
D
A. y=x2-2
C. y=-x2+6x-9
B.y=x2-x
D. y=x2-x+2
2.已知二次函数y＝kx2－2x－1的图像和x轴有交点，则k的取值范围是(　　)A.k＞－1　　 B.k＜1　　　 C.k≥－1且k≠0　　 D.k＜1且k≠0
C
当堂检测
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( 　　)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根 D.没有实数根
D
x
y
O
当堂检测
4.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿，此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点.
1
1
5. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是________________________．
有两个不相等的实数根
当堂检测
6.已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图像经过点P(2，4)．(1)求m的值；
解：将P(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3得4＝22＋2m＋m2－3，
解得m1＝1，m2＝－3，又∵m＞0，
∴m＝1.
(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图像与x轴交点的个数，并说明理由．
解：∵m＝1，
∴y＝x2＋x－2，∵b2－4ac＝12－4×(－2)＝9＞0，∴二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图像与x轴有2个交点．
当堂检测