人教版六年级数学上册8.1数学广角——数与形（学案）
文档属性
| 名称 | 人教版六年级数学上册8.1数学广角——数与形（学案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1008.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-29 20:32:49 | ||
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文档简介
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人教版六上8.1数学广角——数与形
知识梳理
1、运用数形结合的方法探索规律。
从1开始的n个连续奇数相加的和可以用n2表示,即1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2。
2、借助直观图形解决比较复杂的问题。
从开始的数列、、......的和是1。
真题练习
一、选择题
1．在一个平面上有68个点，一共可以连（ ）条线段。
A．68 B．2278 C．2346 D．1190
2．观察下列一组按规律排列的数：1，，，，，…这一组数的第100个数是（ ）。
A． B． C．
3．古希腊的数学家毕达哥拉斯在没有纸笔的时代，用沙子在沙滩上画呀画，发现了数与形的规律。照下面的图形排列规律，第12组图形里共有（ ）个正方形的顶点。
A．48 B．37 C．24 D．36
4．如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（ ）根小棒。
A．41 B．51 C．61
5．找规律：，，，，，（ ），……括号里的数是（ ）。
A． B． C．
二、填空题
6．按规律填空。
……
图形 ……
小棒根数 3 5 7 9 …
照这样摆下去，第10幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。
7．探究规律，巧妙计算。
( ) ( ) ……
8．按规律填数：1，3，4，5，9，7，_____，_____。
9．下图是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，那么第③个图案由________个基础图形组成，第⑩个图案由________个基础图形组成。
10．6个点可以连( )条线，n个点可以连( )条线。
三、计算题
11．找规律，直接写出后面各题的得数。
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝
1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝
1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝
四、解答题
12．（1）数一数下图有几个长方形？（列出算式并计算）
（2）仿照上面的分析方法想一想，一共有（ ）个长方形。
13．照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？
黑色 1块 2块 3块
白色：8块 13块 18块
14．小明用牙签搭六边形，如下图。
（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？
（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？
（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？
15．农夫将苹果树种在正方形果园里。为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种了一些针叶树。在下图中，你可以看到农夫种植苹果树的列数n和苹果树数量及针叶树数量的规律。
（1）请你分别用含有n的式子表示苹果树和针叶树的数量。
（2）当农夫种的苹果树列数为多少时，苹果树的数量会等于针叶树的数量？
16．数与形。
（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝（ ）＋（ ）＝（ ）
20202－20192＝（ ）＋（ ）＝（ ）
参考答案
1．B
【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。
【详解】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（条）
故答案为：B
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
2．B
【分析】通过观察不难发现，从1开始，各分数的分子为连续自然数，分母为连续奇数，第100个数就是，由此求解。
【详解】由分析可得：＝
故答案为：B
【点睛】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。
3．B
【分析】根据题图可知，每增加一个正方形就增加3个顶点，据此可知，当有n个正方形时，就有4＋3（n－1）＝3n＋1个顶点，据此解答即可。
【详解】当有n个正方形时，就有（3n＋1）个顶点；
当n＝12时；
3n＋1
＝3×12＋1
＝36＋1
＝37
故答案为：B。
【点睛】明确每增加一个正方形就增加3个顶点是解答本题的关键，进而根据这一发现总结出规律。
4．B
【分析】看图，摆1个六边形需要1×5＋1＝6（根）小棒，摆2个六边形需要2×5＋1＝11（根）小棒，摆3个六边形需要3×5＋1＝16（根）小棒。据此，推理出第10个图形需要多少根小棒。
【详解】10×5＋1
＝50＋1
＝51（根）
所以，第10个图形需要51根小棒。
故答案为：B
【点睛】本题考查了数与形，有一定归纳总结能力是解题的关键。
5．A
【分析】观察这列数，发现分母是22，32，42，52，62，…，的规律排列的，分子是按照1，2，3，4，5，6，…，则括号里的数的分母是72，分子是6，据此解答即可。
【详解】括号里的数是。
故答案为：A。
【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据数的分子和分母找到排列规律。
6． 21 （1＋2n）
【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。
【详解】第1图小棒数：3＝3
第2图小棒数：5＝3＋1×2
第3图小棒数：7＝3＋2×2
第4图小棒数：9＝3＋3×2
……
第10图小棒数：21＝3＋9×2
第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2
【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。
7．
【分析】每组算式中的两个分数的分子都是1，分母是连续的自然数，则得数的分子是减数的分母减被减数分母的差，分母是两个分母的乘积。
【详解】
【点睛】此题首先从形式上找出规律，再从运算的结果中进一步发现规律，最后推广到一般形式即可。
8．16 9
【分析】观察算式，1、4、9为奇数项，3、5、7为偶数项，找出规律：奇数项是连续的平方数，偶数项依次加2。据此解答。
【详解】12＝1
22＝4
32＝9
42＝16
3＋2＝5
5＋2＝7
7＋2＝9
所以按规律填数：1，3，4，5，9，7，16，9。
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
9．10 31
【分析】观察图形，发现第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，第③个图案由10个基础图形组成……发现规律：4＝1×3＋1，7＝2×3＋1，10＝3×3＋1……；据此找到规律并解答。
【详解】第①个图案中基础图形有4个，4＝1×3＋1；
第②个图案中基础图形有7个，7＝2×3＋1；
第③个图案中基础图形有10个，10＝3×3＋1；
……
第n个图形中基础图形有：（3n＋1）个；
第⑩个图形中基础图形有：
10×3＋1
＝30＋1
＝31（个）
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
10．15 #### n（n－1）÷2
【分析】从1个点出发，都可与其余各点连成一条直线，所以点的数量×（点的数量－1），相当于重复计算了一遍，再除以2就是线的数量，即线的数量＝点的数量×（点的数量－1）÷2，据此分析。
【详解】6×（6－1）÷2
＝6×5÷2
＝15（条）
n×（n－1）÷2＝ n（n－1）÷2＝n2÷2－n÷2＝（条）
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
11．44444.4444；55555.5555；66666.6666
【分析】由“1234.5679×9＝11111.1111，1234.5679×18＝22222.2222，1234.5679×27＝33333.3333”可以看出，第一个因数不变，第二个因数在第一个式子9的基础上分别乘2、乘3、乘4…根据积的变化规律得所得的积也乘2、乘3、乘4…据此即可直接写出各数的积。
【详解】根据规律，直接写出后几道题的得数：
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝ 44444.4444
1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝55555.5555
1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝66666.6666
12．（1）①有10个；②有3个；
（2）30
【分析】（1）①中横着数有10条线段，竖着数只有1条线段，有10×1＝10个长方形；②横着数有1条线段，竖着数有3条线段，有1×3＝3个长方形。
（2）横着数有10条线段，竖着数有3条线段，所以有10×3＝30个长方形。
【详解】（1）①10×1＝10（个）
②1×3＝3（个）
答：①有10个长方形，②有3个长方形。
（2）10×3＝30（个）
【点睛】通过前面两个图形找出数长方形的规律，然后再推断出第2题长方形的个数。
13．6块，33块；10块，53块
【分析】根据第几个图形
1 2 3 4 n
黑色：1块 2块 3块 4块 n块
白色：8块 13块 18块 23块 （3＋5n）块
3＋5×1 3＋5×2 3＋5×3 3＋5×4 3＋5n
所以，第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。
【详解】由分析得，
第6个图形中黑色有6块，白色方块有：
3＋5×6
＝3＋30
＝33（块）
第10个图形中黑色有10块，白色方块有：
3＋5×10
＝3＋50
＝53（块）
【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。
14．（1）6根；11根；16根；21根；
（2）26根；41根；
（3）（5n＋1）根
【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。
【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。
（2）第5幅图：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅图：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。
【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。
15．（1）n2；8n；（2）8
【分析】（1）观察图形可以发现，苹果树的数量为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，用n表示出来即可；
（2）找出规律之后列出等式，解出方程即可。
【详解】（1）苹果树棵数：n2；针叶树棵数：8n
（2）n2＝8n
n（n－8）＝0
n1＝8，n2＝0
n＞0，n＝0不合题，舍去。
n＝8
答：当农夫种的苹果树列数为8时，苹果树的数量会等于针叶树的数量。
【点睛】这是一道找规律的题目，需要明确苹果树的数量，针叶树的数量与苹果树的列数的关系。
16．（1）
＝5＋4
＝9；
＝6＋5
＝11
（2）100；99；199
2020；2019；4039
【分析】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。
【详解】（1）
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝100＋99＝199
20202－20192＝2020＋2019＝4039
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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人教版六上8.1数学广角——数与形
知识梳理
1、运用数形结合的方法探索规律。
从1开始的n个连续奇数相加的和可以用n2表示,即1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2。
2、借助直观图形解决比较复杂的问题。
从开始的数列、、......的和是1。
真题练习
一、选择题
1．在一个平面上有68个点，一共可以连（ ）条线段。
A．68 B．2278 C．2346 D．1190
2．观察下列一组按规律排列的数：1，，，，，…这一组数的第100个数是（ ）。
A． B． C．
3．古希腊的数学家毕达哥拉斯在没有纸笔的时代，用沙子在沙滩上画呀画，发现了数与形的规律。照下面的图形排列规律，第12组图形里共有（ ）个正方形的顶点。
A．48 B．37 C．24 D．36
4．如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（ ）根小棒。
A．41 B．51 C．61
5．找规律：，，，，，（ ），……括号里的数是（ ）。
A． B． C．
二、填空题
6．按规律填空。
……
图形 ……
小棒根数 3 5 7 9 …
照这样摆下去，第10幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。
7．探究规律，巧妙计算。
( ) ( ) ……
8．按规律填数：1，3，4，5，9，7，_____，_____。
9．下图是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，那么第③个图案由________个基础图形组成，第⑩个图案由________个基础图形组成。
10．6个点可以连( )条线，n个点可以连( )条线。
三、计算题
11．找规律，直接写出后面各题的得数。
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝
1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝
1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝
四、解答题
12．（1）数一数下图有几个长方形？（列出算式并计算）
（2）仿照上面的分析方法想一想，一共有（ ）个长方形。
13．照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？
黑色 1块 2块 3块
白色：8块 13块 18块
14．小明用牙签搭六边形，如下图。
（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？
（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？
（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？
15．农夫将苹果树种在正方形果园里。为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种了一些针叶树。在下图中，你可以看到农夫种植苹果树的列数n和苹果树数量及针叶树数量的规律。
（1）请你分别用含有n的式子表示苹果树和针叶树的数量。
（2）当农夫种的苹果树列数为多少时，苹果树的数量会等于针叶树的数量？
16．数与形。
（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝（ ）＋（ ）＝（ ）
20202－20192＝（ ）＋（ ）＝（ ）
参考答案
1．B
【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。
【详解】68×（68－1）÷2
＝68×67÷2
＝4556÷2
＝2278（条）
故答案为：B
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
2．B
【分析】通过观察不难发现，从1开始，各分数的分子为连续自然数，分母为连续奇数，第100个数就是，由此求解。
【详解】由分析可得：＝
故答案为：B
【点睛】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。
3．B
【分析】根据题图可知，每增加一个正方形就增加3个顶点，据此可知，当有n个正方形时，就有4＋3（n－1）＝3n＋1个顶点，据此解答即可。
【详解】当有n个正方形时，就有（3n＋1）个顶点；
当n＝12时；
3n＋1
＝3×12＋1
＝36＋1
＝37
故答案为：B。
【点睛】明确每增加一个正方形就增加3个顶点是解答本题的关键，进而根据这一发现总结出规律。
4．B
【分析】看图，摆1个六边形需要1×5＋1＝6（根）小棒，摆2个六边形需要2×5＋1＝11（根）小棒，摆3个六边形需要3×5＋1＝16（根）小棒。据此，推理出第10个图形需要多少根小棒。
【详解】10×5＋1
＝50＋1
＝51（根）
所以，第10个图形需要51根小棒。
故答案为：B
【点睛】本题考查了数与形，有一定归纳总结能力是解题的关键。
5．A
【分析】观察这列数，发现分母是22，32，42，52，62，…，的规律排列的，分子是按照1，2，3，4，5，6，…，则括号里的数的分母是72，分子是6，据此解答即可。
【详解】括号里的数是。
故答案为：A。
【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据数的分子和分母找到排列规律。
6． 21 （1＋2n）
【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。
【详解】第1图小棒数：3＝3
第2图小棒数：5＝3＋1×2
第3图小棒数：7＝3＋2×2
第4图小棒数：9＝3＋3×2
……
第10图小棒数：21＝3＋9×2
第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2
【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。
7．
【分析】每组算式中的两个分数的分子都是1，分母是连续的自然数，则得数的分子是减数的分母减被减数分母的差，分母是两个分母的乘积。
【详解】
【点睛】此题首先从形式上找出规律，再从运算的结果中进一步发现规律，最后推广到一般形式即可。
8．16 9
【分析】观察算式，1、4、9为奇数项，3、5、7为偶数项，找出规律：奇数项是连续的平方数，偶数项依次加2。据此解答。
【详解】12＝1
22＝4
32＝9
42＝16
3＋2＝5
5＋2＝7
7＋2＝9
所以按规律填数：1，3，4，5，9，7，16，9。
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
9．10 31
【分析】观察图形，发现第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，第③个图案由10个基础图形组成……发现规律：4＝1×3＋1，7＝2×3＋1，10＝3×3＋1……；据此找到规律并解答。
【详解】第①个图案中基础图形有4个，4＝1×3＋1；
第②个图案中基础图形有7个，7＝2×3＋1；
第③个图案中基础图形有10个，10＝3×3＋1；
……
第n个图形中基础图形有：（3n＋1）个；
第⑩个图形中基础图形有：
10×3＋1
＝30＋1
＝31（个）
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
10．15 #### n（n－1）÷2
【分析】从1个点出发，都可与其余各点连成一条直线，所以点的数量×（点的数量－1），相当于重复计算了一遍，再除以2就是线的数量，即线的数量＝点的数量×（点的数量－1）÷2，据此分析。
【详解】6×（6－1）÷2
＝6×5÷2
＝15（条）
n×（n－1）÷2＝ n（n－1）÷2＝n2÷2－n÷2＝（条）
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
11．44444.4444；55555.5555；66666.6666
【分析】由“1234.5679×9＝11111.1111，1234.5679×18＝22222.2222，1234.5679×27＝33333.3333”可以看出，第一个因数不变，第二个因数在第一个式子9的基础上分别乘2、乘3、乘4…根据积的变化规律得所得的积也乘2、乘3、乘4…据此即可直接写出各数的积。
【详解】根据规律，直接写出后几道题的得数：
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝ 44444.4444
1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝55555.5555
1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝66666.6666
12．（1）①有10个；②有3个；
（2）30
【分析】（1）①中横着数有10条线段，竖着数只有1条线段，有10×1＝10个长方形；②横着数有1条线段，竖着数有3条线段，有1×3＝3个长方形。
（2）横着数有10条线段，竖着数有3条线段，所以有10×3＝30个长方形。
【详解】（1）①10×1＝10（个）
②1×3＝3（个）
答：①有10个长方形，②有3个长方形。
（2）10×3＝30（个）
【点睛】通过前面两个图形找出数长方形的规律，然后再推断出第2题长方形的个数。
13．6块，33块；10块，53块
【分析】根据第几个图形
1 2 3 4 n
黑色：1块 2块 3块 4块 n块
白色：8块 13块 18块 23块 （3＋5n）块
3＋5×1 3＋5×2 3＋5×3 3＋5×4 3＋5n
所以，第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。
【详解】由分析得，
第6个图形中黑色有6块，白色方块有：
3＋5×6
＝3＋30
＝33（块）
第10个图形中黑色有10块，白色方块有：
3＋5×10
＝3＋50
＝53（块）
【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。
14．（1）6根；11根；16根；21根；
（2）26根；41根；
（3）（5n＋1）根
【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。
【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。
（2）第5幅图：6＋5×（5－1）
＝6＋5×4
＝6＋20
＝26（根）
第8幅图：6＋5×（8－1）
＝6＋40－5
＝46－5
＝41（根）
答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。
（3）6＋5×（n－1）
＝6＋5n－5
＝（5n＋1）根
答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。
【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。
15．（1）n2；8n；（2）8
【分析】（1）观察图形可以发现，苹果树的数量为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，用n表示出来即可；
（2）找出规律之后列出等式，解出方程即可。
【详解】（1）苹果树棵数：n2；针叶树棵数：8n
（2）n2＝8n
n（n－8）＝0
n1＝8，n2＝0
n＞0，n＝0不合题，舍去。
n＝8
答：当农夫种的苹果树列数为8时，苹果树的数量会等于针叶树的数量。
【点睛】这是一道找规律的题目，需要明确苹果树的数量，针叶树的数量与苹果树的列数的关系。
16．（1）
＝5＋4
＝9；
＝6＋5
＝11
（2）100；99；199
2020；2019；4039
【分析】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。
【详解】（1）
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝100＋99＝199
20202－20192＝2020＋2019＝4039
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
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