17.3.2 一次函数的图象(1)
(一)本课目标
1.经历探究画一次函数图象的过程,了解一次函数、正比例函数的图象特征.
2.会画一次函数、正比例函数的图象.
3.了解直线y=kx+b(k≠0)中k、b的几何意义.
(二)教学流程
1.情境导入
如图17-3-2所示,已知A、B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑的时间t( 秒)的关系如图所示,你知道A、B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函 数关系吗?
图17-3-2
2.课前热身
回顾:在未知函数图象的具体形状的情况下,怎样画出一个给定的函数的图象? 一般可以分为哪几个步骤?
答案:用“描点法”画函数图象,可以分成“列表、描点、连线”三个步骤.
3.合作探究
(1)整体感知
上节课我们主要学习了一次函数、正比例函数的概念, 这节课我们将着重探讨 一次函数与正比例函数图象的主要特征及其图象的画法.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片“做一做”内容.
做一做:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x; (2)y=x+2; (3)y=3x; (4)y=3x+2.
通过画图,你发现一次函数、正比例函数的图象的形状分别是什么?
生:动手操作,在几何练习簿上建立坐标系,用描点法画出上述函数的图象,在小 组之间展开交流讨论,推选代表表达小组归纳的结论.
明确 师生共同概括:根据以上实践、观察与讨论,我们发现一次函数y=kx+ b (k≠0)的图象是一条直线.通常也称为直线y=kx+b.特别地,正比例函数y=kx(k≠0) 的图象是经过原点(0,0)的一条直线.值得注意的是: 一次函数的图象不可能与坐标 轴平行.
互动2
师:利用多媒体演示幻灯片.
认真观察上述画出的四个函数图象的特点, 比较下列各对函数图象的相同点和 不同点:
(1)y=3x与y=3x+2; (2)y=x与y=x+2; (3)y=3x+2与y=x+2.
由此你发现什么规律?
生:在小组之间展开交流与讨论,各组推选代表发言.
师:利用多媒体演示“一次函数图象的平移”课件(华东师范大学出版社教学光 盘),验证同学们的猜想.
明确 在第(1)组和第(2)组中的两个函数图象平行,但位置不同,可以通过相互 平移得到;在第(3)组的两个函数图象相交,且交点在y轴上.
概括归纳可知:对于一次函数y=kx+b和y=k1x+b1,
(1)当k=k1,b≠b1时,两条直线平行, 可以通过平移其中一条直线得到另一条直 线;
(2)当k≠k1,b=b1时,两条直线相交,且交点在y轴上,是(0,b).
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
(1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过 向下平移3个单位 而得到;直线y=-3x+2可 以由直线y=-3x经过 向上平移2个单位 而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 向 下平移5个单位 而得到.
(2)直线y=2x+5与直线y=x+5都经过y轴上的同一点( 0, 5 ).
(3)将直线y=-2x-1向上平移3个单位,得到的直线是 y=-2x+2.
生:动手尝试,在4人小组中交流结果,然后举手回答解题思路和结果.
明确 教师利用多媒体逐个点击答案,验证同学们操作结果的正确性.
互动4
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例1】在同一平面直角坐标系中画下列函数的图象.
(1)y=2x与y=2x+3; (2)y=2x+1与y=x+1.
师:(点拨)画一次函数和正比例函数的图象,我们还需要用描点法吗? 只要在图 象上分别找到几点就可以确定其图象的位置?
生:动手操作,并交流操作的结果.
明确 教师利用多媒体演示操作的过程和结果.
归纳:由于一次函数是直线,因此在画其图象时,只要在图象上找到两点,便可以 画出它的图象,通常所取的两点是图象与坐标轴的两个交点;特别地, 由于正比例函 数的图象是经过原点的一条直线,因此画其图象时,只要找到异于原点(0,0) 的一点 的坐标即可,通常所取的点是(1,k).
互动5
师:请同学们完成课本第47页的练习.
生:动手操作,在小组之间展开交流和互评.
明确 教师利用多媒体演示练习的答案,并口述解题过程和应注意的事项.
把练习的第1题与例1作出的图象比较可知:
对于直线y=kx+b(k≠0),当k>0时,图象可形象说成“撇”;当k<0时， 图象可想 像地说成“捺”;当b>0时，直线与y轴的交点位于x轴的上方;当b<0时,直线与y轴的 交点位于x轴的下方;当b=0时,直线经过坐标系原点.
4.达标反馈
(多媒体演示)
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过( 0,0 )和点 (1,k)的一条直线.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点 (0,b)且与直线y=kx 平行 的直线.
(3)画出下列各组一次函数的图象,并说出它们有什么关系.
①y=-2x-1与y=-2x+6. ②y=x+3与y=-3x+3.
答案:①平行,位置不同 ②相交,交点在y轴上.
5.学习小结
(1)内容总结
一次函数、正比例函数 图象的特征
图象的画法
(2)方法归纳
画一次函数图象时,只要在图象上找到两点的坐标,在坐标系中描出这两点, 再 经过这两点画直线即可.
(三)拓展延伸
1.链接生活
画出问题“拖拉机油箱中装油20升，使用时每小时耗油4升， 油箱中的剩余油 量y(升)与使用时间t(小时)之间的关系”中函数图象.
提示:图象为线段.
2.实践探索
(1)实践活动
对于一次函数y=kx+b(k≠0),分别取k、b的四组不同值:①都是正数;②k为正, b为负;③k为负,b为正;④都是负数,分别画出这四个一次函数的图象, 并探讨直线y =kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值正、负的关系.
(2)巩固练习
课本第52页习题17.3第4-6题.
(四)板书设计:
课题
一次函数图象的特征
不同一次函数图象之间的关系
一次函数图象的画法
投影幕
学生板演内容
17.3.2 一次函数的图象(2)
(一)本课目标
1.了解一次函数图象与坐标轴的交点的求法.
2.会画实际问题中的一次函数的图象.
3.了解一次函数与一次方程的关系.
4.学会利用一次函数图象解答简单问题.
(二)教学流程
1.情境导入
已知直线2x+y=6与两条坐标轴分别相交于点A、B(如图17-3-3所示), 你能求出 △AOB的面积吗?
2.课前热身
在上节课的实践活动中,你们发现了什么现象?
对于直线y=kx+b(k≠0),当k>0,b>0时,直线经过 第一、二、三 象限;当k>0,b <0时,直线经过 第一、三、四 象限;当k<0,b>0时,直线经过 第一、二、四 象限; 当k<0,b<0时,直线经过 第二、三、四 象限.
3.合作探究
(1)整体感知
上节课我们学习了一次函数的图象特征和一次函数图象的画法, 本节课我们将 学习一次函数的图象与坐标轴的交点坐标的求法以及实际问题中一次函数图象的画 法.
(2)四边互动
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例2】求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点,并画出这条直线.
师:(点拨)由于横轴上各点的纵坐标为0,所以我们把横轴的解析式规定为y=0, 同样把纵轴的解析式规定为x=0. 我们知道在函数图象上的点的坐标一定满足函数的 解析式(可以看成方程),即函数图象上一点的坐标是图象方程的一个解, 那么两个函 数图象的交点坐标必定同时满足这两个图象的方程, 说明交点坐标是这两个图象方 程的一个公共解,即交点坐标是两个图象方程构成的方程组的解, 这样我们就把求函 数图象的交点坐标问题转化成解方程组问题.
生:在教师的点拨下动手尝试,然后交流结果,并归纳求函数交点坐标的方法.
明确 解:求直线y=-2x-3与x轴的交点问题可以转化为解方程组, 解方程组得 ,所以直线与x轴的交点为(-1.5,0);同样求得直线与y轴的交点为(0,-3).
过点(-1.5,0)和(0,-3)作直线,如图17-3-4所示,就是直线y=-2x-3的图象. 图17-3-4
由上面的操作归纳可知:求两个函数图象的交点坐标问题, 可以首先联立这两个 函数的方程,通过解方程组来解决问题,求直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点问题, 实际 上是求一次方程kx+b=0的解.
互动2
师:请利用所学知识解答本课开始提出的问题.
生:动手尝试,然后相互交流并在小组之间进行互评.
明确 教师利用多媒体演示解答过程.
解:依题意得,
解方程组得B(3,0),A(0,6),所以OA=6,OB=3,
所以S△AOB=OA·OB=9.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例3】画出问题1中小明距北京的路程s与开车时间t之间函数s=570-95t 的图 象.
师:(点拨)在实际问题中,我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s 轴上分别选 取适当的单位长度,画出平面直角坐标系,如图17-3-5所示.
生:(在课本中)动手尝试,交流画图的结果.
师:利用多媒体演示画出的函数图象(如图17-3-6所示),对照所画的图象, 求小 明离北京的距离是475千米时,汽车行驶了多长时间?
生:动手尝试,举手回答问题.
师:当汽车行驶2-3小时时,汽车离北京的路程在什么范围?
生:分组合作,推选代表回答.
师:对照画出的函数的图象,请作如下的讨论.
讨论:(1)这个函数是不是一次函数?(2)这个函数中自变量t的取值范围是什么 ?函数的图象是什么?(3)在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外, 还有没有其他情形?你能不能找出几个例子加以说明?
生:分组讨论,并推选代表说明本组讨论的结果.
明确 画实际问题的函数图象时应注意以下几个问题:
(1)要根据实际选择合适的单位长度分别作为纵、横轴的单位长度( 两个数轴上 的单位长度可以不一样).
(2)要根据实际确定函数自变量的取值范围, 预测其图象的发展趋势和画图的区 域范围(对于一次函数而言,当自变量的取值范围是一切实数时, 其图象一定要画成 直线;当自变量的取值范围介于某两个实数之间时,其图象是线段, 要画出它的两个 端点;当自变量的取值范围大于或小于某个实数时,其图象是射线, 要画出射线的端 点).
(3)画一次函数图象时,常常选择图象与坐标轴的两个交点来定位.
互动4
师:请同学们解答课本上第48页的练习.
生:独立尝试后和同桌交流.
明确 教师利用多媒体演示操作的过程和结果,验证学生操作结果的正确性.
4.达标反馈
(多媒体演示)
(1)一次函数y=-2x+3的图象经过 第一、二、四 象限.
(2)直线y=kx+b与x轴的交点横坐标就是方程 kx+b=0 的解.
(3)已知一次函数的图象如图17-3-7所示,则 (B)
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
(4)如果直线y=(m-2)x+(m-1)经过第一、二、四象限,则实数m的取值范围是(D)
A.m<2 B.m>1 C.m≠2 D.1(5)汽车由天津驶往相距120千米的北京,它的平均速度是30千米/时, 则汽车距 北京的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的函数关系用图象应为图17-3-8中的(C)
图17-3-8
5.学习小结
(1)内容总结
一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法.
(2)方法归纳
求函数图象的交点坐标问题,一般都可以通过联立图象的方程,解方程组解决.
(三)延伸拓展
1.链接生活
一辆小轿车油箱储油30升,已知耗油量为0.2升/千米.
(1)写出轿车油箱中剩余油量y(升)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系式;
(2)画出这个函数的图象.
2.实践探索
(1)实践活动
画出函数y=2x+1和y=-3x-2的图象,并探究当x增大时,y的值将随着x怎样变化?
(2)巩固练习
课本第52页习题17.3第7题和第9题;第68页复习题第5题.
(四)板书设计:
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数图象与坐标轴交点的求法 │ 投影幕 │
│实际问题中一次函数图象的画法 │ │
└────────────────┴────┘
