数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程 课件（共15张ppt）

(共15张PPT)
3.3.1抛物线及其标准方程
新知探究
问题1：如图，F为定点，l是不过点F的定直线，在平面内如何作点M，使得点M到F的距离等于点M到直线l的距离？
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问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？
建系
设点
列式
化简
检验




推导椭圆、双曲线的标准方程时，采取了
新知探究
思考1：观察抛物线的几何特征，如何建立抛物线的平面直角坐标系？
根据抛物线的几何特征，如图，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系.设.
新知探究
设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为.由抛物线的定义，抛物线是点的集合.
l
因为，，
所以.
将上式两边同时平方并化简，得 ①
新知探究
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
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我们把方程叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线.
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问题：在平面直角坐标系中，类比椭圆、双曲线，抛物线的焦点位置会有些什么情况？要怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程呢？
l
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
抛物线标准方程特征？
等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项.
开口方向与方程有什么关系？
一次项定轴，系数正负定方向.
是焦点到准线的距离
P
习题训练
例1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为；(2)经过点.
解(1)：因为，抛物线的焦点在轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是，准线方程是.
(2)因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，
所以抛物线的标准方程是
习题训练
例2.若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程.
解：由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，
所以动点到的距离与它到直线的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式，而，所以，，故点的轨迹方程为.
例3.某河上有座抛物线拱桥，当水面距拱桥时，水面宽，一木船宽，高，载货后船露在水面上的部分高为，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
习题训练
解：设以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知，点在抛物线(设为水面宽且)，所以，，所以抛物线方程为.
设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于，(与关于轴对称)时，船开始不能通航，设点坐标为，由，得，此时水面与抛物线拱顶相距.
习题训练
例4.一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
习题训练
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在轴上.
设抛物线的标准方程是.由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得，即.
所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是