17.5 实践与探索(第1课时)
一、素质教育目标
(一)知识储备点
1.通过观察函数图象,能够从函数图象中获取信息.
2.理解函数图象交点的意义,能够利用一次函数的图象解方程组、解不等式等.
3.通过收集数据,利用函数图象整理数据,发现函数图象的特征, 猜想函数的相 应名称.
(二)能力培养点
通过创设较深层次的问题情境,激发学生参与探索活动,强化数学建模思想, 提 高学生应用已有知识、灵活处理问题的能力.
(三)情感体验点
学生通过主动参与探究活动,体验在科学发现中获得成功的喜悦,养成不畏困难 勇于开拓和创新的科学态度.
二、教学设想
1.重点、难点
重点:数学建模的思想方法.
难点:选择恰当的函数图象、性质解决问题.
2.课型及基本教学思想
课型:新授课.
教学思路:问题情境──数学建模──解释应用
三、媒体平台
1.教具学具准备
教具:多媒体一台(或投影仪一台).
学具:几何练习簿一本,三角板一副,铅笔,彩笔若干,橡皮一块.
2.多媒体课件撷英
(1)课件资讯
利用Powerpoint制作幻灯片.
(2)素材储备
幻灯片1:问题1.幻灯片2;做一做.幻灯片3:例题.幻灯片4:问题2.幻灯片5:问题 3.
四、课时安排
3课时.
五、教学设计
第1课时
(一)本课目标
1.理解函数图象交点的意义.
2.能够对照函数图象回答提出的问题.
3.会用图象法解二元一次方程组.
(二)教学流程
1.情境导入
教师利用多媒体再次演示以前的幻灯片(课本第39页中“例2”).
请同学们在课本的图17.2.6中找出两个图象的交点坐标, 讨论交流这个交点坐 标的实际意义,并说明小强出发多长时间后超过爷爷.
2.课前热身
回顾:前面,我们已经学习过函数的图象与坐标轴的交点坐标的求法, 你能说说 具体的解题思路和方法吗?(学生讨论交流,举手回答)
3.合作探究
(1)整体感知
从本节课开始,我们将利用三节课的时间,探讨利用已学的函数知识解决简单的 实际问题.本节课,我们着重探讨通过观察函数图象, 解答提出的问题以及用图象法 解二元一次方程组的方法.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片1.
问题1:学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现乙复 印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社 每月收费情况如图所示.
根据图象回答:
(1)乙复印社的每月承包费是多少?
(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?
(3)如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社?
师:请同学们分组讨论下列问题:
(1)“收费相同”在图象上怎样反映出来?
(2)如何在图象上看出复印费的多少(函数值的大小)?
生:在小组内展开交流,各组推选代表发表所在小组的观点.
师:请对照函数图象,独立解答问题1中提出的问题,然后在小组内交流自己的结 论.
生:独立尝试,并在小组内交流自己的结论,反思完善自己的观点.
明确 由图象可知:横轴表示所要复印的页数,纵轴表示复印相应页数收取的费 用;两种“收费相同”是指在复印页数相同的情况下的费用相同,即在两个函数图象 上的横、纵坐标相同──两个图象的交点坐标; 比较两个函数值的大小要看哪个图 象在上方(或下方), 位于上方图象对应部分的函数值比位于下方对应部分的函数值 大.
归纳可知:由函数图象解答问题时,首先要明确横、纵轴表示的含义, 函数图象 的交点坐标表示两个图象上横、纵坐标都相同的点,在横轴上的一定取值范围内,位 于上方图象的函数值要比位于下方图象的函数值大.
一般地,从函数图象上观察得出值是一个估计值,图象画得越准确, 观察得越仔 细,所得的值就越准确.
互动2
师:利用多媒体演示幻灯片2.
联想:我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式.而这两个关系式可以看成关于x、y的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解.
利用图象解方程组:
师:(点拨)由前面探索的经验得出,两个函数图象的交点坐标, 同时满足这两个 图象的方程,表明交点的坐标是联立两个图象方程组成的方程组的解.
由此,你能想像出用图象法解方程组的一般步骤吗?请在讨论的基础上举手回答.
生:讨论交流,逐个举手回答,达成共识.
师:请尝试解答过程,然后同桌交流结果.
生:动手操作,并交流解答的过程和结论.
明确 师生共同归纳解题的过程和结果,教师用多媒体演示.
解:在直角坐标系中画出两条直线,如图所示.
由图象观察可得:两条直线的交点坐标是(2,-1).
所以方程组的解为
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片3.
例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解.
师:第一个方程已是一次函数的形式，第二个方程可化为:.
分别作出两个一次函数的图象，得到它们的交点坐标(-4,1),
即方程组的解为
4.达标反馈
请解答课本第61页练习 第1题 第2题.
(教师在教室里来回巡视,进行必要的指点和帮助)
5.学习小结
(1)内容总结
本节课我们主要学习了哪些知识?
(观察函数图象,解决简单问题;用图象法解二元一次方程组.)
(2)方法归纳
用图象法解二元一次方程组的过程是:首先画出两个函数的图象,再通过观察找 出图象交点的坐标,交点的坐标就是方程组的解.
(三)延伸拓展
1.链接生活
某果农准备把上市的60吨鲜水果从A地运往B地,经过调查得知:从A地到B地有汽 车和火车两种运输工具,两种线路的路程相同,均为s千米.在运输的过程中, 除收取 每吨每小时5元的冷藏费外,其他费用如下表:
┌────┬─────┬──────┬───────┐
│ │行驶速度 │ 运输单价 │ │
│运输工具│(千米/时) │(元/吨.千米)│装卸总费用(元)│
├────┼─────┼──────┼───────┤
│ 汽车 │ 50 │ 2 │ 3000 │
├────┼─────┼──────┼───────┤
│ 火车 │ 80 │ 1.7 │ 4620 │
└────┴─────┴──────┴───────┘
(1)请分别写出利用汽车、火车运输这批水果所要的总费用y1和y2(用含s 式 子表示);
(2)为减少费用,请你帮助该果农设计出使费用较少的运输方案.
2.实践探索
(1)实践活动
课后在相关网站上收集摄氏温度与华氏温度之间相互关系的资料和数据, 并探 究这两种温度之间的函数关系.
(2)巩固练习
课本第64页习题17.5第4题和第5题.
(四)板书设计
课题
观察函数图象,回答提出的问题
用图象法解二元一次方程组
投影幕
17.5 实践与探索(第2课时)
(一)本课目标
1.了解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的相互关系.
2.学会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式.
(二)教学流程
1.情境导入
教师利用多媒体演示课本第60页图17.5.2(上节课的例题图象).
对照图象,请同学们回答下列问题.
(1)当x取何值时,2x-5=-x+1?
(2)当x取何值时,2x-5>-x+1?
(3)当x取何值时,2x-5<-x+1?
2.课前热身
学生展示上节课课后收集的华氏温度与摄氏温度的相关资料和图片, 交流探讨 得出的两种温度之间的函数关系.
3.合作探究
(1)整体感知
上节课我们学习了通过观察一次函数的图象, 回答提出的问题和用图象法解一 元一次方程组的方法,本节课我们将着重探讨一次函数与一元一次方程、 一元一次 不等式之间的联系.
(2)四边互动.
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片4.
问题2:画出函数y=x+3的图象,根据图象,指出:(1)x取什么值时,函数值y 等于 零?(2)x取什么值时,函数值y始终大于零?
生:动手操作,讨论交流解答的结果.
师:由问题2,想想看,一元一次方程x+3=0的解,不等式 x+3>0 的解集与函数y= x+3的图象有什么关系?说说你的想法,并和同学讨论交流.
生:分组讨论交流后,再在全班展开交流,让全体同学达成共识.
明确 教师利用多媒体演示画出的函数图象,如图所示.由图象可知: 当 x=-2时,函数值等于零;当x>-2时,函数值始终大于零.
归纳可得:从“数”的角度来看,一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值是0时,对应的 x的值就是一元一次方程kx+b=0的解;当一次函数y=kx+b的值大于0时,对应部分x 的 取值的集合,就是不等式kx+b>0的解集;当一次函数y=kx+b的值小于0时, 对应部分x 的取值的集合,就是不等式kx+b<0的解集.
从“形”的角度看,直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解 ;直线y=kx+b位于x轴上方部分对应的x的值的集合,就是不等式kx+b>0的解集; 直线 y=kx+b位于x轴下方部分对应的x的值的集合,就是不等式kx+b<0的解集.
互动2
师:在合作交流的基础上,请同学们从“数”和“形”的不同角度, 概括归纳本 节课开始提出的问题.
生:讨论交流,达成共识.
明确 从“数”的角度来看,当一次函数y=2x-5和y=-x+1的函数值相等时,对应 的x的值就是方程2x-5=-x+1的解;当一次函数y=2x-5的函数值大于y=-x+1 的函数值 时,对应的x的值的集合就是不等式2x-5>-x+1的解集;当一次函数y=2x-5的函数值小 于y=-x+1的函数值时,对应的x的值的集合就是不等式2x-5<-x+1的解集.
从“形”的角度来看,直线y=2x-5和y=-x+1的交点的横坐标,就是方程2x-5=-x +1的解;直线y=2x-5位于直线y=-x+1上方部分对应的x的值的集合,就是不等式2x-5 >-x+1的解集;直线y=2x-5位于直线y=-x+1下方部分对应的x的值的集合,就是不等式 2x-5<-x+1的解集.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
画出函数y=-2x+2的图象,观察图象并回答问题.
(1)确定当0(2)确定当-1≤x<1时,对应的函数值的取值范围.
生:动手画图,并回答问题,然后与相邻的四位同学交流讨论,再举手回答问题.
明确 教师利用多媒体演示解答的过程和结果,验证学生的结论.
依题意画出的函数图象如图所示,由图象观察可知:
当04.达标反馈
请解答课本第62页练习 第1题和第2题.
(教师在教室里来回巡视,进行必要的指点和帮助)
5.学习小结
(1)内容总结
本课我们主要学习了哪些内容?
(一次函数与一元一次方程和不等式的关系;用图象法解一元一次方程和不等式)
(2)方法归纳
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式可以相互转化, 利用一次函数的图 象可以解决一元一次方程或不等式问题, 有时也可以利用一元一次方程或不等式解 决一次函数问题.
(三)延伸拓展
1.链接生活
如图所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A( -2,1),B(1,n).
①根据条件,求一次函数与反比例函数的解析式;
②根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围.
答案:①y=-x-1,y=-, ②x<-2
2.实践探索
(1)实践活动
自编一道利用一次函数图象解决一元一次方程与一元一次不等式的题目.
(2)巩固练习
课本第64页习题17.5第1-3题.
(四)板书设计
课题
一次函数与一次方程、一次不等式的关系
用图形法解一次方程和一次不等式
投影幕
17.5 实践与探索(第3课时)
(一)本课目标
1.通过描点,拟合变量之间的函数关系,导出函数的关系式, 从中体会实际问题 中的数学建模思想.
2.了解收集数据、用描点法整理数据是猜想函数名称、利用所得函数性质解决 问题的基本思想方法.
(二)教学流程
1.情境导入
(利用多媒体演示幻灯片)
王莉同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时, 通过调 查获得下表数据:
x(厘米)
23
25.5
23.5
26
24.5
……
y(码)
36
41
37
42
39
……
(1)根据表中提供的信息,你能猜想出y与x之间的函数关系式吗?
(2)问43码的鞋相当于多少厘米的鞋?
2.课前热身
(1)用描点法画函数图象,一般分成哪几个步骤?
(2)一次函数、反比例函数的图象分别具有什么特征?
3.合作探究
(1)整体感知
为了解决上述问题,本节课我们将着重探讨通过描点,探究出函数图象的特征, 根据函数图象的特征拟合函数变量之间的关系,然后利用这个函数关系解决问题.
(2)四边互动
师:利用多媒体演示幻灯片5.
问题3:为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这 种合金制成的圆球测得相关数据如下:
t(℃)
-40
-20
-10
0
10
20
40
60
V(cm3)
998.3
999.2
999.6
1000
1 000.3
1 000.7
1 001.6
1 002.3
能否据此求出V和t的函数关系?
分析:将这些数值所对应的点在坐标系中描出.我们发现, 这些点大致位于一条 直线上,可知V和t近似地符合一次函数关系.我们可以用一条直线去尽可能地与这些 点相符合,求出近似的函数关系式.如图所示的就是一条这样的直线, 较近似 的点应该是(10,1000.3)和(60,1002.3),这样我们就可以求出这个函数的解析式.也 可以将直线稍稍挪动一下,不敢这两点,换上更适当的两点.请你自己试一试,再和同 学讨论、交流.
生:动手尝试,并交流操作和解答的结论.
师:从上述的操作中,你受到哪些启发?有哪些体会?请和同学们交流一下你的观 点.
明确 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式. 但是现实 生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地 判断它们是什么函数,需要我们根据经验分析,也需要进行近似计算和修正, 建立比 较接近的函数关系式进行研究.常用的方法是:把实践或调查中得到的一些变量的值 ,通过描点得出函数的近似图象,再根据画出的图象的特征,猜想相应的函数名称,然 后利用待定系数法求出函数关系式.
互动2
师:根据上述解决问题的方法,请探究本课开始提出的问题中隐含的函数关系式 ,并解答提出的问题,然后在小组内展开交流,比一比,看谁解答得最好.
生:经过独立尝试后,在小组内展开交流,并对自己的解题方法和思路进行反思 ,逐渐形成正确的观念,纳入个人的认知结构中.
明确 教师利用多媒体演示解答的过程和结果.
把x和y的对应值分别作为点的横、纵坐标,在坐标系中描出表格中的各点,画出 近似图象(如图所示).
图象可以近似地看成直线,且点(23,36)和点(26,42)在 图象上,由待定系数法求得的函数解析式为:y=2x-10.当y=43时,x=26.5,表明43码的 鞋与26.5厘米的鞋大小一样.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
小明在做电学实验时,电路图如图所示.
在保持电源不变的情况下, 改换 不同的电阻R,并用电流表测量出通过不同电阻的电流I,记录结果如下:
电阻R(欧姆)
2
4
6
8
10
12
电流I(安培)
6
3
2
1.5
1.2
1
(1)建立适当的平面直角坐标系,在坐标系中描出表格中的各点, 并画出该函数 的近似图象;
(2)观察图象,猜想I与R之间的函数关系,并求出函数解析式;
(3)小明将一个未知电阻值的电阻串联到电路中,查得电流表的度数为0.5安培 ,你知道这个电阻的电阻值吗?
请同学们独立解答问题,然后在小组内交流解答的结果,看谁解答得又对又快?
生:动手操作,再在小组内展开交流,并进行相互评价.
明确 教师利用多媒体演示解答的结果,验证同学们得出的结论.
用描点法画出表格中的各点,可得函数的近似图象(如图所示), 由近似 图象可知,是反比例函数,且用待定系数法求得函数解析式为I=,当I=0.5时,R=24.
4.达标反馈
请同学们先独立探究课本中练习提出的问题, 然后在相邻的四位同学中进行交 流,统一结论后举手回答问题.
教师利用多媒体演示正确的解题过程和结果,验证同学们的操作结论.
5.学习小结
(1)内容总结
通过本节课的学习,同学们学到了哪些知识?
(2)方法归纳
在实验或调查的基础上获得数据后,常常用描点的方法整理数据,再画出函数的 近似图象,从而由图象的特征猜想函数关系,然后解答问题.
(三)延伸拓展
1.链接生活
某商店在售货时,在进价的基础上加上一定的利润.其数量x(千克)与售价y(元 )的关系如下表所示,请你根据表中提供的信息,探究出y与x之间的函数关系式,并求 出当售价为65元时,售出该物品的数量.
数量x(千克)
1
2
3
4
5
…
售价y(元)
6+0.5
12+1.0
18+1.5
24+2.0
30+2.5
…
2.实践探索
(1)实践活动
在网站收集有关一定质量的气体,其密度随体积变化的相关数据,并探究出密度 与体积之间关系的函数关系式.
(2)巩固练习
课本第69页复习题第8题.
(四)板书设计
课题
探究函数关系式一般方法
收集数据──描点──猜想函数关系式──解决问题
投影幕
