第17章 函数及其图象
一、素质教育目标
(一)知识储备点
1.了解本章的知识结构.
2.了解直角坐标系、函数、函数图象的意义.
3.掌握一次函数、正比例函数和反比例函数的意义及其图象特征和性质.
4.学会利用一次函数和反比例函数的图象和性质解决简单的实际问题.
(二)能力培养点
通过观察、实验、归纳等探究过程,逐渐培养学生数学建模的思路;体验数形结 合是发现问题、提出问题和解决问题的常用数学思想方法.
(三)情感体验点
学生在探究问题的过程中,体验成功的乐趣,养成与人交流合作和学习反思的习 惯.
二、教学设想
1.重点、难点
重点:一次函数、反比例函数的图象特征及其性质.
难点:利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题.
2.课型及基本教学思路
课型:复习课.
教学思路:知识梳理──习题选讲──训练巩固──应用提高.
三、媒体平台
1.教具学具准备
多媒体一台,投影仪一台,胶片若干;三角板一副,几何练习簿一本,铅笔、 橡皮 等.
2.多媒体课件撷英
(1)课件资讯
利用Powerpoint制作幻灯片.
(2)素材储备
幻灯片1:本章知识结构框图;幻灯片2:坐标系中特殊点的坐标的特征;幻灯片3 :几个函数的归类表;幻灯片4:训练题1;幻灯片5:达标反馈1;幻灯片6:训练题2(函数 解析式的求法);幻灯片7:训练题3(由图象解方程、不等式);幻灯片8:训练题4(利用 函数解决问题);幻灯片9:达标反馈2.
四、课时安排
2课时
五、教学设计
第1课时
(一)本课目标
1.了解本章的知识结构体系.
2.了解平面直角坐标系的意义,了解坐标轴上点、象限点、对称点的坐标特征.
3.了解一次函数(正比例函数)和反比例函数的意义,掌握一次函数、反比例函数的图象特征和性质.
(二)教学流程
1.复习导入
通过本章的学习,你学到了哪些主要知识?请简单地告诉我和同学们.
2.课前热身
学生在讨论交流的基础上,概括归纳本章所学的主要内容.
3.合作探究
(1)整体感知
本节课我们主要复习的内容可分为以下三个部分:
第一部分:本章主要知识体系.
第二部分:坐标系中特殊点的坐标的特征.
第三部分:一次函数、反比例函数的概念、图象及其性质.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片1(不显示各个方框内的文字), 请同学们概括归纳本 章学习的主要知识结构,并在各个方框内填上适当的文字内容.
生:独立尝试,在小组内展开交流,然后举手回答.
明确 教师逐个点击方框,显示方框内容,验证学生回答的结论.
互动2
师:利用多媒体演示幻灯片2,请同学们归纳坐标系中点的坐标的主要特征.
(1)坐标轴上的点的坐标具有怎样的特征?
(2)象限内的点的坐标具有怎样的特征?
(3)关于x轴对称的两点的坐标具有怎样的特征?关于y轴、坐标系原点对称的两 点呢?
生:逐个举手回答,不断补充完善.
明确 教师利用幻灯片演示结果,验证学生回答的结论.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片3(只显示表格的第一行和第一列文字).
函数名称
表达形式
图象特点
主要性质
一次函数
y=kx+b(k≠0)
不与坐标轴平行的直线
当k>0时,随x的增大而增大;当k<0时,
随x的增大而减小
正比例函数
y=kx(k≠0)
经过坐标系原点的直线
反比例函数
y= (k≠0)
双曲线
(在同一个象限内)
与一次函数性质相
反
生:讨论交流,完成表格中的空格.
明确 教师利用多媒体演示:逐个点击表格中的空格,显示空格中的内容, 验证 学生操作的结果.
互动4
师:请同学们在讨论的基础上,概括归纳出如何确定函数的自变量的取值范围. 并各举一例加以说明.
生:讨论交流,举手回答,不断补充完善,达成共识.
明确 师生共同归纳可得:当函数是自变量的整式时,函数自变量的取值范围是 一切实数;当函数是自变量的分式(分母中含有自变量)时,必须使分母不为零; 当函 数是自变量的二次根式时,被开方数必须是非负数;在实际问题中, 必须使实际有意 义.
互动5
师:利用多媒体演示幻灯片4.
(1)若一次函数y=mx+2x-2中y随x的增大而增大,求m的取值范围.
答案:m>-2.
(2)已知正比例函数y=kx中y随x的增大而减小,确定一次函数y=x-k 的图象所经 过的象限;
答案:经过第一、三、四象限.
(3)长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定, 则需要购买行李票,已知行李费用y(元)是行李重量x(千克)的一次函数,其图象如图所示,则y与x之间的函数关系式是 y=旅客可免费携带行李的重量范围 是 不超过30千克.
(4)如图所示,已知直线y=kx+b与坐标轴相交于点A、B,且与双曲线y=在 第一象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.求
①点A、B、D的坐标;
②一次函数与反比例函数的解析式.
答案:①A(-1,0),B(0,1),D(1,0) ②y=x+1,y=.
生:独立尝试后,和同学交流讨论.
明确 教师利用多媒体演示各题的解答过程和结果,验证学生操作的结果.
求一次函数的解析式需要知道两点的坐标, 求正比例和反比例函数的解析式只 要知道一点的坐标,但不能是原点坐标.
4.达标反馈
(多媒体演示幻灯片5)
(1)函数y=kx,y= (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是图中的(B)
(2)直线y=kx+b经过点A(1,2),B(-1,-4),判断点C(2,5)是否在直线AB上,说明你 的理由.
答案:点C在直线AB上,直线的解析式为y=3x-1,当x=2时y=5,故点(2,5)是直线y =3x-1上的点,则C在直线AB上.
5.学习小结
(1)内容总结
请同学们回顾一下,本节课我们主要复习了哪些内容?
(本章知识结构体系;坐标系的相关知识;三个常见函数的图形和性质)
(2)方法归纳
正确地理解和掌握函数的一般表达形式、函数图形特征和函数的性质是我们解 决函数问题的关键.
(三)延伸拓展
1.链接生活
某次飞机表演,起飞后匀速2分钟到达500米高空,在原地5 分钟完成规定的盘旋 、翻转表演动作,然后用3分钟的时间匀速着陆. 请选择适当的知识表示自飞机起飞 到着陆过程中,飞机飞行的高度(米)与飞行时间(分)之间的关系.
(提示:用图象法表示)
2.实践探索
(1)实践活动
请同学们课后根据个人的实际,撰写一篇关于本章知识学习的心得体会.
(2)巩固练习
课本复习题第1题(在课本上写出选择的结果)第2题、第3题、第5题.
(四)板书设计
课题
一次函数图象与坐标轴交点的求法
实际问题中一次函数图象的画法
投影幕
第17章 函数及其图象
(一)本课目标
1.会用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式.
2.能利用一次函数、反比例函数的图象及其性质解决简单的实际问题.
3.理解一次函数、一元一次方程及一元一次不等式之间的关系.
(二)教学流程
1.复习导入
通常情况下,我们可以用什么方法求函数的解析式?一次函数、一元一次方程和 一元一次不等式之间存在怎样的关系?利用函数的知识解决简单问题,你已经获得了 哪些经验?
2.课前热身
交流上节课在“链接生活”与“实践活动”中所布置的内容.
3.合作探究
(1)整体感知
本节课我们着重复习以下三个方面的知识:
第一部分:一次函数(包括正比例函数)、反比例函数解析式的求法.
第二部分:一次函数、一次方程和一次不等式之间的关系.
第三部分:利用上述三个函数解决具体问题.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片6.
已知直线AB经过坐标系原点和点(1,-2)求:
(1)把直线AB向下平移3个单位的直线CD的解析式;
(2)把直线CD向左平移2个单位的直线EF的解析式;
(3)直线EF关于x轴对称的直线GH的解析式.
师:(点拨)把原点O(0,0)和A(1,-2)同时向下平移3个单位的对应点C、D 的坐标 分别是什么?把点C、D向左平移2个单位所得对应点E、F的坐标是什么?点E、F 关于 x轴对称的点G、H的坐标是什么?求直线的解析式需要知道直线上几点的坐标?
生:在教师的点拨下,动手尝试,并相互交流解题思路和解题结果.
明确 求直线的解析式需要知道直线上两个不同点的坐标, 然后用待定系数法 求出直线的解析式.对于几何变换(直线的平移、旋转、对称) 后的直线解析式的求 法,首先要在原图形上找出两个点的坐标,再求出这两个点经过变换后的对应的两个 点的坐标,然后应用待定系数法求变换后的直线的解析式.
互动2
师:利用多媒体演示幻灯片7.
画出函数y=-2x+4的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)方程-2x+4=0的解是 x=2;
(2)不等式-2x+4≥0的解集是 x≤2;
(3)当-2≤y<2时,x的取值范围是 1(4)当-1生:独立尝试画图,解答问题,再与相邻的四个同学交流.
师:点击画图的结果(如图所示),再逐个点击空格,验证学生的解答结果.
明确 对于一次函数y=kx+b(k≠0)而言,一元一次方程kx+b=0的解,就是一次函 数图象与x轴交点的横坐标;不等式kx+b>0的解集,就是图象位于x轴上方部分对应的 x取值范围;不等式kx+b<0的解集,就是图象位于x轴下方部分对应的x取值范围;由函 数值y的取值范围确定自变量x的取值范围的方法是:首先在纵轴上找到的y取值区域 ,映射到图象上的对应区域,再在横轴上找到对应的映射区域,从而确定x的取值范围 ;由自变量x的取值范围确定函数值y的取值范围的方法雷同.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片8.
春天是万物复苏的季节,同时也是疾病传播的猖獗时期.为了预防疾病, 某学校 对学生宿舍每周进行一次药熏消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气 中含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图 所示).现测得药物8分钟燃烧完结,此时室内空气中每立方米含药量为6毫克.请根据 题中提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为 y=0.75x,自变量的取值范围是 0≤x≤ 8;药物燃烧后,y关于x的函数关系式为;
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进宿舍,那么 从消毒开始,至少需要经过 30 分钟后,学生才能回到宿舍.
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续的时间不低于10 分钟时,才能有效杀死空气中的病毒,那么此次消毒是否有效?为什么?
答案:含药量不低于3毫克的时长为12分钟,因此此次消毒有效.
生:合作探究,并解答问题.
师:逐个点击空格,验证学生解答的结果.
明确 师生共同归纳解题思路,解题策略,并利用多媒体展示解题的过程和结果.
(1)由图象可知(燃烧过程中):线段AB经过坐标系原点, 因此可设其解析式为y =kx,由于点A(8,6),在图象上,得k==0.75,所以线段AB解析式为y=0.75x.
(2)由于燃烧后,y1与y2成反比,因此可设其解析式为y1= ,因为点A(8,6)在双曲 线上,得k1=48,所以双曲线的解析式为y1= ,当y1≤1.6时, ≤1.6得x≥30,因此, 学 生在燃烧药物后30分钟,才能回到宿舍.
(3)空气中每立方米的含药量不低于3毫克,包含两个过程,即药物燃烧过程和燃 烧后含药量逐渐消失的过程,含药量不低于3毫克的时间应该是这两个时间的差. 在 燃烧的过程中,有0.75x≥3,得x≥4;在燃烧后的过程中,有≤3,得x≤16; 时间差为 12分钟.
4.达标反馈
(多媒体演示幻灯片9)
某单位在“五．一”期间,组织36名员工到黄山旅游,可租用的小车有两种: 一 种每辆可坐8人,另一种每辆可坐4人,要求租用的小车不留空位,也不超载.
①请你设计出不同的租车方案(至少三种);
②若8人座的车每辆租金是300元/天,4人座的车每辆租金是200元/天,请你设计 出费用最小用的租车方案,并说明理由.
(设租用4人座的小车x辆,8人座的y辆,则4x+8y=36,且x、y均为自然数,由y8 ≤ 36得y≤4,由此得出租车共有5种方案:9,0;7,1;5,2;3,3;1,4.设租车总费用为w(元), 则w=300y+200x=300y+200(9-2y)=-100y+1800,由于w随y的增大而减小,所以当y值取 大值4时,费用最少,费用最小为1400元).
5.学习小结
(1)内容总结
本节课我们复习的内容主要有三个部分:
第一部分内容是函数图象经过几何变换后的函数解析式的求法:
第二部分内容是利用一次函数的图象解一元一次方程或不等式问题;
第三部分内容是利用函数的图象或性质解决简单的实际问题.
(2)方法归纳
利用函数知识解决简单问题的关键是我们在认识问题本质的基础上构建相应的 函数模型,然后利用相应函数的图形和性质解决问题.
(三)延伸拓展
1.链接生活
某果农准备把上市的60吨鲜水果从A地运往B地,经过调查得知:从A地到B地有汽 车和火车两种运输工具,两种线路的路程相同,均为s千米.在运输的过程中, 除收取 每吨每小时5元的冷藏费外,其他费用如下表:
运输工具
行驶速度(千米/时)
运输单价(元/吨.千米)
装卸总费用(元)
汽车
50
2
3000
火车
80
1.7
4620
(1)请分别写出利用汽车、火车运输这批水果所要的总费用y1和y2(用含s 的式 子表示);
(2)为减少费用,请你帮助该果农设计出使费用较少的运输方案.
2.实践探索
(1)实践活动
在网站上查找利用一次函数或反比例函数解决问题的素材,并尝试解决问题.
(2)巩固练习
课本复习题第12、14和15题.
(四)板书设计
课题
求几何变换后的函数解析式
利用一次函数的图象解一元一次方程或不等式
利用函数解决简单的实际问题
投影幕
