数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及其应用 课件（共22张ppt）

(共22张PPT)
4.2.1 等差数列的性质及应用
第四章 数列
高二数学 选择性必修 第二册
一、复习回顾
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
1.等差数列的定义
2.等差中项的定义
4.等差数列的函数特征
3.等差数列的通项公式
2A=a+b
问题1. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}.
(1)求数列{} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
追问1：求数列的通项公式需要知道哪些量？
追问3：如何确定数列{}的公差？
追问2：a2对应数列{}的第几项？
首项，公差
第5项
a1
a2
b1
b2
b3
b4
b5
二、合作探究
问题1.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
l
解(1)：设数列的公差为.
由题意可知，，，于是
∵，所以，∴.
∴.
所以，数列的通项公式是.
二、合作探究
解：设数列的公差为.
由题意可知，，，于是
∵，所以，∴.
二、合作探究
追问4：如果在每相邻两项之间插入k（k∈N*）个数，那么数列
问题1. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2，在{an} 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}.
(1)求数列{} 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
追问4：数列{}中的项是数列{}的哪些项？
a1
a2
b1
b2
b3
b4
b5
a3
a4
b6
b7
b8
b9
b10
b11
b12
b13
数列{}的各项，依次是数列{}的第1,5,9,13, 项
构建新数列{}
二、合作探究
问题1.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列.
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
l
解(2)：[解法一]数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令解得
所以，是数列的第8项.
解(2)：[解法二]∵令，
解得所以，是数列的第8项.
二、合作探究
归纳总结
等差数列的性质
（1）如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.
（2）在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
即：若 是等差数列，公差为 ，则 ， ， ， 是公差为 的等差数列．
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
二、合作探究
问题2：已知等差数列 的通项公式=3n-2 ， 分别求+ ， + 和 .
追问1：三组和相等的项它们角标满足什么关系？
追问2：你能写出这个结论的一般形式并证明吗？
二、合作探究
证明：
反例： 常数列
二、合作探究
等差数列一些常见的性质
（1）通项公式的推广公式： ．
（2）若 为等差数列，且 ，则 ．
(3)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
新知生成
三、例题讲解
例1（1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
三、例题讲解
例1（1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
三、例题讲解
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
三、例题讲解
例2 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数．
三、例题讲解
（法三）设这四个数分别为 ， ， ， ，根据题意，
得
化简得 解得
∴这四个数分别为2, , , 或 , , , .
方法总结
等差数列项的常见设法：
（1）通项法.
（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，没经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围.
l
解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.
由已知条件，得
由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是
三、例题讲解
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，没经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围.
l
解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.
由已知条件，得
由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是
三、例题讲解
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题.
1.等差数列有哪些性质？
性质1 an =a1+(n-1)d
性质2 d=
性质3 an =am+(n-m)d
性质4 d=
性质5 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
性质6 m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
2.推导等差数列的性质的关键是什么？
3.本节课你学到了哪些数学思想方法？
五、课堂小结
六、课后作业
设，都是等差数列，公差分别为2.
（1）是否为等差数列？若是，请证明你的结论？
（2）设，的公差都等于2，且有的通项公式。
THANKS