2023-2024学年北师大版九年级数学上册课件第4 章图形的相似 （45张PPT）

(共45张PPT)
第四章 图形的相似
类型一 设比例系数解决比例问题
例1 已知三条线段 , , 满足 ，且 ，求
的值．
【点拨】设比例式等于 ,根据比例的基本性质分别用 表示出 ,
, ，构造方程即可求解.
知识讲解
【解】设 ，
则 , , .
由 可得，
.
解得 .
， ， .
．
方法归纳
解答这类题时，通常用设 法，将未知字母转化为用同一个字母 表示的式子，再根据题中的条件求解即可.
类型二 相似三角形的判定与性质
例2 如图，在正方形 中， 为 边上
的一点，点 是 的中点， ，垂足
为 ，交 的延长线于点 ，交 于点 ．
（1） 求证： .
（2） 若 ， ，求 的长．
【点拨】（1）由正方形的性质得出 ， ， ，进而得出 ，再由 ，即可得出结论.
（2）先由勾股定理求出 的长，再由 列出比例式，求出 ，即可得到 的长．
（1） 求证： .
【解】证明： 四边形 是正方形，
， ， .
.
又 ， .
.
.
（2） 若 ， ，求 的长．
解： ， ， ，
， .
点 是 的中点，
.
，
，即 .
.
．
方法归纳
由两个角分别相等判定三角形相似是所有相似三角形判定方法中最常见的方法，应用时关键是找准对应角.一般地，公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、折叠角都是相等的，解题时应注意挖掘题中的条件.判定三角形相似的基本思路：一是条件中若有一对等角，可再找一对等角，或推出这对等角的两组对应边成比例；二是条件中若有两组对应边成比例，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边成比例．
类型三 网格中的位似作图
例3 如图，在 的网格中每个小正方形
的边长都是 与 是以点 为位
似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形
的顶点上.
（1） 在图中画出位似中心 ；（要求保留画
图痕迹）
（2） 与 的相似比是________；
（3） 请在此网格中，以点 为位似中心，画出 ，使它与
的相似比等于2.
【点拨】位似图形中对应点的连线交于位似中心，利用这一性质只要用直尺把位似图形中的对应顶点连线的交点找出来，即可找到位似中心，进而借助相似比解决问题.
（1） 在图中画出位似中心 ；（要求保留画图痕迹）
【解】连接对应点，并延长，交点
即为点 .
（2） 与 的相似比是_ _；

[解析] ， ，
.
与 的相似比是 .
故填 .
（3） 请在此网格中，以点 为位似中心，画出 ，使它与
的相似比等于2.
[答案] 如图所示.
方法归纳
本题考查了位似中心的确定及位似图形的画法.画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，顺次连接上述各点，即可得到放大或缩小后的图形.
类型四 相似的实际应用
例4 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在
河的南岸边每隔 有一棵树，在河的北岸边
每隔 有一根电线杆.小丽站在离南岸边
的点 处看北岸，发现北岸相邻的两根
电线杆恰好被南岸的两棵树遮住了，并且在这
两棵树之间还有四棵树，求河的宽度．
【点拨】过点 作河岸的垂线，根据相似三角形的对应高线的比等于相似比可解决问题．
【解】 过点 作 ，交 于点 ，交
于点 ，如图．
设河的宽度为 .
河的两岸这一段是
平行的，
.
，即 . ．
河的宽度为 ．
方法归纳
利用相似三角形的知识解决生活中的高度、距离等测量问题时，应先添加适当的辅助线构造相似三角形，再运用相似三角形的性质列式求解.常常可利用物高与影长成比例、标杆、镜子反射等方法来构造相似三角形.
易错示例1 如图，在 中， ， 与
， 分别相交于点 ， .若 ，
， ，则 _ __.

【错解】
【错因分析】没有理解平行线分线段成比例定
理，把对应线段的比看成了 ，从而导致错解.
易错示例2 如图，在 中， 为
上一点，连接 ， ，且 ， 相交
于点 .若 ， ，则
的面积为____.
50
【错解】20
【错因分析】没有理解相似三角形的性质，把相似三角形的面积比等于相似比的平方错记成了相似三角形的面积比等于相似比.
易错示例3 如图，在 中， ,
.点 从点 出发沿 向点 以
的速度运动，同时点 从点 出发沿
向点 以 的速度运动．则_______
后， 与 相似.
0.8或2
【错解】2
【错因分析】在考虑相似时没有考虑有两种情况，即
和 ，从而导致漏解.
（第1题图）
1.如图， ，若 ，则 的值是
( )
B
A. B.2 C. D.3
课堂练习
2.已知 ，且 ，则 ____．
22
（第3题图）
3.五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，
， 为线段 的黄金分割点， ，则五
边形 的周长为_ __________．

（第4题图）
4.如图，在 与 中，
， ，连
接 ， .若 ，则
_ ____．

（第5题图）
5.如图，在 中，点 ， 分别在边
， 上，且 ，
，直线 和 的延长线相
交于点 ，则 _ ____．

6.在如图所示的网格中，以点 为位似中心，
四边形 的位似图形是( )
A
A.四边形 B.四边形
C.四边形 D.四边形
（第7题图）
7.《九章算术》是中国古代的数学专著.书
中记载了这样一个问题：“今有勾五步，
股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：
如图， 的两条直角边的长分别
为5和12，则它的内接正方形 （点
B
A. B. C. D.
， ， 分别在 ， ， 上）的边长为( )
（第8题图）
8.如图，在平面直角坐标系中， 与 是
以点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
点 在 轴上.若点 的坐标是 ，点 的坐标
是 ，则点 的坐标是_ _____.

9.如图，已知 ，
， ，当 _ _____时，图
中的两个直角三角形相似．
或8
10.如图，在 和 中，
， 是公共边，且
，过点 作 交 于点
．连接 交 于点 ．
（1） 求证： .
（2） 若 ， ，求 的长．
（1） 求证： .
证明： ，
，
.
.
.
（2） 若 ， ，求 的长．
解： ， ，
， .
.
.
又 ， .
.
，且 ， ，
.
.
在 中， .
.
，
.
.又 ，
.
11.如图，在正方形 中，点 在边 上，且
， 与 相交于点 ．
（1） 当 时，求 的长．
（2） 如果 ,求四边形 的面积．
（1） 当 时，求 的长．
解： 四边形 是正方形，
， .
.
.
， ，
.
.
， 是正方形 的对角线，
.
又 ，
.
（2） 如果 ,求四边形 的面积．
[答案] 由（1）得 ，且
，
.
.
又 ，
.
.
.
.
谢谢