新人教B版必修第三册高中数学综合测评（含解析）

综合测评
时间：120分钟　　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若角α的始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1，y0)，则下列三角函数值恒为正的是(　　)
A．sin α B．cos α C．tan α D．sin (π＋α)
2．已知sin x＝，则cos 2x的值为(　　)
A． B． C． D．
3．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A．(－，－) B．(6，－8) C．(，－) D．(6，8)
4．要得到y＝sin (2x－)的图象，只需将y＝2sin x cos x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．在直角坐标系 xOy 中， α，β 的顶点与坐标原点重合， 始边与 x 轴正半轴重合， 终边与单位圆 O的交点分别为 A，B, 则 ·＝(　　)
A．cos (α＋β) B．cos (α－β) C．cos (2α－β) D．cos (α－2β)
6．下列函数中，周期为1的奇函数是(　　)
A．y＝1－2sin2πx B．y＝sin(2πx＋)
C．y＝tan x D．y＝sin πx cos πx
7．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos 15°＋sin 15°，cos 15°－sin 15°)，则tan α＝(　　)
A．2－ B．2＋ C． D．
8．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f()＝(　　)
A. B．－ C． D．－
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列命题中，正确的是(　　)
A．若k∈R，且kb＝0，则k＝0或b＝0
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．若不平行的两个非零向量a，b，满足|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝0
D．若a与b平行，则a·b＝|a|·|b|
10．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是(　　)
A.f(0)＝
B．在区间[－，0]上单调递增
C．f(x)的图象关于(，0)中心对称
D．将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
11．设函数f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在区间(0，)上单调递增
C．f(x)的最大值为2 D．f(x)的图象关于点(，0)对称
12．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知tan ＝sin C，则下列论断正确的是(　　)
A．tan A·＝1 B．1C．sin2A＋cos2B＝1 D．cos2A＋cos2B＝sin2C
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知某扇形的周长是8cm，面积为4 cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是________．
14．已知点p(m，2m)(m≠0)是角α终边上任一点，则cos 2α＋1＝________．
15．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
16.
如图，摩天轮的半径为50 m, 圆心O距地面的高度为60 m. 已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15 min转动一圈. 游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱. 游客进入摩天轮的舱位，开始转动5 min后，他距离地面的高度为________ m．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，k).
(1)若a∥b，求|b| 的值；
(2)若a⊥(a＋2b)，求实数k的值；
(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18．(12分)已知sin α＝，且α是第二象限角．
(1)求cos α的值；
(2)求·的值．
19．(12分)已知0<α<，cos α＝.
(1)求tan (α＋)的值；
(2)若0<β<且cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝sin cos －sin2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
21．(12分)已知函数f(x)＝cos2(x＋)，g(x)＝1＋sin2x.
(1)设直线x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
22．(12分)已知向量a＝(1，－)，b＝(sin x，2cos2－1)，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
综合测评
1．答案：B
解析：∵角α的终边经过点(1，y0)，∴x＝1，y＝y0，r＝，故cosα＝＝>0，而sinα＝＝，正负号不确定，tanα＝＝y0，正负号不确定，sin (π＋α)＝－sinα＝－，正负号不确定，故选B.
2．答案：A
解析：因为sinx＝，
所以cos2x＝1－2sin2x＝1－2×()2＝.故选A.
3．答案：B
解析：设b＝(－3a，4a)，a<0，
|b|＝＝10，解得a＝－2，
所以b＝(6，－8).故选B.
4．答案：B
解析：y＝2sinxcosx＝sin2x，而y＝sin (2x－)＝sin [2(x－)]，所以y＝sin2x的图象向右平移个单位后得到y＝sin [2(x－)]＝sin (2x－)的图象，即y＝2sinxcosx的图象向右平移个单位后得到y＝sin (2x－)的图象，故选B.
5．答案：B
解析：
如图所示，∠AOx＝∠α，∠BOx＝∠β，
因为A，B两点在单位圆上，所以A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，
所以＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)，
所以·＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos (α－β).故选B.
6．答案：D
解析：A中，y＝1－2sin2πx＝cos2πx，为偶函数，T＝1；B中，y＝sin (2πx＋)为非奇非偶函数；C中，y＝tanx的周期为2；D中，y＝sinπxcosπx＝sin2πx，为奇函数且T＝＝1.故选D.
7．答案：C
解析：由正切函数的定义得tanα＝＝＝＝tan (45°－15°)＝.故选C.
8．答案：B
解析：由＝－，可得＝，解之得ω＝3.
由3×＋φ＝，可得φ＝－.
又图象过点(，－)，则Acos (3×－)＝－，解之得A＝1，
则f(x)＝cos (3x－)，则f()＝cos (3×－)＝cos＝－，故选B.
9．答案：AC
解析：对于A，根据数乘运算的定义，正确；
对于B，当a⊥b时，a·b＝0亦成立，错误；
对于C，若不平行的两个非零向量a，b，满足|a|＝|b|，则由向量加减法运算的几何意义得a＋b与a－b是以非零向量a，b为邻边的菱形的对角线，故(a＋b)⊥(a－b)，即(a＋b)·(a－b)＝0，故正确；
对于D，当a与b平行且反向时，a·b＝－|a|·|b|，故错误．故选AC.
10．答案：ACD
解析：由图可知A＝2，T＝·＝－(－)＝π，解得ω＝2，
由五点作图法可得2×(－)＋φ＝0，即φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋)，
对A：f(0)＝2sin＝，故正确；
对B：因为x∈[－，0]，所以2x＋∈[－，]，而y＝2sinx在[－，－]上单调递减，在上单调递增，所以f(x)＝2sin (2x＋)在[－，－]上单调递减，在[－，0]上单调递增，故错误；
对C：因为f()＝2sin (2×＋)＝0，所以f(x)的图象关于(，0)中心对称，故正确；
对D：将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是g(x)＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin (2x＋)＝2cos2x，又g(－x)＝cos (－2x)＝cos2x＝g(x)，所以g(x)为偶函数，故正确．故选ACD.
11．答案：AD
解析：f(x)＝sin (2x＋)＋cos (2x＋)＝sin (2x＋＋)＝cos2x.f(－x)＝cos (－2x)＝cos2x＝f(x)，又定义域关于原点对称，故f(x)是偶函数，A项正确；因为x∈(0，)，所以2x∈(0，π)，因此f(x)在(0，)上单调递减，B项错误；f(x)＝cos2x的最大值为，C项错误；令2x＝kπ＋，k∈Z，故x＝＋，k∈Z，当k＝0时，图象关于点(，0)对称，D项正确，故选AD.
12．答案：BD
解析：∵tan＝sinC，∴tan＝sin (A＋B)，
∴＝2sin·cos，即sin＝2sin·cos2，因为sin>0，所以1＝2cos2，整理得cos(A＋B)＝0，∴A＋B＝90°，
∴tanA·＝tanA·＝tanA·tanA不一定等于1，故A不正确，
∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin (A＋45°)，45°∴1∵sin2A＋cos2B＝2sin2A＝1不一定成立，故C不正确，
∵cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1，又∵sin2C＝sin290°＝1，
∴cos2A＋cos2B＝sin2C，∴D正确．故选BD.
13．答案：2
解析：设扇形的半径为rcm，所对的弧长为lcm，则有解得故扇形的圆心角的弧度数α＝＝2.
14．答案：
解析：因为点p(m，2m)(m≠0)是角α终边上任一点，所以tanα＝＝2，
所以cos2α＋1＝2cos2α－1＋1＝2cos2α＝＝＝＝.
15．答案：
解析：由题意知，a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，所以k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.
16．答案：85
解析：因为摩天轮的半径为50m, 圆心O距地面的高度为60m，设在tmin时，距离地面的高度为h＝60＋50sin (ωt＋φ)，其中－π<φ<π，
由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min转动一圈，可得＝15，所以ω＝，
即h＝60＋50sin (·t＋φ)，
当t＝0时，可得60＋50sinφ＝10，即sinφ＝－1，解得φ＝－，
所以h＝60＋50sin (·t－)＝60－50cos (·t)，
令t＝5，可得h＝60－50cos (×5)＝60＋25＝85.
17．解析：(1)因为向量a＝(1，2)，b＝(－3，k)，且a∥b，
所以1×k－2×(－3)＝0，解得k＝－6，
所以|b|＝＝3.
(2)因为a＋2b＝(－5，2＋2k)，且a⊥(a＋2b)，
所以1×(－5)＋2×(2＋2k)＝0，解得k＝.
(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·b＜0且a与b不共线．
即1×(－3)＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6.
18．解析：(1)∵sinα＝，且α是第二象限角，
∴cosα＝－＝－.
(2)·
＝·
＝·＝＝－.
19．解析：(1)∵0<α<，cosα＝，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝，
∴tan (α＋)＝＝＝7.
(2)sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cosα－cos (α＋β)sinα，
∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π，∴sin (α＋β)＝＝，
由(1)知：sinα＝，
∴sinβ＝×－(－)×＝.
20．解析：(1)f(x)＝sincos－sin2＝sinx－·＝sinx＋cosx－，
∴f(x)＝sin (x＋)－，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
则f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.
(2)∵－π≤x≤0，∴－≤x＋≤，
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1－.
21．解析：(1)由题意知f(x)＝[1＋cos (2x＋)].
因为直线x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z).
所以g(x0)＝1＋sin2x0＝1＋sin (kπ－)(k∈Z).
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin (－)＝1－＝，
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
＝[1＋cos (2x＋)]＋1＋sin2x
＝[cos (2x＋)＋sin2x]＋
＝(cos2x＋sin2x)＋
＝sin (2x＋)＋.
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数h(x)＝sin (2x＋)＋是增函数，
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z).
22．解析：(1)因为a＝(1，－)，b＝(sinx，2cos2－1)，
所以f(x)＝a·b＝sinx－(2cos2－1)＝sinx－cosx．
因为f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，所以tanθ＝，
所以＝＝＝＝－2＋.
(2)由(1)知f(x)＝sinx－cosx＝2sin (x－)，
因为x∈[0，π]，所以x－∈[－，]，
故当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
所以当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2].