新人教B版选择性必修第一册高中数学本册综合测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教B版选择性必修第一册高中数学本册综合测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 161.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 05:45:49 | ||
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文档简介
本册综合测试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，那么下列说法正确的个数为( )
①e·m＝0 l∥α；②m⊥n α⊥β；③m∥n α∥β；④e∥m l∥α.
A．1B．2C．3D．4
2．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，2)，则双曲线的方程是( )
A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1
3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC中，点D为AB的中点，CE＝ED，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b＋cB．a＋b＋c
C．a＋b－cD．a＋b＋c
4．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A．B．C．D．
5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝0
6．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
7．已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于( )
A．2B．3C．4D．6
8．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于( )
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，B．－，C．－3，D．－3，2
10．下列四个命题中真命题有( )
A．直线y＝x－2在y轴上的截距为－2
B．经过定点A(0，2)的直线都可以用方程y＝kx＋2表示
C．直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－，0)
D．已知直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则平行线间的距离是1
11．已知圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，则( )
A．圆M可能过原点B．圆心M在直线x－y＋1＝0上
C．圆M与直线x－y－1＝0相切D．圆M被直线x－y＝0截得的弦长等于
12．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0) B．椭圆C的长轴长为4
C．椭圆的离心率为e＝D．直线l的方程为x＋y－3＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．
13．已知u＝(3，a，b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，如果l⊥α，则a＋b＝________．
14．已知曲线C：mx2＋ny2＝1(其中m，n为非零常数)，若m＋n＝0，则曲线C的离心率e为________．
15．若圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离为1，则a＝________.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若直线l1：x－y＋2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2.
(1)求圆C的方程；
(2)求过点P(2，－3)且与圆C相切的直线l2的方程．
18．(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0＜p＜2)的焦点为F，M(2，y0)是C上的一点，且|MF|＝.
(1)求C的方程；
(2)直线l交C于A，B两点，kOA·kOB＝－2且△OAB的面积为16，求l的方程．
19．(12分)已知四棱锥S ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
(3)当的值为多少时，二面角B SC D的大小为120°？
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若∠F1MF2＝60°，求△MF1F2的面积；
(3)设P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，判断·是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
21．(12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角E BD F的余弦值为，求线段CF的长．
22．(12分)在①离心率e＝，②椭圆C过点(1，)，③△PF1F2面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．
设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P，Q两点，已知椭圆C的短轴长为2，________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值．
本册综合测试卷
1．答案：B
解析：因为e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，
若e·m＝0，则e⊥m，由于不确定直线l是否在平面α内，当直线l不在平面α内，则l∥α，故①错误；
若m⊥n，则α⊥β，故②正确；
若m∥n，则α∥β，故③正确；
若e∥m，即e也是平面α的法向量，所以l⊥α，故④错误．故选B.
2．答案：B
解析：因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在y轴上，故设双曲线的方程为y2－x2＝λ>0，因为双曲线的一个焦点坐标为F(0，2)，所以c＝2，则2λ＝c2＝8，即λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1.故选B.
3．答案：D
解析：∵CE＝ED，∴＝＝(＋)
＝＝＋，
∴＝＋＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
4．答案：D
解析：由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线C2有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.故选D.
5．答案：B
解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a2＋2a＋2b＋5＝0.故选B.
6．答案：A
解析：设圆心到直线AB的距离d＝＝2.点P到直线AB的距离为d′.易知d－r≤d′≤d＋r，即≤d′≤3.又AB＝2，∴S△ABP＝·|AB|·d′＝d′，∴2≤S△ABP≤6.故选A.
7．答案：B
解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3.故选B.
8．答案：A
解析：由题意知，F1(－2，0)，F2(2，0)，解方程组得取P点坐标为(，)，
＝(－2－，－)，＝(2－，－)，
cos∠F1PF2＝
＝＝.故选A.
9．答案：AC
解析：由a∥b，可设b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，
得解得μ＝，λ＝－3或2.故选AC.
10．答案：AC
解析：对于直线方程y＝x－2，令x＝0解得y＝－2，故该直线在y轴上的截距为－2，故A正确；经过点A(0，2)的直线若斜率存在，可用y＝kx＋2表示；若斜率不存在，则无法用y＝kx＋2表示，故B错误；当m≠0时，6x＋my＋14＝0可整理为y＝－(x＋)，恒过定点(－，0)；当m＝0时，6x＋my＋14＝0即为x＝－，过点(－，0).故直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－，0)，故C正确；直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则m＝8，此时6x＋my＋14＝0即6x＋8y＋14＝0，也即3x＋4y＋7＝0，则两平行线间的距离d＝＝，故D错误．故选AC.
11．答案：ABD
解析：圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，圆心为(a，a＋1)，半径为1，若圆M过原点，则(0－a)2＋(0－a－1)2＝1，解得a＝0或a＝－1，故A正确；因为a－(a＋1)＋1＝0，所以圆心在直线x－y＋1＝0上，故B正确；圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝>1，故圆M与直线x－y－1＝0相离，故C错误；圆心到直线x－y＝0的距离d1＝＝，所以圆M被直线x－y＝0截得的弦长l＝2＝，故D正确．故选ABD.
12．答案：BCD
解析：由C：＋＝1，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4，则a＝2，b＝2，c＝＝2.∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，长轴长为2a＝4，离心率e＝＝＝，故A错误，BC正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差可得＝－，∵M(1，2)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，则＝－＝－＝－1，∴直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BCD.
13．答案：15
解析：∵l⊥α，∴n∥u，∴＝＝，解得a＝6，b＝9，
∴a＋b＝15.
14．答案：
解析：∵曲线C：mx2＋ny2＝1，m＋n＝0，
∴曲线C：mx2－my2＝1(其中m，n为非零常数)，即曲线为等轴双曲线，∴e＝.
15．答案：±
解析：圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是1，所以圆心到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是圆的半径的一半，即＝1，解得a＝±.
16．答案：4
解析：由△PQF2的周长为16，得△ABF2的周长为32.因为AB是双曲线的通径，所以|AB|＝.因为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，可得2|AB|＝＝32－4a，所以b2＝a(8－a)，可得a∈(0，8)，则＝＝－(a＋1＋－10)≤4，当且仅当a＋1＝，即a＝2时等号成立．即的最大值为4.
17．解析：(1)设圆心到直线l1的距离为d，则r2－d2＝()2，即d2＝r2－2，
又d＝＝，所以r2＝4，故圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线l2斜率不存在时，l2的方程为x＝2，恰好与圆相切，满足题意；
当直线l2斜率存在时，设l2的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，
则圆心到直线l2的距离为＝2，解得k＝－，此时直线l2的方程为y＋3＝－(x－2)，即5x＋12y＋26＝0，
综上，直线l2的方程为5x＋12y＋26＝0或x＝2.
18．解析：(1)将M(2，y0)代入x2＝2py得y0＝，又|MF|＝y0－(－)＝＋＝，∴p＝1或p＝4(舍)，
∴抛物线的方程为x2＝2y.
(2)直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－2kx－2b＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b.
由kOAkOB＝·＝＝－＝－2，∴b＝4.
∴直线方程为y＝kx＋4，所以直线恒过定点(0，4)，
原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OAB＝×d|AB|＝×··＝＝2＝16，
∴4k2＋32＝64，解得k＝±2，
所以直线方程为：y＝±2x＋4.
19．解析：(1)证明：由ABCD是正方形，故AC⊥BD，
因为SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，则SA⊥BD，
又SA∩AC＝A，SA，AC 平面SAC，故BD⊥平面SAC，
因为BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC.
(2)由题设VS ABD＝VA SBD，而VS ABD＝×SA×S△ABD＝×4××2×2＝，
由AB，AD 平面ABCD，易知：SA⊥AB，SA⊥AD，故SB＝SD＝2，又BD＝2，
所以S△SBD＝×BD×＝6，若A到平面SBD的距离为h，
则h×6＝，可得h＝，即A到平面SBD的距离为．
(3)构建以A为原点，，，为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：
若AB＝a>0，＝λ>0时，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，S(0，0，λa)，
所以＝(a，a，－λa)，＝(a，0，－λa)，＝(0，a，－λa)，
令m＝(x，y，z)为平面SBC的一个法向量，
则，令x＝λ，即m＝(λ，0，1)，
令n＝(α，β，γ)为平面SDC的一个法向量，
则，令β＝λ，即n＝(0，λ，1)，
所以|cos〈m，n〉|＝＝＝|cos120°|＝，可得λ＝±1.因为λ>0，所以λ＝1，所以当＝1时，二面角B SC D的大小为120°.
20．解析：(1)依题意，解得a＝2，b＝1，c＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)根据椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝16 ①，
由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos60°，
即12＝|MF1|2＋|MF2|2－|MF1|·|MF2| ②，
由①②得|MF1|·|MF2|＝，所以＝·|MF1|·|MF2|·sin60°＝××＝.
(3)圆的方程为x2＋y2＝5，椭圆C的方程为＋y2＝1，
注意到(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2，－1)是圆上的点，
过上述四个点中的任意一个作椭圆C的切线，则两条切线垂直，即·＝0.
当P(x0，y0)是圆x2＋y2＝5上除去上述四个点外的任意一点时，
切线PA和切线PB的斜率存在且不为零，
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
由消去y并化简得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4[(y0－kx0)2－1]＝0，
令Δ＝64k2(y0－kx0)2－4×(1＋4k2)×4[(y0－kx0)2－1]＝0，
整理得(x－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0，
所以kPA·kPB＝，由于x＋y＝5，所以kPA·kPB＝＝－1，
即·＝0.
综上所述，·是定值，且定值为0.
21.解析：(1)证明：依题意，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h).
依题意知，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又＝(0，2，h)，可得·＝0，
因为直线BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE.
(2)依题意，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2).
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(2，2，1).
因此有cos〈，n〉＝＝－，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即
不妨令y1＝1，可得m＝(1，1，－).
由题意得|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得h＝.
经检验，符合题意，所以线段CF的长为.
22．解析：(1)选①，由题意得解得
所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
选②，由题意得解得所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
选③，由题意得解得所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：(ⅰ)当k＝0时，|PQ|＝2a＝4，|NF1|＝c＝1，所以＝＝4.
(ⅱ)当k≠0时，由题意可得，F1(－1，0).
设直线PF1的方程为y＝k(x＋1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
显然Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|PQ|＝＝·＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝＋2k＝，
所以线段PQ的中点M(－，)，
则线段PQ的中垂线方程为y－＝－(x＋).
令y＝0，可得x＝－，即N(－，0)，又F1(－1，0)，
所以|NF1|＝－＋1＝，所以＝＝4，综上＝4.
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，那么下列说法正确的个数为( )
①e·m＝0 l∥α；②m⊥n α⊥β；③m∥n α∥β；④e∥m l∥α.
A．1B．2C．3D．4
2．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，2)，则双曲线的方程是( )
A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1
3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC中，点D为AB的中点，CE＝ED，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b＋cB．a＋b＋c
C．a＋b－cD．a＋b＋c
4．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A．B．C．D．
5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝0
6．直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]
7．已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于( )
A．2B．3C．4D．6
8．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于( )
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，B．－，C．－3，D．－3，2
10．下列四个命题中真命题有( )
A．直线y＝x－2在y轴上的截距为－2
B．经过定点A(0，2)的直线都可以用方程y＝kx＋2表示
C．直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－，0)
D．已知直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则平行线间的距离是1
11．已知圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，则( )
A．圆M可能过原点B．圆心M在直线x－y＋1＝0上
C．圆M与直线x－y－1＝0相切D．圆M被直线x－y＝0截得的弦长等于
12．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0) B．椭圆C的长轴长为4
C．椭圆的离心率为e＝D．直线l的方程为x＋y－3＝0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．
13．已知u＝(3，a，b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的法向量，如果l⊥α，则a＋b＝________．
14．已知曲线C：mx2＋ny2＝1(其中m，n为非零常数)，若m＋n＝0，则曲线C的离心率e为________．
15．若圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离为1，则a＝________.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若直线l1：x－y＋2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2.
(1)求圆C的方程；
(2)求过点P(2，－3)且与圆C相切的直线l2的方程．
18．(12分)已知抛物线C：x2＝2py(0＜p＜2)的焦点为F，M(2，y0)是C上的一点，且|MF|＝.
(1)求C的方程；
(2)直线l交C于A，B两点，kOA·kOB＝－2且△OAB的面积为16，求l的方程．
19．(12分)已知四棱锥S ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．
(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；
(3)当的值为多少时，二面角B SC D的大小为120°？
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若∠F1MF2＝60°，求△MF1F2的面积；
(3)设P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，判断·是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
21．(12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角E BD F的余弦值为，求线段CF的长．
22．(12分)在①离心率e＝，②椭圆C过点(1，)，③△PF1F2面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．
设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P，Q两点，已知椭圆C的短轴长为2，________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值．
本册综合测试卷
1．答案：B
解析：因为e为直线l的方向向量，m，n是平面α，β的法向量(α，β是不同平面)，
若e·m＝0，则e⊥m，由于不确定直线l是否在平面α内，当直线l不在平面α内，则l∥α，故①错误；
若m⊥n，则α⊥β，故②正确；
若m∥n，则α∥β，故③正确；
若e∥m，即e也是平面α的法向量，所以l⊥α，故④错误．故选B.
2．答案：B
解析：因为所求双曲线为等轴双曲线，且焦点在y轴上，故设双曲线的方程为y2－x2＝λ>0，因为双曲线的一个焦点坐标为F(0，2)，所以c＝2，则2λ＝c2＝8，即λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1.故选B.
3．答案：D
解析：∵CE＝ED，∴＝＝(＋)
＝＝＋，
∴＝＋＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
4．答案：D
解析：由椭圆定义可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线C2有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.故选D.
5．答案：B
解析：由题意知，相交弦过已知圆圆心，相交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－a2－1＝0，而点(－1，－1)在此直线上，故有a2＋2a＋2b＋5＝0.故选B.
6．答案：A
解析：设圆心到直线AB的距离d＝＝2.点P到直线AB的距离为d′.易知d－r≤d′≤d＋r，即≤d′≤3.又AB＝2，∴S△ABP＝·|AB|·d′＝d′，∴2≤S△ABP≤6.故选A.
7．答案：B
解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3.故选B.
8．答案：A
解析：由题意知，F1(－2，0)，F2(2，0)，解方程组得取P点坐标为(，)，
＝(－2－，－)，＝(2－，－)，
cos∠F1PF2＝
＝＝.故选A.
9．答案：AC
解析：由a∥b，可设b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，
得解得μ＝，λ＝－3或2.故选AC.
10．答案：AC
解析：对于直线方程y＝x－2，令x＝0解得y＝－2，故该直线在y轴上的截距为－2，故A正确；经过点A(0，2)的直线若斜率存在，可用y＝kx＋2表示；若斜率不存在，则无法用y＝kx＋2表示，故B错误；当m≠0时，6x＋my＋14＝0可整理为y＝－(x＋)，恒过定点(－，0)；当m＝0时，6x＋my＋14＝0即为x＝－，过点(－，0).故直线6x＋my＋14＝0(m∈R)必过定点(－，0)，故C正确；直线3x＋4y＋9＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则m＝8，此时6x＋my＋14＝0即6x＋8y＋14＝0，也即3x＋4y＋7＝0，则两平行线间的距离d＝＝，故D错误．故选AC.
11．答案：ABD
解析：圆M：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a∈R)，圆心为(a，a＋1)，半径为1，若圆M过原点，则(0－a)2＋(0－a－1)2＝1，解得a＝0或a＝－1，故A正确；因为a－(a＋1)＋1＝0，所以圆心在直线x－y＋1＝0上，故B正确；圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝>1，故圆M与直线x－y－1＝0相离，故C错误；圆心到直线x－y＝0的距离d1＝＝，所以圆M被直线x－y＝0截得的弦长l＝2＝，故D正确．故选ABD.
12．答案：BCD
解析：由C：＋＝1，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4，则a＝2，b＝2，c＝＝2.∴椭圆的焦点坐标为(0，2)，(0，－2)，长轴长为2a＝4，离心率e＝＝＝，故A错误，BC正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差可得＝－，∵M(1，2)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，则＝－＝－＝－1，∴直线l的方程为y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BCD.
13．答案：15
解析：∵l⊥α，∴n∥u，∴＝＝，解得a＝6，b＝9，
∴a＋b＝15.
14．答案：
解析：∵曲线C：mx2＋ny2＝1，m＋n＝0，
∴曲线C：mx2－my2＝1(其中m，n为非零常数)，即曲线为等轴双曲线，∴e＝.
15．答案：±
解析：圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是1，所以圆心到直线ax－3y＋3＝0(a∈R)的距离是圆的半径的一半，即＝1，解得a＝±.
16．答案：4
解析：由△PQF2的周长为16，得△ABF2的周长为32.因为AB是双曲线的通径，所以|AB|＝.因为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，可得2|AB|＝＝32－4a，所以b2＝a(8－a)，可得a∈(0，8)，则＝＝－(a＋1＋－10)≤4，当且仅当a＋1＝，即a＝2时等号成立．即的最大值为4.
17．解析：(1)设圆心到直线l1的距离为d，则r2－d2＝()2，即d2＝r2－2，
又d＝＝，所以r2＝4，故圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线l2斜率不存在时，l2的方程为x＝2，恰好与圆相切，满足题意；
当直线l2斜率存在时，设l2的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，
则圆心到直线l2的距离为＝2，解得k＝－，此时直线l2的方程为y＋3＝－(x－2)，即5x＋12y＋26＝0，
综上，直线l2的方程为5x＋12y＋26＝0或x＝2.
18．解析：(1)将M(2，y0)代入x2＝2py得y0＝，又|MF|＝y0－(－)＝＋＝，∴p＝1或p＝4(舍)，
∴抛物线的方程为x2＝2y.
(2)直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－2kx－2b＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b.
由kOAkOB＝·＝＝－＝－2，∴b＝4.
∴直线方程为y＝kx＋4，所以直线恒过定点(0，4)，
原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OAB＝×d|AB|＝×··＝＝2＝16，
∴4k2＋32＝64，解得k＝±2，
所以直线方程为：y＝±2x＋4.
19．解析：(1)证明：由ABCD是正方形，故AC⊥BD，
因为SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，则SA⊥BD，
又SA∩AC＝A，SA，AC 平面SAC，故BD⊥平面SAC，
因为BD 平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC.
(2)由题设VS ABD＝VA SBD，而VS ABD＝×SA×S△ABD＝×4××2×2＝，
由AB，AD 平面ABCD，易知：SA⊥AB，SA⊥AD，故SB＝SD＝2，又BD＝2，
所以S△SBD＝×BD×＝6，若A到平面SBD的距离为h，
则h×6＝，可得h＝，即A到平面SBD的距离为．
(3)构建以A为原点，，，为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：
若AB＝a>0，＝λ>0时，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，S(0，0，λa)，
所以＝(a，a，－λa)，＝(a，0，－λa)，＝(0，a，－λa)，
令m＝(x，y，z)为平面SBC的一个法向量，
则，令x＝λ，即m＝(λ，0，1)，
令n＝(α，β，γ)为平面SDC的一个法向量，
则，令β＝λ，即n＝(0，λ，1)，
所以|cos〈m，n〉|＝＝＝|cos120°|＝，可得λ＝±1.因为λ>0，所以λ＝1，所以当＝1时，二面角B SC D的大小为120°.
20．解析：(1)依题意，解得a＝2，b＝1，c＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)根据椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝16 ①，
由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos60°，
即12＝|MF1|2＋|MF2|2－|MF1|·|MF2| ②，
由①②得|MF1|·|MF2|＝，所以＝·|MF1|·|MF2|·sin60°＝××＝.
(3)圆的方程为x2＋y2＝5，椭圆C的方程为＋y2＝1，
注意到(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2，－1)是圆上的点，
过上述四个点中的任意一个作椭圆C的切线，则两条切线垂直，即·＝0.
当P(x0，y0)是圆x2＋y2＝5上除去上述四个点外的任意一点时，
切线PA和切线PB的斜率存在且不为零，
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
由消去y并化简得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4[(y0－kx0)2－1]＝0，
令Δ＝64k2(y0－kx0)2－4×(1＋4k2)×4[(y0－kx0)2－1]＝0，
整理得(x－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0，
所以kPA·kPB＝，由于x＋y＝5，所以kPA·kPB＝＝－1，
即·＝0.
综上所述，·是定值，且定值为0.
21.解析：(1)证明：依题意，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h).
依题意知，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又＝(0，2，h)，可得·＝0，
因为直线BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE.
(2)依题意，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2).
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令z＝1，可得n＝(2，2，1).
因此有cos〈，n〉＝＝－，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)设m＝(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，则即
不妨令y1＝1，可得m＝(1，1，－).
由题意得|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得h＝.
经检验，符合题意，所以线段CF的长为.
22．解析：(1)选①，由题意得解得
所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
选②，由题意得解得所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
选③，由题意得解得所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：(ⅰ)当k＝0时，|PQ|＝2a＝4，|NF1|＝c＝1，所以＝＝4.
(ⅱ)当k≠0时，由题意可得，F1(－1，0).
设直线PF1的方程为y＝k(x＋1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
显然Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|PQ|＝＝·＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝＋2k＝，
所以线段PQ的中点M(－，)，
则线段PQ的中垂线方程为y－＝－(x＋).
令y＝0，可得x＝－，即N(－，0)，又F1(－1，0)，
所以|NF1|＝－＋1＝，所以＝＝4，综上＝4.