8.1.1 向量数量积的概念
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝( )
A．－6 B．6
C．－6 D．6
2．在△ABC中，a＝5，b＝4，∠C＝45°，则·＝( )
A．10 B．20
C．－10 D．－20
3．已知e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断中正确的是( )
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1
4．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为________．
6．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7.
如图，AB是圆C的一条弦，仅由下列一个条件就可以得出·＝2的是( )
A．圆C半径为2
B．圆C半径为1
C．圆C的弦AB长为2
D．圆C的弦AB长为1
8．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)＝( )
A．0 B．a
C．b D．c
9．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论错误的是( )
A．·＝0
B．·＝2
C．·＝2
D．||cos B＝||
10．(多选)下列结论错误的是( )
A．＋＝0
B．0·＝0
C．若a与b共线，则a·b＝|a||b|
D．(a·b)·c＝a·(b·c)
11．(多选)关于菱形ABCD的说法中，正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
12．如图，△ABC的三边长均为1，且＝a，＝b，＝c，求a·b＋b·c＋c·a的值．
13．已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．
14．(数学运算命题)在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在方向上的投影的数量；
(3)在方向上的投影的数量．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.
如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点．求·的取值范围．
8．1.1 向量数量积的概念
必备知识基础练
1．答案：A
解析：因为|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝120°，
所以a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×＝－6.
故选A.
2．答案：C
解析：∵||＝a＝5，||＝b＝4，C＝45°，
∴·＝－||||cos45°＝－5×4×＝－10﹒
故选C.
3．答案：C
解析：∵e1∥e2，|e1|＝1，|e2|＝1，∴〈e1，e2〉＝0或π，
∴e1·e2＝±1，故选C.
4．答案：D
解析：由题意，得4×4×cosA＝8，
即cosA＝.又A∈(0，π)，
∴A＝.
又||＝||，
∴△ABC为等边三角形，故选D.
5．答案：
解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
6．解析：因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝.
(1)当a∥b时，a·b＝|a||b|cos0°＝2××1＝2
或a·b＝|a||b|cos180°＝2××(－1)＝－2.
(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos90°＝2××0＝0.
(3)当a与b的夹角为150°时，a·b＝|a||b|cos150°＝2××(－)＝－3.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：如图所示，
过点C作OC⊥AB于点O，则O是AB的中点，
所以·＝(＋)·＝·＝2＝2，
所以||＝2.
故选C.
8．答案：B
解析：∵b·c＝|b||c|cos〈b，c〉＝1××cos45°＝1，
∴a·(b·c)＝a，故选B.
9．答案：C
解析：在等腰直角三角形ABC中，
C＝90°，S△ABC＝1，
则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，
所以·＝0，选项A正确．
·＝||||cos45°＝2，选项B正确．
·＝||||cos135°＝－2，选项C不正确．
向量在上投影的数量为||，即||cosB＝||，选项D正确，故选C.
10．答案：BCD
解析：∵＝－，
∴＋＝－＋＝0，∴A正确；
∵数量积是一个实数，不是向量，∴B错误；
∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴C错误；当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴D错误．故选BCD.
11．答案：ABC
解析：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD，所以∥，A正确；
因为对角线AC与BD互相垂直，
且＋＝，＋＝，
所以⊥，即(＋)⊥(＋)，B正确；
因为－＝，－＝，
又因为⊥，即·＝0，
所以(－)·(－)＝0，C正确；
易知〈，〉＝180°－〈，〉，
且||＝||＝||＝||，
所以·＝－·，D错误．
12．解析：
延长BC至C′，使＝a，
如图，易得〈a，b〉＝〈，〉＝120°，则a·b＝|a|·|b|cos120°＝－，
同理，b·c＝c·a＝－.
故a·b＋b·c＋c·a＝－.
13．答案：1 1
解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝||||·cosθ.
由图可知，||cosθ＝||，
因此·＝||2＝1.
·＝||||cosα＝||cosα，
而||cosα就是向量在上的投影的数量，故当在上的投影的数量最大，即投影的数量为||时，·取得最大值，所以·的最大值为1.
14．解析：∵||＝5，||＝4，||＝3，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
∴cosA＝＝，cosB＝＝.
(1)·＝－·＝－5×4×＝－16.
(2)在方向上的投影的数量为||·cos〈，〉＝3×＝.
(3)在方向上的投影的数量为||·cos〈，〉＝＝＝＝－4.
核心素养升级练
15．解析：如图，过E作EE′⊥AB，垂足为E′，过C作CC′⊥AB，垂足为C′.
则在上的投影为，∴在上的投影的数量为||，由向量数量积的几何意义知·＝||·||＝4||.
∵点E在腰BC上运动，∴点E′在线段C′B上运动，
∴||≤||≤||，
∴2≤||≤4，∴8≤4||≤16，
∴·的取值范围是[8，16].8.1.2 向量数量积的运算律
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知|a|＝3，|b|＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为( )
A． B．
C．D．
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2
C．4 D．4
4．已知|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则k的值为( )
A．±B．±
C．± D．±
5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则·＝( )
A．－7 B．7
C．－28 D．28
6．已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|3a＋b|.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，且·＝－3，则|－λ|(λ∈R)的最小值是( )
A． B．
C． D．2
8．已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且＝2，则·＝( )
A．－ B．－
C．－ D．4
9．(多选)下列各式一定正确的有( )
A．0·a＝0 B．a·b＝b·a
C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a·b)c＝a(b·c)
10．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π )
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．·c＝0
11．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．||2＝·
B．||2＝·
C．||2＝·
D．||2＝
12．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为________，最大值为________．
13．已知向量a，b，c满足a－b＋2c＝0，且a⊥c，|a|＝2，|c|＝1，求|b|.
14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝1.
(1)若|a－b|＝2，试求a与b夹角的余弦值；
(2)若对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，求a与b的夹角．
8．1.2 向量数量积的运算律
必备知识基础练
1．答案：C
解析：(a＋b)·(a＋3b)＝a2＋4a·b＋3b2＝33＝|a|2＋4×|a||b|cosθ＋3|b|2＝33＝9＋4×3×4cosθ＋48＝33，解得cosθ＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
2．答案：D
解析：要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直，只需判断这四个向量哪个与b的数量积为零即可．
A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cos60°＋2|b|2＝1×1×cos60°＋2×12＝≠0.
B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos60°＋|b|2＝2×1×1×cos60°＋12＝2≠0.
C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos60°－2|b|2＝1×1×cos60°－2×12＝－≠0.
D．(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0.故选D.
3．答案：B
解析：由a·(a－b)＝0及|a|＝1，可得a·b＝a2＝1，
由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，
解得b2＝4，所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，
所以|2a＋b|＝2.
4．答案：A
解析：由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2＝k2|b|2，所以9k2＝16，k2＝，k＝±，故选A.
5．答案：A
解析：在△ABC中，设BC的中点为D，则＝－.由题意知||＝4，||＝3，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－16＝－7.
6．解析：(1)因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，
所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
即1＋1×2×cos〈a，b〉＝0，即cos〈a，b〉＝－.
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
(2)|3a＋b|＝＝
＝＝.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：因为AB＝2，AC＝3，且·＝－3，
所以|－λ|2＝2－2λ·＋λ22＝9＋6λ＋4λ2＝4(λ＋)2＋，
当λ＝－时，|－λ|2取得最小值为，则|－λ|取得最小值为.
8．答案：C
解析：由题意可知，
＝－，＝－，
∴·＝(－)(－)＝·－(＋)·＋2＝0－2·＋2，
∵＝2，
∴＝，
由D点是斜边AB的中点，可知CD＝AB＝，
∴·＝－2·＋2＝－2＝－.
故选C.
9．答案：AB
解析：A显然正确；易得B正确；
设a，b的夹角为α
(a·b)2＝(|a||b|cosα)2＝|a|2|b|2cos2α，
a2·b2＝|a|2·|b|2，
则C不一定正确；
令a·b＝λ，b·c＝μ
(a·b)c＝λc，a(b·c)＝μa知D不一定正确．
故选AB.
10．答案：AB
解析：A：当a与b中都不是0，a⊥b时，也能得到a·b＝0，所以本命题不正确；
B：当两个平面向量反向平行时，它们的夹角为π，所以本命题不正确；
C：因为a⊥b，所以有a·b＝··cos＝0，所以本命题正确；
D：[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以本命题正确，
故选AB.
11．答案：ABD
解析：·＝||||cosA＝||·||＝||2，故A项正确；
·＝||||cosB＝||2，故B项正确；
由·＝||||·cos (π－∠ACD)<0，
又||2>0，故C项错误；因为△ABC为直角三角形，CD是斜边AB上的高，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由A项，B项可得||2＝，故D项正确，故选ABD.
12．答案：0 1
解析：设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ，
∴0≤|b|≤1.
所以|b|的最小值为0，最大值为1.
13．解析：∵a－b＋2c＝0，
∴b＝a＋2c，
∴b2＝a2＋4c2＋4a·c＝8，∴|b|＝2.
14．答案：
解析：因为E为CD的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋，因为·＝1，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＋·＝1，
即1－2＋||cos60°＝1，
所以－2＋||＝0，
解得||＝.
核心素养升级练
15．解析：(1)因为|a|＝，|b|＝1，|a－b|＝2，
所以|a－b|2＝4，即2－2a·b＋1＝4，
所以a·b＝－.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
(2)令a与b的夹角为θ，由|a＋xb|≥|a＋b|，得(a＋xb)2≥(a＋b)2.
因为|a|＝，|b|＝1，所以x2＋2xcosθ－2cosθ－1≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝8cos2θ＋8cosθ＋4≤0，即(cosθ＋1)2≤0，
故cosθ＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.8．1.3 向量数量积的坐标运算
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知A(1，2)，B(3，－1)，C(3，4)，则·等于( )
A．11 B．5
C．－1 D．－2
2．已知向量＝(，)，＝(，)，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(m，2)，且a⊥b，则m＝( )
A．－3 B．3
C． D．－
4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． B．2
C．4 D．12
5.
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________．
6．已知向量a＝，b＝(0，－2)，在下列条件下分别求k的值：
(1)a＋b与ka－b平行；
(2)a＋b与ka－b的夹角为.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
8．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
9．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
10．(多选)已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的值可以为( )
A． B．－
C． D．1
11．已知a＝(3，0)，b＝(k，5)，且a与b的夹角为，则实数k的值为__________．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求：
(1)·的值；
(2)·的最大值．
13．在平面直角坐标系中，已知三点A(4，0)，B(t，2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
14．已知平面上三点A，B，C，满足＝(2，4)，＝(2－k，3).
(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k的值；
(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB的值．
8．1.3 向量数量积的坐标运算
必备知识基础练
1．答案：D
解析：∵＝(2，－3)，＝(2，2),
∴·＝2×2＋(－3)×2＝－2.
故选D.
2．答案：A
解析：因为＝，＝，
所以·＝＋＝，
因为||＝||＝1，
所以cos〈，〉＝＝，
因为向量的夹角范围为[0，π]，
所以向量和的夹角为30°，即∠ABC＝30°.
故选A.
3．答案：B
解析：因为a⊥b，
所以a·b＝2m－6＝0，
所以m＝3.
故选B.
4．答案：B
解析：∵|a|＝2，
∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，
∴|a＋2b|＝2.故选B.
5．答案：
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.
∴＝(，2)，＝(－，2)，
∴·＝－＋4＝.
6．解析：(1)因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
所以a＋b＝(1，－1)，ka－b＝(k，k＋2)，
又a＋b与ka－b平行，
所以－k＝k＋2，解得k＝－1.
(2)因为a＋b＝(1，－1)，ka－b＝(k，k＋2)，
所以(a＋b)·(ka－b)＝1×k＋(－1)×(k＋2)＝－2,
因为a＋b与ka－b夹角为，所以(a＋b)·(ka－b)＝|a＋b||a－b|cos，
即－2＝－××，
解得k＝－1±.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2).
又(c＋a)∥b，
∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ①
又c⊥(a＋b)，
∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ②
联立①②解得x＝－，y＝－，故选D.
8．答案：C
解析：由＝(2，3)，＝(3，t)，
得＝(1，t－3).
因为||＝1，所以＝1，所以t＝3.
所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
9．答案：C
解析：设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，故·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3，0)，故选C.
10．答案：CD
解析：a与b的夹角为钝角必须满足a·b＝2x－21<0且a与b不共线，即
∴x<且x≠－，把各选项逐项代入验证知，C、D符合要求．
11．答案：－5
解析：因为a＝(3，0)，b＝(k，5)，
且a与b的夹角为，
所以cos＝＝，
所以＝－，
解得k＝±5.由题意可知，k<0.
所以实数k的值为－5.
12．解析：(1)建立如图所示平面直角坐标系：
则D(0，0)，C(0，1)，B(1，1)，设E(1，x)，(0≤x≤1)，
所以＝(1，x)，＝(1，0)，
所以·＝1×1＋x×0＝1.
(2)因为＝(1，x)，＝(0，1)，
所以·＝1×0＋x×1＝x，
因为0≤x≤1，
所以·的最大值是1.
13．解析：(1)由题意得，＝(t－4，2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝(t－4，2)·(2，t)＝2t－8＋2t＝0 t＝2；
若∠B＝90°，则·＝(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0 t2－12t＋28＝0 t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝12－2t＋t2－2t＝t2－4t＋12＝0，无解．
∴t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，所以 D(10－t，t－2)，
则||＝＝
＝，
所以当t＝6时，||的最小值为4.
14．解析：(1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥，得4(2－k)＝6，解得k＝.
(2)因为＝(2－k，3)，所以＝(k－2，－3)，
所以＝＋＝(k，1).
由于A，B，C三点构成直角三角形，
所以当A是直角时，⊥，所以·＝0，得2k＋4＝0，解得k＝－2；
当B是直角时，⊥，所以·＝0，得k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；
当C是直角时，⊥，所以·＝0，得16－2k＝0，解得k＝8.
综上所述，实数k的值为－2或－1或3或8.
核心素养升级练
15．解析：(1)设＝(x，y)，∵Q在直线OP上，
∴向量与共线．
又＝(2，1)，∴x－2y＝0，
∴x＝2y，∴＝(2y，y).
又＝－＝(1－2y，7－y)，
＝－＝(5－2y，1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4，2).
(2)由(1)知＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8，
||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.8.2.1 两角和与差的余弦
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．cos 20°＝( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10°
2．若a＝(cos 20°，sin 20°)，b＝(cos 10°，sin 190°)，则a·b＝( )
A． B．
C．cos 10° D．
3．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则cos C＝( )
A．－ B．
C．－ D．
4．(多选)已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值可能为( )
A．－ B．－
C．－ D．
5．已知sin α＝，α∈(，π)，则cos (－α)＝________．
6．已知sin α＝－，cos β＝，且α，β均为第四象限角，求下列各式的值：
(1)cos (α＋β)；
(2)cos (α－β).
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos (α－β)＝( )
A．－ B． C． D．－
8．已知点A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，则||等于( )
A． B． C． D．1
9．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin (α＋β)＝，则cos α＝( )
A． B． C． D．
10．已知cos ＝，cos ＝，α，β∈，则cos (α＋β)＝( )
A. B． C． D．
11．(多选)已知α，β，γ∈(0，)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( )
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－
C．β－α＝ D．β－α＝－
12．化简下列各式：
(1)cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)；
(2)cos 15°－sin 15°.
13．已知α∈(0，)，tan α＝2，求cos (α－)的值．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B(－1，2)在圆O上，点C在弧AB上，且∠BOC＝，求cos ∠AOC的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.
如图，设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，].
(1)若Q(，)，求cos (α－)的值；
(2)设函数f(α)＝·，求f(α)的值域．
8．2.1 两角和与差的余弦
必备知识基础练
1．答案：B
解析：cos20°＝cos (30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°·sin10°.
2．答案：B
解析：a·b＝cos20°cos10°＋sin20°sin190°＝cos20°cos10°－sin20°sin10°＝cos (20°＋10°)＝cos30°＝，故选B.
3．答案：B
解析：∵cosA＝>0，cosB＝>0，0
∴sinA＝，sinB＝，
∴cosC＝－cos (A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝，故选B.
4．答案：AC
解析：因cosα＝，
则sinα＝±＝±，
又cos(α＋β)＝－，
则sin (α＋β)＝±＝±，
cos(α＋β)cosα＝－×＝－，
而cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cosα＋sin (α＋β)sinα，
sinα与sin(α＋β)同号，
即sin (α＋β)sinα＝，则cosβ＝－，
sinα与sin (α＋β)异号，
即sin (α＋β)sinα＝－，则cosβ＝－，
所以cosβ的值可能为－或－.
故选AC.
5．答案：
解析：∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴cos(－α)＝coscosα＋sinsinα＝×(－)＋×＝.
6．解析：(1)因为α，β均为第四象限角，
所以cosα＝＝，sinβ＝－＝－，
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－＝－.
(2)由(1)知：cosα＝，sinβ＝－，
所以cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝＋＝.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝，
(sinα＋sinβ)2＝sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝，
两式相加，得2＋2cos(α－β)＝，
则cos (α－β)＝－，故选A.
8．答案：D
解析：||＝
＝
＝＝＝1.
9．答案：B
解析：∵cosβ＝－，<β<π，∴sinβ＝，
∵0<α<<β<π，sin (α＋β)＝，
∴<α＋β<，
∴cos (α＋β)＝－＝－，
∴cosα＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cosβ＋sin (α＋β)sinβ＝－×＋×＝.
故选B.
10．答案：D
解析：∵cos＝，cos＝，α，β∈，
∴α＋∈(，)，β－∈(－，0)，
∴sin>0，sin<0，
∴sin＝＝，
sin＝－＝－，
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×(－)＝.
故选D.
11．答案：AC
解析：由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.
两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.
∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝，
∴A正确，B错误．
∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝，
∴C正确，D错误，故选AC.
12．解析：(1)原式＝cos [(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝.
(2)原式＝(cos15°－sin15°)
＝(cos45°cos15°－sin45°sin15°)＝cos (45°＋15°)
＝cos60°＝.
13．解析：因为tanα＝＝2，
所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，
结合α∈(0，)，所以sinα＝，cosα＝，
则cos (α－)＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.
14．解析：因为点B(－1，2)在∠AOB的终边上，
所以sin∠AOB＝＝，cos∠AOB＝＝－，
因为∠AOC＝∠AOB－∠BOC，∠BOC＝，
所以∠AOC＝∠AOB－，
所以cos∠AOC＝cos
＝cos∠AOBcos＋sin∠AOBsin
＝－×＋×＝.
核心素养升级练
15．解析：(1)因为Q(，)，∠AOQ＝α，α∈[0，]，
所以sinα＝，cosα＝，
则cos (α－)＝cosα·＋sinα·＝.
(2)由题意得Q(cosα，sinα)，因为∠AOP＝，
则P(，)，
所以·＝cosα＋sinα，
即函数f(α)＝cosα＋sinα＝cos (α－).
由α∈[0，]，得α－∈[－，]，
所以f(α)∈[，1].第1课时 两角和与差的正弦
必备知识基础练 进阶训练第一层
1.的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．sin 110°cos 40°＋cos 70°sin 220°＝ ( )
A． B．
C．－ D．－
3．函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值是( )
A． B．1
C． D．2
4．已知角α的终边经过点(－，)，则sin ＝________．
5．(多选)关于函数f(x)＝sin x＋cos x，下列说法正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在(－，)上单调递增
C．f(x)的最大值为2
D．当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，则cos θ＝
6．已知0<α<<β<π，cos (β－α)＝，sin α＝，则β的值为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(逻辑推理命题)在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
8．在△ABC中，A＝15°，则sin A－cos (B＋C)的值为( )
A． B．
C． D．2
9．已知α为锐角且cos ＝，则sin 的值为( )
A． B．
C．－ D．－
10．函数y＝2sin (－x)－cos (＋x)(x∈R)的最小值为 ( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
11．已知f(x)＝sin (x＋)－cos (x＋)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)的值为( )
A．2 B．
C．1 D．0
12．(多选)若f(x)＝sin (3x＋θ)－cos (3x＋θ)是奇函数，则θ的值可以是( )
A． B．π
C． D．
13．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin (β＋)的值．
14．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求函数y＝f(x)的周期；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知向量a＝(sin x，cos x－1)，b＝(，－1)，设f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象的对称中心；
(2)已知α为锐角，β∈(0，π)，f(α＋)＝，sin (α＋β)＝－，求sin (2α＋β)的值．
第1课时 两角和与差的正弦
必备知识基础练
1．答案：A
解析：原式
＝
＝＝2sin30°＝1.
2．答案：A
解析：因为sin110°＝sin (180°－70°)＝sin70°，
sin220°＝sin (180°＋40°)＝－sin40°，
所以sin110°cos40°＋cos70°sin220°＝sin70°cos40°－cos70°sin40°＝sin (70°－40°)＝sin30°＝.
故选A.
3．答案：C
解析：f(x)＝sinx·cos－cosx·sin＋cosx·cos＋sinx·sin
＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，
∵－1≤sinx≤1，∴函数f(x)的最大值是.
故选C.
4．答案：
解析：由题设，sinα＝，cosα＝－，
所以sin＝sinα－cosα＝.
5．答案：BCD
解析：函数f(x)＝sinx＋cosx＝2(sinx·＋cosx·)＝2(sinxcos＋cosxsin)＝2sin (x＋)，显然，f(x)不是偶函数，A不正确；由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以f(x)在(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z，上单调递增，从而f(x)在(－，)上单调递增，B正确；函数f(x)的最大值为2，C正确；当f(x)取得最大值时，x＋＝＋2kπ，x＝＋2kπ＝θ，k∈Z，所以cosθ＝，D正确．故选BCD.
6．答案：
解析：∵0<α<，sinα＝，
∴cosα＝.
又0<α<<β<π，∴0<β－α<π.
又cos (β－α)＝，
∴sin (β－α)＝，∴sinβ＝sin [(β－α)＋α]＝sin (β－α)cosα＋cos (β－α)·sinα＝×＋×＝.
由<β<π，得β＝.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：∵2cosBsinA＝sinC＝sin (A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，
∴sin (A－B)＝0，∴A－B＝kπ(k∈Z).
又∵0∴A＝B，故选C.
8．答案：C
解析：sinA－cos (B＋C)＝sinA＋cosA＝2sin (A＋30°)＝2sin45°＝，故选C项．
9．答案：C
解析：α为锐角，故<α＋<，而cos＝，故sin＝，
又sin＝sin＝[sin－cos]＝－×＝－.
故选C.
10．答案：C
解析：y＝2sin (－x)－cos (＋x)＝2sincosx－2cossinx－coscosx＋sinsinx＝cosx－sinx－cosx＋sinx＝cosx－sinx＝cos (x＋)，∵x∈R，∴函数的最小值为－1.
11．答案：D
解析：f(x)＝sin (x＋)－cos (x＋)＝2sin (x＋－)＝2sinx，
则函数f(x)的最小正周期为T＝＝6.
又因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝2sin＋2sin＋2sin＋2sin＋2sin＋2sin＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)]×337＝0.
12．答案：AD
解析：∵f(x)＝sin (3x＋θ)－cos (3x＋θ)＝sin (3x＋θ－)是奇函数，
∴f(0)＝0，θ－＝kπ(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝；
当k＝1时，θ＝，故选AD.
13．解析：∵sin (α－β)cosα－cos (β－α)sinα＝sin (α－β)cosα－cos (α－β)sinα＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝－sinβ＝，
∴sinβ＝－，又β是第三象限角，
∴cosβ＝－＝－，
∴sin(β＋)＝sinβcos＋cosβsin＝(－)×＋(－)×＝－.
14．解析：(1)f(x)＝sin2x＋cos2x
＝2(sin2x＋cos2x)
＝2sin (2x＋)
故函数y＝f(x)的周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)单调递增区间为(k∈Z).
核心素养升级练
15．解析：由题意得f(x)＝a·b＝sinx－cosx＋1＝2sin (x－)＋1.
(1)f(x)的最小正周期T＝2π，
令x－＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ＋(k∈Z)，
又f(kπ＋)＝2sinkπ＋1＝1(k∈Z)，
因此函数f(x)的图象的对称中心为(kπ＋，1)，k∈Z.
(2)由f(α＋)＝2sin (α＋－)＋1＝2sinα＋1＝，
得sinα＝.
∵α∈(0，)，
∴cosα＝.
∵α∈(0，)，β∈(0，π)，
∴α＋β∈(0，).
又sin (α＋β)＝－<0，
∴α＋β∈(π，)，
∴cos (α＋β)＝－，
∴sin (2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin (α＋β)cosα＋cos (α＋β)sinα＝－×＋(－)×＝－.第2课时 两角和与差的正切
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知tan α＝2，则tan (α－)＝( )
A．－3 B．3
C．－ D．
2．已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，将角θ的终边按逆时针方向旋转后经过点M(－1，3)，则tan θ＝( )
A．3 B．－
C．2 D．1
3．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α的值为( )
A．－ B．
C． D．－
4．已知A＋B＝，则tan A＋tan B＋tan A tan B－＝( )
A．－2 B．2
C．0 D．1－
5．已知tan α＝2，tan β＝3，α，β均为锐角，则α＋β的值是________．
6．化简下列各式：
(1)tan (－)；
(2)tan 50°＋tan 70°－tan 50°tan 70°.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．计算tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝( )
A．1 B．2
C．tan 10° D．tan 20°
8．已知tan (α＋β＋)＝，tan (β－)＝－，则tan (α＋)的值为( )
A． B．
C． D．1
9．已知A，B为△ABC的内角，并且(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则A＋B＝( )
A. B．
C． D．
10．(多选)已知不等式x2＋16x＋2<0的解集为(tan α，tan β)，则( )
A．tan α＋tan β＝16
B．tan αtan β＝2
C．tan (α＋β)＝16
D．＝－8
11．已知tan α＝2，tan β＝3，则的值为________．
12．已知α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β＝________，tan (α－β)＝________．
13．已知α∈(0，)，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－.求2α－β的值．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)α＋2β的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.在△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，试判断△ABC的形状．
第2课时 两角和与差的正切
必备知识基础练
1．答案：D
解析：∵tanα＝2，
∴tan (α－)＝＝＝.故选D.
2．答案：C
解析：由三角函数的定义可得tan (θ＋)＝－3，
所以，tanθ＝tan＝＝＝2.故选C.
3．答案：A
解析：tan2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－，故选A.
4．答案：C
解析：∵tanA＋tanB＝tan (A＋B)(1－tanAtanB)＝·(1－tanAtanB)，∴tanA＋tanB＋tanAtanB－＝0.
5．答案：
解析：因为α，β是锐角，所以0<α＋β<π，又tan (α＋β)＝＝＝－1，所以α＋β＝.
6．解析：(1)原式＝＝＝－2.
(2)原式＝tan120°(1－tan50°tan70°)－tan50°tan70°＝－＋tan50°tan70°－tan50°tan70°＝－.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：∵tan30°＝tan (10°＋20°)＝＝，∴tan10°＋tan20°＋tan10°tan20°＝.
∴原式＝tan10°tan20°＋tan20°＋tan10°＝(tan10°＋tan20°＋tan10°·tan20°)＝×＝1，故选A.
8．答案：D
解析：tan (α＋)＝tan＝＝1，故选D.
9．答案：A
解析：∵(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，∴1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB．于是＝1，故tan (A＋B)＝＝1，∵A，B为△ABC的内角，∴A＋B＝.
10．答案：BCD
解析：由题意得，，故A错误，B正确，
由于tan (α＋β)＝＝16，故C正确，又＝＝＝＝－8，故D正确．故选BCD.
11．答案：
解析：＝＝＝＝.
12．答案： －
解析：∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.又cosα＝，cos (α＋β)＝－，∴sinα＝，sin (α＋β)＝，∴sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cosα－cos (α＋β)sinα＝×－(－)×＝.∵0<α<，0<β<，cosα＝，sinβ＝，∴tanα＝，tanβ＝2，∴tan (α－β)＝＝＝－.
13．解析：∵tan (α－β)＝，tanβ＝－，∴tanα＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝.
∴tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝＝1.
∵0<α<，0<β<π，tanβ＝－>－1，∴<β<π，
∴－π<－β<－，∴－π<2α－β<－，
∴2α－β＝－.
14．解析：由题意，得cosα＝，cosβ＝，∵α，β为锐角，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝.
∴tanα＝7，tanβ＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝
＝＝－1.
∵0<α<，0<β<，∴0<α＋2β<，
∴α＋2β＝.
核心素养升级练
15．解析：tanA＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝－，而0°tanC＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝＝＝，而0°所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．8.2.3 倍角公式
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．sin 15°sin 75°的值是( )
A． B．
C． D．
2．sin4－cos4的值等于( )
A．－ B．－
C．D．
3．化简·cos28°的结果为( )
A．sin 28° B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cos 28°
4．函数y＝cos2(x＋)－sin2(x＋)的最小正周期为( )
A． B．
C．π D．2π
5．若sinθ＝，则sin (－2θ)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinx cos x(x∈R).
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)若cos ＝，α∈(0，π)，则下列结论正确的是( )
A．cos α＝
B．sin α＝
C．cos (2π－)＝－
D．cos (＋)＝－
8．(多选)下列各式中，值为的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．2sin215°－1
C．D．
9．(多选)若函数f(x)＝cos 2x－4a cos x－2a的最小值为－，则a的值可为( )
A．－1 B．－ C． D．
10．已知α∈(0，)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A． B．
C． D．
11.－＝( )
A．－2cos 5° B．2cos 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
12．(多选)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则下列关于f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)是最小正周期为π的奇函数
B．f(x)的最小值为－，最大值为
C．f(x)的最小值为0，最大值为
D．f(x)是最小正周期为的偶函数
13．已知＝，则sin 2x＝( )
A．－ B．－
C．D．
14．设函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2sin2x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈(，)时，求函数f(x)的值域．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.(数学运算命题)已知向量m＝(sinx，－1)，向量n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值，求锐角A.
8．2.3 倍角公式
必备知识基础练
1．答案：C
解析：sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，故选C.
2．答案：B
解析：sin4－cos4＝(sin2＋cos2)·(sin2－cos2)＝－(cos2－sin2)＝－cos＝－，故选B.
3．答案：A
解析：原式＝tan28°·cos28°＝sin28°，故选A.
4．答案：C
解析：函数y＝cos2(x＋)－sin2(x＋)＝cos(2x＋)＝－sin2x，所以该函数的最小正周期是T＝＝π.
5．答案：D
解析：根据诱导公式得：sin (－2θ)＝cos2θ，由二倍角公式可得，cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.故选D
6．解析：由cos2x＝cos2x－sin2x，sin2x＝2sinxcosx，
得f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin (2x＋)，
(1)f()＝－2sin (2×＋)＝－2sin＝2.
(2)f(x)的最小正周期是T＝＝π.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
关键能力综合练
7．答案：BD
解析：由α∈(0，π) ∈(0，)，所以sin＝＝＝.
因为cos＝，所以cosα＝2cos2－1＝2×－1＝－，A不正确；因为cos＝，sin＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝，B正确；因为cos (2π－)＝cos＝，C不正确；因为cos(＋)＝－sin＝－，D正确，故选BD.
8．答案：CD
解析：2sin15°cos15°＝sin30°＝，A不合题设；2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－，B不合题设；＝tan30°＝，C符合题设；＝＝＝＝，D符合题设．故选CD.
9．答案：BC
解析：由题设，f(x)＝2cos2x－4acosx－2a－1＝2(cosx－a)2－2a2－2a－1，
令t＝cosx∈[－1，1]，则f(x)＝g(t)＝2(t－a)2－2a2－2a－1，其开口向上且对称轴为t＝a，
当a<－1时，f(x)min＝g(－1)＝2a＋1＝－，则a＝－；
当－1≤a≤1时，f(x)min＝g(a)＝－2a2－2a－1＝－，则a＝或a＝－(舍)；
当a>1时，f(x)min＝g(1)＝1－6a＝－，则a＝不合前提；
综上，a＝－或a＝.故选BC
10．答案：B
解析：∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinαcosα＝2cos2α.
∵α∈(0，)，∴cosα≠0，∴2sinα＝cosα，
又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，故选B.
11．答案：C
解析：原式＝－＝(cos50°－sin50°)＝2×(cos50°－sin50°)＝2sin (45°－50°)＝－2sin5°.
12．答案：CD
解析：因为f(x)＝2cos2x·sin2x＝sin22x＝，且定义域为R，所以f(x)的最小正周期为，且为偶函数，最小值为0，最大值为，故选CD.
13．答案：A
解析：因为＝，所以＝，所以cosx＋sinx＝，所以1＋sin2x＝，所以sin2x＝－，故选A.
14．解析：(1)f(x)＝1＋sin2x＋2×－＝1＋sin2x－cos2x＝2sin (2x－)＋1，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由则－即函数f(x)的值域为(1－，3].
核心素养升级练
15．解析：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋sinxcosx＋＝＋sin2x＋＝sin2x－cos2x＋2＝sin (2x－)＋2，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin (2x－)＋2.当x∈时，－≤2x－≤.由正弦函数的图象可知，当2x－＝时，f(x)取得最大值3，即f(A)＝3，此时2A－＝，所以A＝.8.2.4 三角恒等变换的应用
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．若π<α<2π，则化简 的结果是( )
A.sin B．cos
C．－cos D．－sin
2．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝( )
A.B．－
C． D．－
3．若cos 2θ＝－，则＝( )
A．－ B．
C．－ D．
4．若将角θ的终边绕原点逆时针旋转90°后与单位圆的交点的纵坐标为－，则cos2θ的值为( )
A．－ B．
C．D．－
5．已知sin (＋α)＝－，则sin 2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
6．已知函数f(x)＝cos4x＋2sinx cos x－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．设a＝cos6°－sin 6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a8．函数f(x)＝sin x cos x＋(1＋tan2x)cos2x的最小正周期和最大值分别是( )
A．π和 B．和1
C．π和1 D．2π和
9．(多选)在y＝tan的定义域内，下列各式中恒成立的是( )
A．tan ＝ B．tan ＝－
C．tan ＝ D．tan ＝
10．(多选)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x), 则下列说法正确的是( )
A．f(x)的周期为π
B．若＋＝2，则x1＋x2＝，k∈Z
C.f(x)在区间上是增函数
D．y＝f(x)的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z
11．已知sin α＝，α∈(，π).
(1)求sin2的值；
(2)若sin(α＋β)＝，β∈(0，)，求β的值．
12．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若任意x∈恒成立，f(x)≤m，求m的范围．
13．已知函数f(x)＝2cos2x＋2cos (2x＋)＋1.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
14．已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6.
(1)求常数m的值；
(2)当x∈R时，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)，求函数g(x)的单调递减区间对称中心．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋2cos2(x－).
(1)求f(x)的最小正周期以及f()的值；
(2)若g(x)＝f(－x)，求g(x)在区间的取值范围．
8．2.4 三角恒等变换的应用
必备知识基础练
1．答案：C
解析：∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴＝＝＝－cos，故选C.
2．答案：D
解析：由题意，得<<，所以sin＝－＝－＝－，故选D.
3．答案：A
解析：由题意，cos2θ＝＝＝－.故选A.
4．答案：A
解析：由题意可得sin (θ＋)＝－，则cosθ＝－，
从而有cos2θ＝2cos2θ－1＝－.故选A.
5．答案：D
解析：因为sin(＋α)＝－，
所以sin (＋α)＝，所以sin2α＝－cos (＋2α)，
＝－cos，
＝－＝－.故选D.
6．解析：(1)由f(x)＝cos4x＋2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)＋sin2x
＝cos2x＋sin2x＝sin (2x＋)，
则f(x)的最小正周期为＝π.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单词递减区间为(k∈Z).
(3)当x∈时，≤2x＋≤，
当2x＋＝时，即当x＝时，函数f(x)取最小值，且f(x)min＝sin＝－1.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：由题易知a＝sin24°，b＝·＝sin26°，c＝sin25°，所以a8．答案：A
解析：f(x)＝sinxcosx＋(1＋tan2x)cos2x＝sin2x＋1，
∴f(x)的最小正周期为π，最大值为.
9．答案：CD
解析：由tan＝±知A、B不恒成立，C、D显然恒成立，故选CD.
10．答案：AB
解析：f(x)＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝－(cos2x－sin2x)＝－cos2x，故周期T＝＝π，A选项正确；注意到＝1，于是由＋＝2可知，＝＝1，即＝＝1，解得x1＝，x2＝，k1，k2∈Z，则x1＋x2＝，即x1＋x2＝，k∈Z，B选项正确；注意到f(－)＝f()＝0，故在区间上不单调，C选项错误；令2x＝kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z为对称轴，D选项错误．故选AB.
11．解析：(1)因为sinα＝，α∈(，π)，所以cosα＝－＝－，从而sin2＝＝.
(2)因为α∈(，π)，β∈(0，)，所以α＋β∈(，)，所以cos (α＋β)＝－＝－，所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cosα－cos (α＋β)·sinα＝×(－)－(－)×＝，∴β＝.
12．解析：(1)∵f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－＝2sin (2x＋)－，
∴f(x)的最小正周期为π；
(2)∵0≤x≤，
∴≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝f()＝2－，
x∈，使f(x)≤m恒成立 f(x)max≤m，
∴m≥2－.
13．解析：(1)因为f(x)＝2cos2x＋2cos (2x＋)＋1＝4cos (2x＋)cos＋1＝－2cos (2x＋)＋1＝－2cos＋1＝2sin (2x＋)＋1，
所以f()＝2sin＋1＝＋1.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
14．解析：(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋1＋cos2x＋m＝2sin (2x＋)＋m＋1，
由x∈，2x＋∈，所以在区间上f(x)的最大值为2＋m＋1＝6，解得m＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin (2x＋)＋4.
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到g(x)＝2sin (4x＋)＋4.
要求函数g(x)的单调递减区间，只需2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，解得，k∈Z.
所以g(x)的单调递减区间为，k∈Z，
要求函数g(x)的对称中心，只需4x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
所以g(x)的对称中心为，k∈Z.
核心素养升级练
15．解析：(1)∵f(x)＝sin (2x＋)＋2cos2(x－)＝sin(2x＋)＋cos (2x－)＋1＝sin (2x＋)＋cos (2x＋－)＋1＝2sin (2x＋)＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，
f()＝2sin (2×＋)＋1＝2×＋1＝＋1.
(2)∵f(x)＝2sin (2x＋)＋1，
∴g(x)＝f(－x)＝2sin＋1＝2sin (2x－)＋1，
由x∈可得，2x－∈，
∴sin (2x－)∈，
∴g(x)＝2sin (2x－)＋1∈[－1，2]，
∴g(x)在区间的取值范围为[－1，2].