2．1 坐标法
1．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为( )
A．1 B．2C．3 D．4
2．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则||＝( )
A．－3 B．3C．6 D．－6
3．已知A(－1，2)，B(3，－4)，则线段AB的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(－2，3) C．(2，－3) D．(，－)
4．点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点M为( )
A．(1，6) B．(6，1) C．(1，－6) D．(－1，6)
5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为( )
A．B．C．D．
6．在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
7．(多选)数轴上三点A，B，C，点A(－1)，点B(2)，点C到点A和点B距离之和小于4，则点C坐标可以是( )
A．－B．0C．2D．
8．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2B．3＋2C．6＋3D．6＋
9．(多选)对于，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
10．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为( )
A．5B．2C．5D．10
11．已知点A(2，5)，B(3，－2)，则||＝________，与向量同向的单位向量为____________．
12．△ABC中，A(1，－2)，B(－3，2)，C(－4，12)，其重心坐标为________，AB边的中线长为________．
13．(1)已知点A(－1，－2)，B(1，3)，P为x轴上的一点，求|PA|＋|PB|的最小值；
(2)已知点A(2，2)，B(3，4)，P为x轴上一点，求||PB|－|PA||的最大值．
14．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
2．1 坐标法
必备知识基础练
1．答案：C
解析：设A(xA)，由＝xB－xA，得－5－xA＝－8，解得xA＝3.故选C.
2．答案：B
解析：由题意，向量的坐标为－1－(－4)＝3，所以||＝3.故选B.
3．答案：A
解析：由A(－1，2)，B(3，－4)，利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标为(，)，即(1，－1).故选A.
4．答案：D
解析：设M(x，y)，则＝1，＝4，∴x＝－1，y＝6，∴点M(－1，6).故选D.
5．答案：A
解析：因为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，所以边AB的中点D的坐标为(－1，－1)，所以|CD|＝＝.故选A.
6．答案：(2，－7)或(－3，－5)
解析：设C(a，b)，则AC的中点为(，)，BC的中点为(，)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则所以C点坐标为(2，－7)或(－3，－5).
关键能力综合练
7．答案：ABC
解析：如图，设C(m)，由A(－1)，B(2)，得|AC|＋|BC|＝|m＋1|＋|m－2|<4，所以－
8．答案：C
解析：由题意知|AB|＝＝3，
|AC|＝＝3，|BC|＝＝3.
所以△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.故选C.
9．答案：BCD
解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确．故选BCD.
10．答案：C
解析：点A(－3，5)关于x轴的对称点为C(－3，－5)，则光线从A到B经过的路程为CB的长度，即|CB|＝＝5.故选C.
11．答案：5 (，－)
解析：由向量的坐标定义，可知＝(3－2，－2－5)＝(1，－7).所以||＝＝5，
所以与向量同向的单位向量为e＝＝(，－)＝(，－).
12．答案：(－2，4) 3
解析：∵△ABC中，A(1，－2)，B(－3，2)，C(－4，12)，
∴xG＝＝－2，yG＝＝4，
∴重心坐标为(－2，4)；
又∵AB中点的横坐标为x＝＝－1，纵坐标为y＝＝0，
∴AB的中点为(－1，0)，
∴AB边的中线长为＝3.
核心素养升级练
13．解析：(1)由题设知，点A在第三象限，点B在第一象限，连接PA，PB，则|PA|＋|PB|≥|AB|.
所以当P为直线AB与x轴的交点时，|PA|＋|PB|取得最小值为|AB|，
而|AB|＝＝，故|PA|＋|PB|的最小值为.
(2)由题设知，A，B两点同处x轴上方，对于x轴上任意一点P，当P，A，B不共线时，在△ABP中，||PB|－|PA||<|AB|，而|AB|＝＝，
∴||PB|－|PA||<.
当P为直线AB与x轴的交点，即P，A，B共线时，||PB|－|PA||＝|AB|＝，
∴||PB|－|PA||的最大值为.
14．证明：
如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为坐标原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝c，
又由中点坐标公式，
可得D(，)，E(，)，
所以|DE|＝＝，
所以|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．2．2.1 直线的倾斜角与斜率
1．过A(1，－3)，B(－2，0)两点的直线的倾斜角是( )
A．45° B．60° C．120° D．135°
2．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
3．若直线l的倾斜角α满足≤α≤，则其斜率k的取值范围为( )
A．(1，] B．[－，－1] C．[－，－] D．[，]
4．如图所示，三条直线l1，l2，l3，且三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k15．若A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)三点共线，则m的值为________．
6．若直线l的一个方向向量a＝(sin ，cos )，则直线l的倾斜角θ＝________．
7．已知A(0，2)，B(2，1)，过点C(1，0)且斜率为k的直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是( )
A．[－2，1] B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
8．(多选)直线l过点P(1，3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(－1，－4)，B(2，－3)，则k可以取( )
A．－8 B．－5 C．3 D．4
9．设直线l的斜率为k，且－A．[0，]∪(，π) B．[0，)∪[，π) C．[，) D．(，]
10．已知A(3，1)，B(1，5)，过点C(－1，－1)且斜率为k的直线l与线段AB相交，则k的取值范围是________．
11．若直线l的一个法向量为n＝(2，1)，则直线l的斜率k＝________．
12．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
13．已知正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点P(x，y)是△ABC内部及其边界上一点，则的最大值为( )
A． B． C． D．
14．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
2．2.1 直线的倾斜角与斜率
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由已知直线的斜率为k＝＝tanα＝－1，0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.故选D.
2．答案：ABD
解析：A，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但是与x轴垂直的直线没有斜率，因此不正确；
B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，因此不正确；
C，一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°，正确；
D，一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα，不正确，因为α＝时，斜率不存在．故选ABD.
3．答案：C
解析：因为直线l的倾斜角α满足≤α≤，且k＝tanα，又tan＝－，tan＝－，函数y＝tanx在(，π)上单调递增，
所以－≤k≤－.故选C.
4．答案：B
解析：由图可知：k3<0，k1>0，k2>0，且直线l1的倾斜角小于直线l2的倾斜角，所以k1k1>k3.故选B.
5．答案：0
解析：由A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)三点共线，可知AB所在的直线与AC所在的直线平行，又∵kAB＝＝－1，kAC＝＝－.由已知可得－1＝－，解得m＝0.
6．答案：
解析：因为直线l的一个方向向量a＝(sin，cos)，
所以k＝＝＝＝tan，
所以直线l的倾斜角θ＝.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：因为过点C(1，0)且斜率为k的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，k≥kBC或k≤kAC，
因为kBC＝＝1或kAC＝＝－2，
所以k≥1或k≤－2.故选D.
8．答案：AD
解析：由于直线l过点P(1，3)且斜率为k，与连接两点A(－1，－4)，B(2，－3)的线段有公共点，则kPA＝，kPB＝－6，由图可知，k∈(－∞，－6]∪[，＋∞)时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．故选AD.
9．答案：A
解析：因为直线l的斜率为k，且－10．答案：[，3]
解析：由题意，过点C(－1，－1)且斜率为k的直线l与线段AB相交，
当l过B点时，k＝＝3；当l过A点时，k＝＝；
∴由图知：k的取值范围为[，3].
11．答案：－2
解析：根据题意，直线l的斜率为k，则其一个方向向量为m＝(1，k)，若直线l的一个法向量为n＝(2，1)，则m·n＝2＋k＝0，解得k＝－2.
12．解析：①当点P在x轴上时，设点P(a，0)，
因为A(1，2)，所以kPA＝＝.
又因为直线PA的倾斜角为60°，
所以tan60°＝，
解得a＝1－.
所以点P的坐标为(1－，0).
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得，b＝2－，
所以点P的坐标为(0，2－).
综上，符合条件的点P的坐标为(1－，0)或(0，2－).
核心素养升级练
13．答案：B
解析：正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)且顶点C在第一象限，故顶点C的坐标为(1＋，2)，
可看作△ABC内部及其边界上一点与点(－1，0)的连线的斜率，
当P运动到点B(1，3)时，直线的斜率最大，故的最大值为＝.故选B.
14．解析：(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.
因为倾斜角的取值范围是[0，π)，
所以AB的倾斜角是0，BC的倾斜角是，AC的倾斜角是.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，
当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，
即D在线段AB上，
此时k由kCA增大到kCB，
所以k的变化范围为[，].2．2.2 直线的方程
1．过点P(，－2)且倾斜角为135°的直线方程为( )
A．y＋4＝3x B．y＝x－ C．x＋y＝ D．x＋y＋＝0
2．直线－＋＝－1在x轴、y轴上的截距分别为( )
A．2，3 B．－2，3 C．－2，－3 D．2，－3
3．已知直线l的倾斜角是45°，且过点(2，－5)，则直线l在y轴上的截距是________．
4．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________________．
5．已知直线l经过点P(4，3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________________．
6．直线y＝kx＋2k－3(k∈R)经过的定点是________．
7．直线l经过点P(－2，3)，与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为线段AB的中点时，直线l的方程为( )
A．3x－y－4＝0 B．3x＋2y－12＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．3x－2y＋12＝0
8．(多选)已知直线l过点P(－1，1)，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是( )
A．直线l与直线l1的斜率互为相反数
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线在y轴上的截距为－1
D．这样的直线l有两条
9．直线l过点P(1，3)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为______________．
10．过点P(1，2)的直线l1与过原点O的直线l2，当l1与l2平行且距离最大时直线l1的方程为________________；若l1与两坐标轴的截距相等，直线l1的方程为________________．
11．请分别确定满足下列条件的直线方程．
(1)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程；
(2)求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．
12．在△ABC中，顶点A(1，2)，B(－1，0)，BC边所在直线的方程为x＋3y＋1＝0.
(1)求过点A且平行于BC的直线方程；
(2)求线段AB的垂直平分线方程．
13．已知A(－3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0) C．(，0) D．(0，)
14．已知直线l过点P(1，2)，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若△OAB的面积为，求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积的最小值．
2．2.2 直线的方程
必备知识基础练
1．答案：D
解析：∵直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝－1，又直线过点P(，－2)，∴直线的点斜式为y＋2＝－1·(x－)，即x＋y＋＝0.故选D.
2．答案：D
解析：直线方程－＋＝－1，即＋＝1，根据直线方程的截距式，可得它在x轴，y轴上的截距分别为2，－3.故选D.
3．答案：－7
解析：直线l的倾斜角是45°，且过点(2，－5)，故直线的方程为y＋5＝x－2，整理得y＝x－7，所以直线在y轴上的截距为－7.
4．答案：x－3y＋24＝0
解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.
5．答案：y＝x或x＋y－7＝0
解析：∵直线l经过点P(4，3)，且在两坐标轴上的截距相等，
当直线经过原点时，斜率为＝，直线的方程为y＝x，当直线不经过原点时，设方程为x＋y－k＝0，
把点P(4，3)代入，求得k＝7，此时直线的方程为x＋y－7＝0，所以直线的方程为y＝x或x＋y－7＝0.
6．答案：(－2，－3)
解析：因为y＝kx＋2k－3，即y＋3＝k(x＋2)，令x＋2＝0，即x＝－2，y＝－3，所以过定点(－2，－3).
关键能力综合练
7．答案：D
解析：设经过点P(－2，3)的直线的方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0，解得y＝2k＋3；令y＝0，解得x＝.
故A(，0)，B(0，2k＋3)，
由于P为AB的中点，故＝3，解得k＝，
所以直线l的方程为y－3＝(x＋2)，
整理得3x－2y＋12＝0.故选D.
8．答案：ABC
解析：由题意，可得直线l与直线l1的倾斜角互补，即直线l的斜率为－2，又直线l过点(－1，1)，则直线l的方程为y－1＝－2(x＋1)，即y＝－2x－1.故选ABC.
9．答案：x－2y＋5＝0
解析：因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率k＝，所以l的方程为y－3＝(x－1)，即其一般式方程为x－2y＋5＝0.
10．答案：x＋2y－5＝0 x＋y－3＝0或y＝2x
解析：过点P(1，2)的直线l1与过原点O的直线l2，当l1与l2平行且距离最大时，直线OP垂直于直线l1，
故直线l1的斜率为－＝－＝－，
故直线l1的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
若l1与两坐标轴的截距相等，
①当截距不为0时，设直线l1的方程为＋＝1，
把点P(1，2)代入，可得＋＝1，
所以a＝3，直线l1的方程为x＋y－3＝0；
②当截距为0时，直线l1的方程为y＝2x.
即直线l1的方程为y＝2x或x＋y－3＝0.
11．解析：(1)设与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为2x＋y＋m＝0，
把(1，0)代入2x＋y＋m＝0，可得2＋m＝0，解得m＝－2.
所求直线方程为2x＋y－2＝0.
(2)方法一 由题意知：可设l的方程为3x－4y＋m＝0，
则l在x轴，y轴上的截距分别为－，.
由－＋＝1知，m＝－12.
所以直线l的方程为3x－4y－12＝0.
方法二 显然直线在两坐标轴上截距不为0，则设直线方程为＋＝1，
由题意得解得
所以直线l的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.
12．解析：(1)直线BC的斜率为－，
所以过点A且平行于BC的直线方程为y－2＝－(x－1)，y＝－x＋.
(2)线段AB的中点为(0，1)，
直线AB的斜率为＝1，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为－1，
所以线段AB的垂直平分线为y－1＝－x，即y＝－x＋1.
核心素养升级练
13．答案：B
解析：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴交于M点，连接BM，此时|AM|＋|BM|为最短，由B与B′关于x轴对称，B(2，2)，所以B′(2，－2)，又A(－3，8)，则直线AB′的方程为y＋2＝(x－2)，化简得y＝－2x＋2，令y＝0，解得x＝1，所以M(1，0).故选B.
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14．解析：(1)方法一 设直线l：＋＝1(a，b>0)，
则，解得或，
所以直线l：x＋2y－5＝0或8x＋y－10＝0.
方法二 设直线l：y－2＝k(x－1)，k<0，则A(1－，0)，B(0，2－k)．
则S＝(1－)(2－k)＝ 2k2＋17k＋8＝0，∴k＝－或－8.
所以直线l：x＋2y－5＝0或8x＋y－10＝0.
(2)方法一 ∵1＝＋≥2，∴ab≥8，∴S＝ab≥4，此时a＝2，b＝4.
∴△ABC面积的最小值为4，此时直线l：2x＋y－4＝0.
方法二 ∵k<0，
∴S＝(1－)(2－k)＝[4＋(－k)＋(－)]≥[4＋2]＝4，
此时k＝－2，∴△ABC面积的最小值为4，此时直线l：2x＋y－4＝0.2．2.3 两条直线的位置关系
1．已知直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，则l1与l2的交点坐标是( )
A．(1，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(－2，2)
2．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是( )
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
3．已知直线l1：x＋2y＋1＝0，l2：2x＋4y＋1＝0，则l1，l2的位置关系是( )
A．垂直 B．相交 C．平行 D．重合
4．平行于直线y＝－x且过点(2，1)的直线方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y＝0 D．x＋2y－4＝0
5．过点A(1，2)，且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线l的方程是( )
A．2x－y＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－5＝0
6．已知直线l1：(m－1)x＋6y＋2＝0，l2：x＋my＋1＝0，m为常数．若l1⊥l2，则m的值为________，若l1∥l2，则m的值为________．
7．过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－1＝0
8．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
9．(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是( )
A．－1 B．1 C．2 D．5
10．设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．“m＝1”是“直线l1：(m－4)x＋my＋1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y－2＝0互相垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．过点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点，且与x＋2y－3＝0平行的直线方程是____________．
13．若直线kx－k＋y＋1＝0与直线x＋3y－3＝0交点在第一象限，则实数k的取值范围为( )
A．(－2，) B．(－，0)
C．(－∞，－)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(，＋∞)
14．在 ABCD中，已知A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).
(1)求点D的坐标；
(2)试判定 ABCD是否为菱形．
2．2.3 两条直线的位置关系
必备知识基础练
1．答案：A
解析：由题意知， ，所以两直线的交点为(1，1).故选A.
2．答案：A
解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan60°＝，直线l2的斜率k2＝＝.因为k1＝k2，所以l1∥l2，或l1，l2重合．故选A.
3．答案：C
解析：由l1：y＝－x－，l2：y＝－x－知，这两条直线的斜率相等截距不等，即l1，l2平行，故选C.
4．答案：D
解析：与直线y＝－x平行的直线l可设为：y＝－x＋b(b≠0)，直线l过点(2，1)，所以有1＝－×2＋b b＝2 y＝－x＋2 x＋2y－4＝0.故选D.
5．答案：D
解析：设直线l的方程为x＋2y＋m＝0，把点(1，2)代入上述方程可得1＋4＋m＝0，解得m＝－5，所以直线l的方程为x＋2y－5＝0.故选D.
6．答案： －2
解析：根据题意，直线l1：(m－1)x＋6y＋2＝0，l2：x＋my＋1＝0，m为常数，若l1⊥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝.若l1∥l2，则m(m－1)－6＝0，整理得m2－m－6＝0，解得m＝3或－2，当m＝3时，直线l1和直线l2重合，故m＝－2.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：设直线的方程为x－2y＋c＝0(c≠3)，把点P(－1，3)坐标代入直线方程得－1－6＋c＝0，∴c＝7.所以所求的直线方程为x－2y＋7＝0.故选A.
8．答案：BCD
解析：根据两条直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则两直线平行．当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选BCD.
9．答案：CD
解析：因为三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x＋y＝0和x－y＝0交于原点，无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.故选CD.
10．答案：A
解析：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”，∴a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选A.
11．答案：A
解析：依题意，l1⊥l2 m(m－4)＋m(m＋2)＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“直线l1：(m－4)x＋my＋1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y－2＝0互相垂直”的充分不必要条件．故选A.
12．答案：x＋2y＋6＝0
解析：设对称点坐标是(a，b)，
则
解得a＝－4，b＝－1.
即对称点坐标为(－4，－1).
设与x＋2y－3＝0平行的直线为x＋2y＋C＝0(C≠－3).
将(－4，－1)代入得－4＋2×(－1)＋C＝0，得C＝6，所求方程为x＋2y＋6＝0.
核心素养升级练
13．答案：C
解析：当k＝时，kx－k＋y＋1＝＋y＋＝0，与x＋3y－3＝0平行，不合题意，∴k≠.
由题设，，解得，
∴k>2或k<－.故选C.
14．解析：(1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D(－1，6).
(2)是．因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，
所以 ABCD为菱形．2．2.4 点到直线的距离．
1．点(1，1)到直线x－y－1＝0的距离是( )
A． B． C．1 D．
2．已知点P(－2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C．2 D．3
3．已知直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：x－y＋3＝0，则l1与l2之间的距离是( )
A． B． C．2 D．2
4．(多选)已知点(－2，1)到直线ax＋(a－2)y＋5＝0的距离为，则实数a的值可以为( )
A．3 B．1 C．－ D．－1
5．两平行直线x＋2y－1＝0与2x＋4y＋3＝0间的距离为( )
A． B． C． D．
6．已知直线l过点(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为________________．
7．已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴，y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：3x＋3y－1＝0间的距离为( )
A． B． C．或 D．0或
8．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A． B．－ C．－或－ D．－或
9．(多选)点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8，0) B．(－12，0) C．(－8，0) D．(12，0)
10．设m∈R，直线x＋my＋1＝0恒过定点A，则点A到直线mx－y－2m＋2＝0的距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．
11．已知点P(1，2)，向量m＝(－，1)，过点P作以向量m为方向向量的直线l，则点A(3，1)到直线l的距离为( )
A．－1 B．1－ C．2＋ D．2－
12．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
13．已知m∈R，A(3，2)，直线l：mx＋y＋3＝0，点A到直线l的最大距离为________，若两点A(3，2)和B(－1，4)到直线l的距离相等，则实数m等于________．
14．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．
2．2.4 点到直线的距离
必备知识基础练
1．答案：B
解析：由点到直线距离公式得d＝＝＝.故选B.
2．答案：B
解析：由题意，|PQ|的最小值为点P(－2，3)到直线l：3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝.故选B.
3．答案：A
解析：由平行线间的距离公式得d＝＝.故选A.
4．答案：BC
解析：根据题意，得＝，即3a2－2a－1＝0，解得a＝1或a＝－.故选BC.
5．答案：B
解析：直线x＋2y－1＝0化为2x＋4y－2＝0，于是得d＝＝＝，所以两平行直线x＋2y－1＝0与2x＋4y＋3＝0间的距离为.故选B.
6．答案：x＝1或3x－4y＋5＝0
解析：当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x＝1，满足题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，化为kx－y＋2－k＝0.
由题意可得＝1，解得k＝，
所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，
化为3x－4y＋5＝0.
综上可得，直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：因为直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴，y轴上的截距相等，所以＝，解得m＝2或m＝－4(舍去).所以直线l1：x＋y－3＝0，即3x＋3y－9＝0.则直线l1与直线l2：3x＋3y－1＝0间的距离为＝.故选A.
8．答案：C
解析：由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－或－．
9．答案：AB
解析：设点P的坐标为(a，0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，解得a＝8或a＝－12.所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0).故选AB.
10．答案：D
解析：x＋my＋1＝0恒过定点A(－1，0)，直线mx－y－2m＋2＝0变形为y－2＝m(x－2)，恒过点B(2，2)，所以点A(－1，0)到直线mx－y－2m＋2＝0的距离最大值即为|AB|的长，其中|AB|＝＝.故选D.
11．答案：B
解析：以向量m＝(－，1)为方向向量的直线l的斜率k＝－，则过点P的直线l的方程为y＝－(x－1)＋2，即x＋y－1－2＝0，
则点A(3，1)到直线l的距离d＝＝1－.故选B.
12．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2.设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
核心素养升级练
13．答案： 或－6
解析：因为直线l：mx＋y＋3＝0恒过定点(0，－3)，
所以点A(3，2)到直线l的最大距离为＝；
因为两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0距离相等，
所以＝，
解得m＝或m＝－6.
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14．解析：如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
所以a＋3b－12＝0. ①
又由于线段BB′的中点坐标为(，)，且在直线l上，
所以3×－－1＝0.
即3a－b－6＝0， ②
解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)，
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
所以由解得
即直线l与AB′的交点坐标为(2，5).
所以点P(2，5)为所求．2．3.1 圆的标准方程
1．已知某圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，则该圆的圆心坐标与半径分别是( )
A．(－1，0)，5 B．(1，0)，5 C．(1，0)， D．(－1，0)，
2．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－ C．1 D．－1
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－2)2＋(y－3)2＝1
4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝9与圆C2关于x轴对称，则C2的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝9 D．(x－2)2＋(y－1)2＝9
5．点P(m2，3)与圆(x＋1)2＋y2＝9的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定
6．已知点P是圆心为A(4，－3)，半径为1的圆上一点，点P到原点的距离的最小值为________．
7．经过O(0，0)，A(4，0)，B(0，2)三点的圆的标准方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝ D．(x－2)2＋(y－1)2＝
8．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定
9．已知O为坐标原点，P为圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(常数b>0)上的动点，若|OP|的最大值为3，则b的值为( )
A．1 B． C． D．2
10．若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．－11．已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是____________，最小值是____________．
12．已知圆P过点A(1，0)，B(4，0).
(1)点C(5，2)，直线l经过点A且平行于直线BC，求直线l的方程；
(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程．
13．方程y＝－表示的曲线是( )
14．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．
(1)求的最大值、最小值；
(2)求x－2y的最大值、最小值．
2．3.1 圆的标准方程
必备知识基础练
1．答案：C
解析：因为圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(1，0)，半径为.故选C.
2．答案：A
解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.
3．答案：A
解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
4．答案：A
解析：圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝9的圆心(1，2)关于x轴对称的点为(1，－2)，故圆C2的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.故选A.
5．答案：B
解析：因为(m2＋1)2＋32>9，所以点P(m2，3)在圆(x＋1)2＋y2＝9外．故选B.
6．答案：4
解析：由题意知，|OA|＝＝5，当P，O，A三点共线，且点P在点O和点A之间时，点P到原点的距离最小，最小值为5－r＝5－1＝4.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：设圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则，
解得a＝2，b＝1，r＝，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.故选B.
8．答案：C
解析：因为sin2θ＋cos2θ＝1>，所以点(sinθ，cosθ)在圆外．故选C.
9．答案：C
解析：圆C：(x－1)2＋(y－b)2＝1的圆心为C(1，b)，半径为1，所以圆C上的点P到原点的最大距离为|OP|＝|OC|＋1＝3，即＋1＝3，解得b＝±，又b>0，所以b的值为.故选C.
10．答案：D
解析：由已知得(4a)2＋(3a)2≤25，解得a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.故选D.
11．答案：(4＋) (4－)
解析：点A(－1，0)，B(0，2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××(＋1)＝(4＋)，最小值为××(－1)＝(4－).
12．解析：(1)直线l过点A(1，0)，斜率为kl＝kBC＝＝2，
则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)由圆的对称性可知，圆心P必在线段AB的中垂线上，
圆心P的横坐标为＝，
即圆心为P(，2)，
所以圆P的半径r＝|AP|＝＝，
所以圆的标准方程为(x－)2＋(y－2)2＝.
核心素养升级练
13．答案：A
解析：对y＝－两边平方整理得x2＋y2＝4(y≤0)，所以方程表示圆心为坐标原点，半径为2的圆在x轴及下方的部分，A选项满足．故选A.
14．解析：(1)设k＝，则y－2＝kx－k，
即直线方程为kx－y＋2－k＝0，
因为P(x，y)为圆C上任一点，
所以圆心(－2，0)到直线的距离d＝＝≤1，
即|2－3k|≤，
平方得8k2－12k＋3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为.
(2)设b＝x－2y，即x－2y－b＝0，
因为P(x，y)为圆C上任一点，
所以圆心(－2，0)到直线的距离d＝＝≤1，
即|b＋2|≤，－2－≤b≤－2，
即x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.2．3.2 圆的一般方程
1．圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心坐标与半径分别为( )
A．(－2，1)，r＝3 B．(－2，1)，r＝9
C．(2，－1)，r＝3 D．(2，－1)，r＝9
2．方程x2＋y2＋2ax－by＋4＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b的值依次为( )
A．2，4 B．－2，4 C．2，－4 D．－2，－4
3．已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)，则△ABC的外接圆的一般方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0
C．x2＋y2－2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＋1＝0
4．经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为( )
A．x2＋y2－6y＝0 B．x2＋y2＋6y＝0
C．x2＋y2＋6x＝0 D．x2＋y2－6x＝0
5．若方程x2＋y2＋6x＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．(－∞，9) B．(－∞，－9) C．(9，＋∞) D．(－9，＋∞)
6．若点R(－1，2)在圆C：x2＋y2－2x－2y＋a＝0的外部，则实数a的取值范围为________．
7．已知直线l：x＋y－1＝0是圆x2＋y2－4x＋my＋1＝0的一条对称轴，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知方程x2＋y2＋kx－2y－k2＝0表示的圆中，当圆面积最小时，此时k＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
9．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6
10．(多选)若点M(m，m－1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0内，则m的值可以为( )
A．－ B． C．－2 D．3
11．已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，求圆C的一般方程．
12．已知方程x2＋y2－2x＋4y＋4m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，求圆F的一般方程．
13．已知x，y满足x2－4x－4＋y2＝0，则x2＋y2的最大值为( )
A．12＋8 B．12－8 C．12 D．8
14．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
2．3.2 圆的一般方程
必备知识基础练
1．答案：C
解析：圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，则其圆心坐标为(2，－1)，半径为3.故选C.
2．答案：B
解析：因为方程x2＋y2＋2ax－by＋4＝0，即(x＋a)2＋(y－)2＝a2＋－4表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，所以a＝－2，＝2，且a2＋－4＝4，则a，b的值依次为－2，4.故选B.
3．答案：C
解析：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
由题意可得：，解得，
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－2x－4y＝0.故选C.
4．答案：D
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
因为圆心在x轴上，所以－＝0，即E＝0.
又圆经过点A(1，)和B(2，－2)，
所以即
解得
故所求圆的一般方程为x2＋y2－6x＝0.故选D.
5．答案：A
解析：由x2＋y2＋6x＋m＝0，得(x＋3)2＋y2＝9－m>0，则m<9.故选A.
6．答案：(－3，2)
解析：因为点R(－1，2)在圆C：x2＋y2－2x－2y＋a＝0的外部，
所以1＋4＋2－4＋a>0，解得a>－3，
又方程x2＋y2－2x－2y＋a＝0表示圆，
所以(－2)2＋(－2)2－4a>0，解得a<2，
故实数a的取值范围为－3关键能力综合练
7．答案：B
解析：由已知圆的圆心坐标为(2，－)，直线l是圆的一条对称轴，经过圆心，所以2－－1＝0，m＝2.此时方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝4.符合题意．故选B.
8．答案：B
解析：由x2＋y2＋kx－2y－k2＝0，得(x＋)2＋(y－1)2＝＋1，易知当k＝0时，圆的半径最小，即圆的面积最小．故选B.
9．答案：ABD
解析：圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，
则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
圆的圆心为(4，－3)，半径为5.
令x＝0，得y2＋6y＝0，则y1＝0，y2＝6，|y2－y1|＝6，所以圆M被y轴截得的弦长为6.同理，圆M被x轴截得的弦长为8，显然选项C不正确，A，B，D均正确．故选ABD.
10．答案：AB
解析：因为点M(m，m－1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0内，所以m2＋(m－1)2－2m＋4(m－1)＋1<0，即m2<1，则－111．解析：线段AB的中点坐标为(2，4)，直线AB的斜率kAB＝＝1，
则线段AB的垂直平分线的方程为y－4＝－(x－2)，
即x＋y－6＝0.
由，解得.
所以圆C的圆心为(3，3)，半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝10，即x2＋y2－6x－6y＋8＝0.
12．解析：(1)若此方程表示圆，则(－2)2＋42－4×4m>0，解得m<，
即实数m的取值范围是(－∞，).
(2)由(1)可知m＝1，
此时圆E为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆心坐标为E(1，－2)，半径为1，
因为圆F和圆E关于y轴对称，
所以圆F圆心坐标是(－1，－2)，半径是1，
故圆F的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，
化为一般方程为x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0.
核心素养升级练
13．答案：A
解析：由x2－4x－4＋y2＝0得(x－2)2＋y2＝8，
对应的轨迹是以(2，0)为圆心，半径为2的圆，
x2＋y2的几何意义是圆上的点到原点的距离的平方，
圆心到原点的距离d＝2，
则圆上的点到原点的距离的最大值为2＋2，
则(2＋2)2＝12＋8.故选A.
14．解析：(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
所以圆心为(1－m，2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，
且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.
所以不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．2．3.3 直线与圆的位置关系
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．(多选)已知圆M：x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，直线l：x－y＋2＝0，则( )
A．圆心M的坐标为(2，1) B．圆M的半径为3
C．直线l与圆M相交 D．圆M上的点到直线l的距离的最大值为3＋
3．在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，已知过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1，3]
C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
5．过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程是____________(用一般式表示).
6．已知圆O：x2＋y2＝1和点M(－4，－1).
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线x－2y＋12＝0截得的弦长为8的圆M的方程．
7．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为( )
A． B． C． D．
8．已知直线l：x＋y－4＝0上动点P，过点P向圆x2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值是( )
A． B． C．2－1 D．2
9．(多选)已知直线l：(m＋1)x＋(m－1)y－2m＝0(m∈R)，圆O：x2＋y2＝1，则( )
A．直线l恒过定点(1，1)
B．当直线l与圆O相切时，m＝1
C．当m＝时，直线l被圆O截得的弦长为
D．当m＝2时，直线l上存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆与圆O相交
10．已知圆C经过点A(－1，0)和B(5，0)，且圆心在直线x＋2y－2＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l过点D(－1，1)，且与圆C相切，求直线l的方程；
(3)设直线l′：x＋y－1＝0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求△PMN的面积的最大值．
11．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的直线l′与圆A相交于M，N两点．
(1)求圆A的标准方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l′的方程．
12.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋2y＋2a＝0.
(1)当直线l与圆C相交，求a的取值范围；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程；
(3)已知点P(2，0)，过点P作圆C的切线，求出切线方程．
13．若实数x，y满足条件x2＋y2＝1，则的范围是________．
14．已知圆M的方程为x2＋(y－3)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.四边形PAMB面积的最小值为________．
15．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16与直线l：(2＋k)x＋(1－2k)y＋9k－12＝0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时直线l的方程．
2．3.3 直线与圆的位置关系
必备知识基础练
1．答案：B
解析：由圆的方程得圆心坐标为(0，0)，半径r＝1，则圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2．答案：BCD
解析：圆M：x2＋y2＋4x＋2y－4＝0转化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，故圆心M的坐标为(－2，－1)，半径为3，故A错误，B正确；圆心到直线l的距离d＝＝<3，故直线l与圆M相交，故C正确；圆M上的点到直线l的距离的最大值为3＋，故D正确．故选BCD.
3．答案：D
解析：圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可得圆心坐标为M(2，－1)，半径为3.由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，所以AC的长为6.因为点O(0，0)，所以|MO|＝.弦BD最短时，弦BD和MO垂直，且经过点O，此时|BD|＝2＝4.故四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|＝×6×4＝12.故选D.
4．答案：C
解析：(x－a)2＋y2＝2圆心为(a，0)，半径为，由题意得：≤，解得a∈[－3，1].故选C.
5．答案：x＋y－5＝0
解析：设切线方程为y－2＝k(x－3)，因为过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则(3，2)在圆上，切点与圆心连线的斜率k1＝＝1，所以切线的斜率为k＝－1，则切线方程为y－2＝－1×(x－3)，化简得x＋y－5＝0.
6．解析：(1)圆O：x2＋y2＝1，圆心O(0，0)，半径r＝1.
当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－4，圆心到直线的距离为4≠r，不满足；
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x＋4)－1，即kx－y＋4k－1＝0，
d＝＝1，解得k＝0或k＝，
故切线方程为y＝－1或8x－15y＋17＝0.
(2)点M到直线x－2y＋12＝0的距离d1＝＝2，R2＝d＋42＝36.
故圆M的方程为(x＋4)2＋(y＋1)2＝36.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：由圆C：x2＋y2－2y－4＝0，可得x2＋(y－1)2＝5，圆心C(0，1)，半径为，
又直线l：3x＋y－6＝0，
所以|AB|＝2＝，又|CA|＝|CB|＝，
所以|CA|2＋|CB|2＝|AB|2，圆心角∠ACB＝，
即弦AB所对的圆心角的大小为.故选C.
8．答案：A
解析：圆x2＋y2＝1，其圆心为O(0，0)，半径r＝1，则O到直线l的距离d＝＝2；
设切线长为m，则m2＝OP2－r2＝OP2－1，若m最小，则OP取得最小值，显然最小值为d＝2，
故m的最小值为＝＝，即切线长的最小值为.故选A.
9．答案：ACD
解析：对于A，l方程可化为m(x＋y－2)＋x－y＝0，由得，故直线l恒过定点(1，1)，故A正确；
对于B，当l与圆O相切时，则圆心到直线距离d＝＝1，解得m＝±1，故B错误；
对于C，当m＝时，直线方程为3x－y－2＝0，圆心到直线距离d＝＝，则直线l被圆O截得的弦长为2＝，故C正确；
对于D，当m＝2时，直线方程为3x＋y－4＝0，圆心到直线的距离d＝＝<2，则直线l上存在点C使得以C为圆心，1为半径的圆与圆O相交，故D正确．故选ACD.
10．解析：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由已知得
解得a＝2，b＝0，r＝3，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l：y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，
因为直线l与圆C相切，所以圆心C(2，0)到直线l的距离等于半径的长．
即＝3，
解得k＝，此时直线l：4x－3y＋7＝0；
当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1显然与圆C相切．
综上，直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0.
(3)圆心到直线l′的距离d＝＝，
所以|MN|＝2＝，
则点P到直线l′的距离的最大值为r＋d＝，
所以△PMN的面积的最大值为××＝.
11．解析：(1)设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为d＝＝2，即r＝2，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l′与x轴垂直时，直线方程为x＝－2，即x＋2＝0，点A到直线的距离为1，此时|MN|＝2＝2，符合题意；
当直线l′与x轴不垂直时，设l′：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，
取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN，
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一X114.TIF"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一X114.TIF" \* MERGEFORMATINET
因为|MN|＝2，所以|AQ|＝＝1，
又点A到直线l′的距离为|AQ|＝，
所以＝1，解得k＝，所以直线l′的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l′的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
12．解析：(1)圆C方程可化为x2＋(y－4)2＝4，得圆心(0，4)，半径为2，
当直线l与圆C相交时，由题意得d＝<2，解得a<－，则a的取值范围是(－∞，－).
(2)由题意得d＝＝＝，解得a＝－2或a＝－14，所以直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
(3)当过点P(2，0)直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，满足与圆C相切，
当直线斜率存在时，设方程为y＝k(x－2)，得kx－y－2k＝0，
由d＝＝2，解得k＝－，直线方程为3x＋4y－6＝0，
综上，切线方程为x＝2或3x＋4y－6＝0.
核心素养升级练
13．答案：(－∞，－]
解析：的几何意义即圆上的点(x，y)到定点(－1，2)的斜率，由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为y＝k(x＋1)＋2＝kx＋k＋2，
∴＝1，解得k＝－，
故的范围是(－∞，－].
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一X115.TIF"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一X115.TIF" \* MERGEFORMATINET
14．答案：
解析：如图，四边形PAMB的面积S＝2××|MA|×|PA|＝，
所以当|PM|最小时，四边形PAMB的面积S最小，
又|PM|的最小值是圆心M(0，3)到直线l：x－2y＝0的距离，
即|PM|min＝＝，所以四边形PAMB的面积最小值是.
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一X116.TIF"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一X116.TIF" \* MERGEFORMATINET
15．解析：(1)证明：直线(2＋k)x＋(1－2k)y＋9k－12＝0，
即k(x－2y＋9)＋(2x＋y－12)＝0，
联立，解得，所以不论k取何值，直线l必过定点P(3，6)，
圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16，圆心坐标为C(2，3)，半径r＝4，
因为|PC|＝＝<4，所以点P在圆C内部，
则直线l与圆C恒有两个交点．
(2)直线l经过圆C内定点P(3，6)，圆心C(2，3)，
当直线l⊥CP时，被圆C截得的弦AB最短，
此时|AB|＝2＝2＝2，
因为kCP＝＝3，所以直线l的斜率为－，又直线l过点P(3，6)，
所以当|AB|取得最小值时，直线l的方程为y－6＝－(x－3)，即x＋3y－21＝0，
综上：|AB|最小值为2，此时直线l的方程为x＋3y－21＝0.2．3.4 圆与圆的位置关系
1．圆(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆x2＋y2＝36的位置关系为( )
A．相离 B．内切 C．外切 D．相交
2．已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4与C2：x2＋y2－2x＝0，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
3．已知圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B：x2＋y2－2x－6y＋1＝0，则两圆的公切线条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(多选)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是( )
A．－16 B．－9 C．11 D．12
5．已知圆x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1外切，则实数a的值为________．
6．已知两圆相交于两点A(1，3)，B(m，－1)，若两圆圆心都在直线2x＋y＋c＝0上，则m＝________，c＝________．
7．已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝( )
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
8．已知点P，Q分别为圆C：x2＋y2＝1与D：(x－7)2＋y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为( )
A．4 B．5 C．7 D．10
9．若圆C1：(x－2)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0有且仅有一条公切线，则m＝( )
A．－23 B．－3 C．－12 D．－13
10．(多选)圆Q1：x2＋y2－2x＝0和圆Q2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有( )
A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0
B．P为圆Q1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1
C．公共弦AB的长为
D．圆Q1上存在三个点到直线x－3y＝0的距离为
11．若圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与圆A：x2＋y2－4x－4y＋6＝0相交，则r的取值范围是________．
12．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1).
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
13．已知圆C1：(x－3)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y－5)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
14．已知圆C的圆心为C(1，2)，且圆C经过点P(5，5).
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆O：x2＋y2＝m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．
2．3.4 圆与圆的位置关系
必备知识基础练
1．答案：B
解析：圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为A(3，4)，半径r1＝1；圆x2＋y2＝36的圆心为O(0，0)，半径r2＝6，圆心距|OA|＝5＝r2－r1，所以两圆的位置关系是内切．故选B.
2．答案：C
解析：C2化简为(x－1)2＋y2＝1，圆C1的圆心为(0，1)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为(1，0)，半径为r2＝1；因为|C1C2|＝＝，且|r1－r2|＝1，|r1＋r2|＝3；因为1<<3，所以圆C1与C2相交．故选C.
3．答案：C
解析：根据题意，圆A：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，其圆心A(－2，－1)，半径r1＝2，圆B：x2＋y2－2x－6y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝9，其圆心B(1，3)，半径r2＝3，圆心距|AB|＝＝5，则有|AB|＝r1＋r2，所以两圆外切，则两圆有3条公切线．故选C.
4．答案：AD
解析：化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，则k>－25，圆心坐标为(3，4)，半径为；圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0，0)，半径为1.要使圆C1和圆C2没有公共点，则|C1C2|>＋1或|C1C2|<－1，即5>＋1或5<－1，解得－2511.所以实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞).满足这一范围的有选项A和选项D.故选AD.
5．答案：0
解析：因为圆x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，
所以(x＋1)2＋(y－a)2＝4，
则圆心坐标为(－1，a)，半径为2，
因为圆x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1外切，
所以＝2＋1，解得a＝0.
6．答案：－7 5
解析：两圆相交于两点A(1，3)，B(m，－1)，则kAB＝，
由于两圆圆心都在直线2x＋y＋c＝0上，
所以·(－2)＝－1，解得m＝－7.
由于m＝－7，所以两点A(1，3)，B(－7，－1)的中点的坐标为D(－3，1)，
所以点D(－3，1)的坐标满足2x＋y＋c＝0，解得c＝5.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C1(3，－2)，r1＝1，
圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a的圆心为C2(7，1)，r2＝，
|C1C2|＝＝5，
因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2相内切或外切，
故|1－r2|＝5或r2＋1＝5，从而r2＝6或r2＝4，
所以r2＝＝6或r2＝＝4，解得a＝34或a＝14，
所以实数a等于34或14.故选D.
8．答案：A
解析：圆C的圆心坐标为(0，0)，半径r1为1；圆D的圆心坐标为(7，0)，半径r2为2；所以两圆的圆心距d＝7－0＝7>r1＋r2，两圆外离，所以|PQ|min＝7－r1－r2＝4.故选A.
9．答案：A
解析：因为圆C1：(x－2)2＋y2＝1，圆心为C1(2，0)，半径为r1＝1；
圆C2：x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0可化为C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝13－m，圆心为C2(－2，－3)，半径r2＝，
又圆C1：(x－2)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋4x＋6y＋m＝0有且仅有一条公切线，所以两圆内切，
因此|r2－r1|＝|C1C2|，即|－1|
＝＝5，解得m＝－23.故选A.
10．答案：ABD
解析：圆Q1：x2＋y2－2x＝0的圆心Q1(1，0)，半径r1＝1.
选项A：由x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋2x－4y＝0两式作差得4x－4y＝0，
则公共弦AB所在直线方程为x－y＝0.正确；
选项B：圆心Q1(1，0)到直线AB的距离为＝，则圆Q1上动点P到直线AB距离的最大值为＋1.正确；
选项C：公共弦AB的长|AB|＝2＝.错误；
选项D：圆心Q1(1，0)到直线x－3y＝0的距离为＝，又圆Q1：x2＋y2－2x＝0的半径r1＝1，则圆Q1上存在三个点到直线x－3y＝0的距离为.正确．故选ABD.
11．答案：(，3)
解析：圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的圆心为原点，半径为r，
圆A：x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2的圆心为(2，2)，半径为，
由于两圆相交，故|r－|<|OA|解得12．解析：(1)由两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，
r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2，
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，
即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r－8＝0. ①
作O1H⊥AB，垂足为H(图略)，则|AH|＝|AB|＝，|O1H|＝eq \r(r－|AH|2)＝，
由圆心(0，－1)到直线①的距离得eq \f(|r－12|,4\r(2))＝，
得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
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13．答案：3－3
解析：如图所示，
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设C2(6，5)关于y轴的对称点为C3，则C3(－6，5)，
所以|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－2≥|C1C3|－3＝－3＝3－3.
则|PM|＋|PN|的最小值为3－3.
14．解析：(1)依题意，圆C的半径r＝|PC|
＝＝5，
所以圆C的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝25.
(2)圆O：x2＋y2＝m2(m>0)的圆心O(0，0)，半径为m，
因圆O与圆C恰有两条公切线，则有圆O与圆C相交，即|m－5|<|OC|因此有|m－5|<，解得5－所以实数m的取值范围是(5－，5＋).