2．4 曲线与方程
1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是( )
A．(4，0)和(－1，0) B．(4，0)和(－2，0)
C．(4，0)和(1，0) D．(4，0)和(2，0)
2．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定( )
A．经过P点B．经过原点
C．不一定经过P点D．经过P点和原点
3．(多选)方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是( )
A．一个点与一条直线B．两个点C．两条射线D．一个圆
4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1，2)与动点P(x，y)满足·＝8，则点P的轨迹方程为( )
A．x－2y－8＝0B．x－2y＋8＝0C．x＋2y－8＝0D．x＋2y＋8＝0
5．已知点A(－4，0)，B(－1，0)，动点M(x，y)满足|MA|＝2|MB|，则动点M的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝4B．＋y2＝1C．x2－＝1D．y2＝4x
6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的____________条件．
7．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是( )
8．已知点M(1，1)，N(－3，5)，则满足条件|PM|＝|PN|的点P不可能在下列哪个方程表示的曲线上( )
A．2x－y＋1＝0B．x2＋y2＝8C．＋＝1D．x2＋y2－2x－4y－1＝0
9．已知曲线C方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，则曲线C关于( )对称．
A．x轴B．y轴C．原点D．y＝x
10．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，点P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为( )
A．3x2＋y2＝4(x≠±1) B．3x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋3y2＝4(x≠±1) D．x2＋3y2＝1(x≠±1)
11．点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋)2＋y2＝
12．方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为________，面积为________．
13．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
14．关于曲线C：x2＋y2＝8＋|x|y有如下四个结论：
①图象关于y轴对称；
②图象关于x轴对称；
③图象上任意一点到原点的距离不超过4；
④当x>0时，y是x的函数．
其中正确的序号是( )
A．①④B．②④C．①③D．①③④
15．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．
2．4 曲线与方程
必备知识基础练
1．答案：A
解析：在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，所以x＝－1或x＝4.所以交点坐标为(－1，0)和(4，0).故选A.
2．答案：A
解析：设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P的坐标为(x0，y0)，
因此有F1(x0，y0)＝0且F2(x0，y0)＝0，因此F1(x0，y0)－F2(x0，y0)＝0，
所以曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定经过P点．故选A.
3．答案：CD
解析：原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1(一个圆)，或(两条射线).故选CD.
4．答案：A
解析：由已知得＝(x，y)，＝(1，－2)，由于·＝8，所以x－2y＝8，即点P的轨迹方程为x－2y－8＝0.故选A.
5．答案：A
解析：∵M(x，y)，A(－4，0)，B(－1，0)，
∴|MA|＝，|MB|＝，
又∵动点M(x，y)满足|MA|＝2|MB|，
∴＝2，
两边平方后可得x2＋8x＋16＋y2＝4x2＋8x＋4＋4y2，
整理后可得x2＋y2＝4.故选A.
6．答案：必要不充分
解析：“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程” “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
关键能力综合练
7．答案：D
解析：因为x2＋y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，又xy<0，所以方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是圆在第二、四象限的部分．故选D.
8．答案：C
解析：设点P(x，y)，点M(1，1)，N(－3，5)，
因为|PM|＝|PN|，
所以＝，
化简整理可得x－y＋4＝0，
所以满足条件|PM|＝|PN|的点P的轨迹方程为x－y＋4＝0，
因为直线x－y＋4＝0与曲线2x－y＋1＝0，x2＋y2＝8，x2＋y2－2x－4y－1＝0都有公共点，
与曲线＋＝1无公共点，
所以点P不可能在方程＋＝1表示的曲线上．故选C.
9．答案：B
解析：曲线C方程为x2＋y2＋|x|y＝2023，
将x换为－x，y不变，原方程化为x2＋y2＋|x|y＝2023，所以曲线C关于y轴对称；
将y换为－y，x不变，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于x轴对称；
将x换为－x，y换为－y，原方程化为x2＋y2－|x|y＝2023，所以曲线C不关于原点对称；
将x换为y，y换为x，原方程化为x2＋y2＋|y|x＝2023，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选B.
10．答案：C
解析：∵点B与点A(－1，1)关于原点O对称，∴B(1，－1)，设P(x，y)，∵kAP＝，kBP＝(x≠±1)，且kAP·kBP＝－，∴kAP·kBP＝×＝＝－(x≠±1)，∴x2＋3y2＝4(x≠±1)，∴P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).故选C.
11．答案：C
解析：设圆x2＋y2＝1上点为(x0，y0)，所求点为(x，y)，则，∴，∴(2x－3)2＋4y2＝1，即所求轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.
12．答案：(－1，1) 8
解析：当x≥－1，y≥1时，方程等价为x＋y－2＝0，
当x≥－1，y≤1时，方程等价为x－y＝0，
当x≤－1，y≥1时，方程等价为x－y＋4＝0，
当x≤－1，y≤1时，方程等价为x＋y＋2＝0，
则对应的图象如图，
则围成的图形为正方形，
其中A(－1，3)，B(1，1)，C(－1，－1)，D(－3，1)，
则该图形的对称中心的坐标为(－1，1)，且|BD|＝4，|AC|＝4，则正方形的面积为S＝2×4＝8.
13．解析：方法一 设点M的坐标为(x，y)，
因为M为线段AB的中点，
所以A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y).
因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
所以PA⊥PB，当直线PA与PB的斜率都存在且不为0时，
即kPA·kPB＝－1，
而kPA＝＝(x≠1)，kPB＝＝2－y，
所以·(2－y)＝－1(x≠1)，
整理得x＋2y－5＝0(x≠1).
因为当直线PA的斜率不存在时，即x＝1时，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，
所以线段AB的中点坐标是(1，2)，
它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
方法二 设点M的坐标为(x，y)，
则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM(图略).
因为l1⊥l2，所以2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，
|AB|＝，
所以2＝，
化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．
核心素养升级练
14．答案：C
解析：对于①②，设(x，y)为曲线C上的点，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，将(－x，y)代入方程，显然满足，故关于y轴对称，将(x，－y)代入方程，得x2＋y2＝8－|x|y，不满足方程，不关于x轴对称，故①正确，②错误；
对于③，当x≥0时，C：x2＋y2＝8＋xy≤8＋，解得x2＋y2≤16，即到原点的距离小于等于4，再根据图象关于y轴对称，可得图象上任意一点到原点的距离不超过4，故正确；
对于④，当x>0时，C：x2＋y2＝8＋xy，给一个自变量x＝1得y2－y－7＝0，该方程有两个实数根，不满足函数定义，故错误．故正确的序号是①③.故选C.
15．解析：
因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.
以C为原点，CB，CA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0).
设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，
由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，得r＝1，
于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1 x2＋y2＝2x＋2y－1，
由(x－1)2≤1 0≤x≤2.
设P(x，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋25＝22－2x，
所以当x＝0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取得最大值，最大值为22，
当x＝2时，取得最小值，最小值为18.2．5.1 椭圆的标准方程
1．已知F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
2．已知P是椭圆x2＋5y2＝25上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )
A．1 B．3 C．5 D．9
3．“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________．
6．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2是________三角形，△PF1F2的面积是________．
7．已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程．
8．椭圆＋＝1上的一点M到其左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．2 B． C．2 D．4
10．已知点P在椭圆＋＝1上，F1与F2分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．13
11．若方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(9，25) B．(－∞，9)∪(25，＋∞)
C．(17，25) D．(25，＋∞)
12．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，动圆P过点B且与圆A内切，设动圆P的半径为r，则圆心P的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．－＝1
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
14．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，|AB|＝4，则a2＋b2＝( )
A．36 B．12 C．10 D．8
15．已知M(－2，0)，P是圆N：x2－4x＋y2－32＝0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点Q，则动点Q的轨迹方程为( )
A．＋＝1 B．－＝1 C．＋＝1 D．－＝1
2．5.1 椭圆的标准方程
必备知识基础练
1．答案：C
解析：因为a2＋1≥2a(当且仅当a＝1时，等号成立)，
所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
当a>0且a≠1时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；
当a＝1时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2.故选C.
2．答案：B
解析：由椭圆x2＋5y2＝25，可得a＝5，
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF2|＝3.故选B.
3．答案：B
解析：若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，即方程＋＝1表示椭圆，所以解得所以由方程ax2＋by2＝1表示椭圆能推出ab>0，由ab>0推不出方程ax2＋by2＝1表示椭圆，若a＝b＝1方程x2＋y2＝1表示圆，故“ab>0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.
4．答案：D
解析：由＋＝1 a＝2.
因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，
所以MF1＋MF2＝2a，NF1＋NF2＝2a，
因此△F1MN的周长为MF1＋MN＋NF1＝MF1＋MF2＋NF2＋NF1＝2a＋2a＝4a＝8.故选D.
5．答案：＋x2＝1
解析：由已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
6．答案：直角
解析：由已知得|F1F2|＝2c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以得|PF1|＝3，|PF2|＝1，
因此|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
所以△PF1F2是直角三角形，
所以＝|F1F2|·|PF2|＝.
7．答案：＋＝1
解析：方法一 依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2，0).
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
方法二 依题意，可设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，则
解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，
从而a2＝16，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
关键能力综合练
8．答案：C
解析：由椭圆方程＋＝1，得a＝5，
由椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a＝2×5＝10，
又|MF1|＝2，
∴|MF2|＝10－2＝8，
又∵N为MF1的中点，O为F1F2的中点，
∴线段ON为△MF1F2中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝×8＝4.故选C.
9．答案：D
解析：∵M在椭圆C上，
∴|MF1|＋|MF2|＝2×2＝4，
∴根据基本不等式可得
|MF1|＋|MF2|＝4≥2，
即|MF1|·|MF2|≤4，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时取等号．故选D.
10．答案：A
解析：由，
又|F1F2|＝4，解得|PF1||PF2|＝16，
＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝×16×＝4.故选A.
11．答案：C
解析：因为方程＋＝1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，
所以k－9>25－k>0，解得17所以实数k的取值范围为(17，25).故选C.
12．答案：B
解析：设动圆P与圆A内切于Q点，
因为|AQ|＝|AP|＋|PQ|＝|PA|＋|PB|＝10>6＝|AB|，
所以P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以2a＝10，2c＝6，所以a＝5，b＝＝4，
所以轨迹方程为＋＝1.故选B.
13．解析：(1)由题意得，椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又因为3a2＝4b2，
所以a2－b2＝a2＝c2＝1，
所以a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)如图所示，|PF1|－|PF2|＝1.
又由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF1|＝，
|PF2|＝，|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝＝.
所以∠F1PF2的余弦值为.
核心素养升级练
14．答案：D
解析：连接BF1，BF2(图略)，
根据椭圆的对称性可知四边形AF1BF2是矩形，
所以2c＝|F1F2|＝|AB|＝4，即c＝2.
根据椭圆的定义和三角形面积公式得
解得a2＝6，所以b2＝a2－c2＝2，
所以a2＋b2＝6＋2＝8.故选D.
15．答案：A
解析：由题意，可知圆N的标准方程为(x－2)2＋y2＝36，圆心为N(2，0)，半径为6.
∵线段MP的垂直平分线交NP于点Q，
∴|QP|＝|QM|，
∴|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝|PN|＝6>|MN|＝4，
∴点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴其轨迹方程为＋＝1.故选A.2．5.2 椭圆的几何性质
1．下列与椭圆C：＋＝1焦点相同的椭圆是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
2．以椭圆＋＝1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
4．若椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则该椭圆的长轴长为( )
A． B． C． D．或
5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则实数m的值为( )
A．2 B． C．4 D．
6．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
7．(多选)若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程可能为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
8．已知椭圆C：＋y2＝1的一个焦点为(1，0)，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
9．(多选)已知椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝( )
A．4 B．5 C．7 D．8
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
11．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上一点M满足∠F1MF2＝120°，则该椭圆离心率取值范围是( )
A．(0，) B．[，1) C．(0，] D．[，1)
12．已知A(2，0)，M是椭圆C：＋y2＝1(其中a>1)的右焦点，P是椭圆C上的动点．
(1)若M与A重合，求椭圆C的离心率；
(2)若a＝3，求|PA|的最大值与最小值．
13．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
14．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
2．5.2 椭圆的几何性质
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由题意得，椭圆C中a2＝9，b2＝5，c2＝a2－b2＝4即焦点坐标为(2，0)和(－2，0)；
对于A选项，椭圆焦点在y轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在x轴上，a2＝10，b2＝5，c2＝a2－b2＝5，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在x轴上，a2＝9，b2＝4，c2＝a2－b2＝5不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在x轴上，a2＝10，b2＝6，c2＝a2－b2＝4，满足题意．故选D.
2．答案：B
解析：椭圆＋＝1的两个焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，短轴的两个端点B1(0，－4)，B2(0，4)，
则以点F1(－3，0)，F2(3，0)及B1(0，－4)，B2(0，4)为四个顶点的椭圆长轴长2a＝|B1B2|＝8，短轴长2b＝|F1F2|＝6，
其焦点在y轴上，中心在原点，方程为＋＝1，
所以所求的椭圆方程是＋＝1.故选B.
3．答案：B
解析：由题设，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，且|AB|＝|AF2|＋|BF2|，
所以△AF1B的周长为|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4a＝4，即a＝，
又e＝＝，可得c＝，则b2＝a2－c2＝1，
综上，C的方程为＋y2＝1.故选B.
4．答案：A
解析：由题意可得e＝＝，解得a＝，则椭圆的长轴长为.故选A.
5．答案：D
解析：因为x2＋my2＝1，所以x2＋＝1，所以a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1，又长轴长是短轴长的两倍，所以＝2，所以m＝.故选D.
6．解析：(1)因为c＝＝，
所以所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0).
设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
因为e＝＝，c＝，
所以a＝5，b2＝a2－c2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
因为2c＝8，所以c＝4，又a＝6，所以b2＝a2－c2＝20.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
关键能力综合练
7．答案：AB
解析：设短轴的一个端点为P，焦点分别为F1，F2，因为△PF1F2为正三角形，
所以|OP|＝|F1F2|，可得b＝c，即＝c. ①
又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为，
所以a－c＝， ②
联立①②，可得a＝2，c＝，b＝＝3.
因此a2＝12且b2＝9，
可得椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选AB.
8．答案：D
解析：由已知可得b2＝1，c＝1，
则a2＝b2＋c2＝2，
所以a＝，
则离心率e＝＝＝.故选D.
9．答案：BC
解析：当椭圆＋＝1的长轴在y轴上时，得a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12.又其焦距为2，即2c＝2，解得c＝，
所以2m－12＝2，解得m＝7.
当长轴在x轴上时，得10－m－m＋2＝2，m＝5.故选BC.
10．答案：A
解析：根据题意，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
因为∠ABF＝90°，
所以kAB·kBF＝－1，即·＝－1，
所以＝1，即b2＝ac.
又因为b2＝a2－c2，所以c2－a2＋ac＝0，
同除以a2得＋－1＝0，
即e2＋e－1＝0，
所以e＝－(舍)或e＝.故选A.
11．答案：D
解析：如图根据椭圆的性质可知，∠F1MF2当点M在短轴顶点(不妨设上顶点A)时最大，
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L4.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L4.tif" \* MERGEFORMATINET
要使椭圆上存在点M，满足∠F1MF2＝120°，
则∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，sin∠F1AO＝≥，
即e≥，又0故椭圆离心率的取值范围是.故选D.
12．解析：(1)由条件可知c＝2，又b＝1，
所以a2＝4＋1＝5，即a＝，
所以离心率为e＝＝.
(2)若a＝3，则椭圆的方程为＋y2＝1，设P(x，y)，
则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－＝(x－)2＋(－3≤x≤3)，
故当x＝时，|PA|min＝；
当x＝－3时，|PA|max＝5.
核心素养升级练
13．答案：6＋ 6－
解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L5.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L5.tif" \* MERGEFORMATINET
则|PF|＋|PF1|＝6.
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时，等号成立)，
所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
14．解析：(1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)(y>0)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y).
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，
解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是(，).
(2)易得直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则点M到直线AP的距离是，
又B(6，0)，于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，
解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
有d2＝(x－2)2＋y2
＝x2－4x＋4＋20－x2
＝(x－)2＋15，
由于－6≤x≤6，
所以当x＝时，d取最小值，为.2．6.1 双曲线的标准方程
1．已知定点F1(－3，4)，F2(5，4)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线
2．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝( )
A．16 B．18 C．4或16 D．2或18
3．与椭圆C：＋＝1共焦点且过点P(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1 C．－＝1 D．－x2＝1
4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
5．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
6．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为双曲线C上的一点，且PF1⊥PF2．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
7．(多选)若θ为任意实数，则方程x2＋y2cos θ＝3表示的曲线可能是( )
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．双曲线
8．若方程＋＝1表示的是双曲线，则t的取值范围是( )
A．(3，4)∪(4，5) B．(3，5)
C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)
9．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．(多选)若双曲线y2－5x2＝－m的焦距等于12，则实数m的值可以为( )
A．30 B．－30 C．120 D．－120
11．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为双曲线的右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．
12．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
13．已知F是双曲线C：－＝1的右焦点，P为C右支上一点，A(4，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．－3 B．－6 C．＋6 D．2
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x＋6)2＋y2＝4，点B(6，0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为( )
A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
2．6.1 双曲线的标准方程
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由已知，得|F1F2|＝＝8.
当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6<|F1F2|，
故点M的轨迹是双曲线的一支；当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线．D正确．故选D.
2．答案：D
解析：由双曲线C：－＝1，可知a＝4，b＝3，c＝5，
因为|PF1|＝10>a＋c＝9，所以当点P在该双曲线左支上时，|PF2|＝2a＋|PF1|＝2×4＋10＝18.
当点P在该双曲线右支上时，
|PF2|＝|PF1|－2a＝10－2×4＝2.故选D.
3．答案：C
解析：椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线的焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)，
由双曲线的定义可得
2a＝||PF2|－|PF1||
＝
＝＝2，
所以a＝，因为c＝2，所以b＝＝，
因此，双曲线的标准方程为－＝1.故选C.
4．答案：A
解析：在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，
∴c＝4，∴a2＝c2＝×16＝8，
∴所求双曲线方程为x2－y2＝8.故选A.
5．答案：B
解析：在x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，
不妨设A(0，－3)，B(0，3)，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝1.
又A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，可得：双曲线的焦点为(0，－9)，(0，9).所以a2＋b2＝81.
综上，a2＝9，b2＝72，此双曲线的标准方程为－＝1.
故选B.
6．答案：3
解析：由题意知||PF1|－|PF2||＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴4c2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，
∵△PF1F2的面积为9，PF1⊥PF2，
∴|PF1|·|PF2|＝2×9＝18，
∴4c2－2×18＝4a2，
∴b2＝c2－a2＝9，
∴b＝3.
关键能力综合练
7．答案：ACD
解析：当cosθ＝1时，由x2＋y2cosθ＝3，得x2＋y2＝3，方程表示圆，故A正确；当cosθ＝－1时，由x2＋y2cosθ＝3，得－＝1，方程表示双曲线，故D正确；当cosθ＝时，由x2＋y2cosθ＝3，得＋＝1，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；当cosθ＝0时，x2＝3，得x＝±，表示垂直于x轴的直线，故B不正确．故选ACD.
8．答案：C
解析：因为方程＋＝1表示的是双曲线，
所以(t－3)(5－t)<0，解得t∈(－∞，3)∪(5，＋∞).故选C.
9．答案：B
解析：在双曲线C：x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，因为点P在C上，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，|F1F2|＝2，
又∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，于是得8＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)＝4＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
10．答案：AB
解析：当m>0时，方程化为－＝1，
焦点在x轴上，a2＝，b2＝m，
所以＋m＝，解得m＝30；
当m<0时，方程化为－＝1，
焦点在y轴上，a2＝－m，b2＝－，
所以－－m＝()2，解得m＝－30，
综上，m＝±30.故选AB.
11．答案：8
解析：因为M，N两点在双曲线的左支上，
所以由双曲线的定义得|MF2|－|MF1|＝2a＝4，
|NF2|－|NF1|＝2a＝4，
所以|MF2|－|MF1|＋|NF2|－|NF1|＝4a＝8，
又|MF1|＋|NF1|＝|MN|，
所以|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.
12．解析：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
所以圆心F1(－5，0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝16，
所以圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
所以|MF2|－|MF1|＝3.|MF2|－|MF1|<|F1F2|，
所以M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5，所以b2＝，
所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y2＝1.
核心素养升级练
13．答案：B
解析：记双曲线C的左焦点为F′，则F′(－4，0)，
因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得，
|PF′|－|PF|＝2a＝6，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－6≥|AF′|－6＝－6＝－6，
当且仅当F′，P，A三点共线时，取得最小值．故选B.
14．答案：A
解析：圆A的圆心为A(－6，0)，半径为r＝2，由中垂线的性质可得|PQ|＝|BQ|，
当点P在圆A的右半圆上时，|QA|－|QB|＝|PA|＋|PQ|－|QB|＝|PA|＝2<|AB|＝12，
当点P在圆A的左半圆上时，
|QB|－|QA|＝|QP|－|QA|＝|QA|＋|PA|－|QA|＝|PA|＝2<|AB|＝12，
所以点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝12，
所以a＝1，c＝6，∴b＝＝，
因此点Q的轨迹方程为x2－＝1.
故选A.2．6.2 双曲线的几何性质
1．双曲线y2－x2＝1的焦点坐标是( )
A．(±1，0) B．(0，±1) C．(±，0) D．(0，±)
2．若直线过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．(多选)与双曲线－＝1有相同的渐近线的方程是( )
A．－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－y2＝1
4．若双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1或－＝1 D．－＝1或－＝1
5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为________．
6．如图，双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．
7．(多选)已知双曲线C：－y2＝1，则( )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为1
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．双曲线C左支上的点到右焦点的最短距离为4
8．已知A，B为椭圆E的左、右焦点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B． C．或 D．或
9．已知点(3，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________，顶点到渐近线的距离为________．
10．与双曲线x2－y2＝1有相同的渐近线，且过点(1，2)的双曲线的标准方程为________．
11．已知F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，P是双曲线右支上的一点，且PF2⊥x轴，点A是双曲线的左顶点，若|PF2|＝2|AF2|，则双曲线的离心率为________．
12．已知双曲线的中心在原点，左、右焦点分别是F1，F2且在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若5＝，则双曲线C的离心率e为________．
14．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若C的右支上存在一点M，满足2|MF1|＝3|MF2|，则双曲线C经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为( )
A．(0，2] B．[2，＋∞) C．(0，5] D．[5，＋∞)
2．6.2 双曲线的几何性质
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由双曲线y2－x2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，
所以双曲线的焦点坐标为(0，±).故选D.
2．答案：C
解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，此时直线与双曲线相切于右顶点，满足条件；当直线l的斜率存在时，若与双曲线的渐近线平行，也满足条件，因此一共有3条直线满足题意．故选C.
3．答案：ABC
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，A，B，C的渐近线方程均为y＝±x，D的渐近线方程为y＝±x.故选ABC.
4．答案：C
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为－＝1(a>0，b>0)，
由，解得，此时双曲线的方程为－＝1，
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为－＝1(a>0，b>0)，
由，解得，此时双曲线的方程为－＝1.故选C.
5．答案：y＝±x
解析：由题意可知＝，则＝，解得＝，
则它的渐近线方程为y＝±x＝±x.
6．答案：y＝±x
解析：设F1(－c，0)，M(0，y0)，
因为M为线段PF1的中点，且PF1的倾斜角为30°，则P(c，c)，
将其代入双曲线方程得－＝1，
又有c2＝a2＋b2，整理得3()4－4()2－4＝0，
解得()2＝2.故所求渐近线方程为y＝±x，离心率为.
关键能力综合练
7．答案：ABC
解析：双曲线C：－y2＝1中，a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝5，则a＝2，b＝1，c＝，
所以双曲线C的离心率为＝，故A正确；
双曲线的焦点为(±，0)到渐近线y＝±x的距离为＝1，故B正确，C正确；
双曲线C左支上的点P到右焦点F2的距离为|PF2|≥c＋a＝＋2，故最短距离为＋2，故D不正确．故选ABC.
8．答案：D
解析：依题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
①若M为等腰△ABM的顶角，则M在椭圆的上(下)顶点，如图所示：
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L11.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L11.tif" \* MERGEFORMATINET
则∠AMB＝120°，所以∠OMB＝60°，
则tan∠OMB＝tan60°＝＝，
又c2＝a2－b2，所以c2＝a2－(c)2，所以e＝；
②若A(或B)为等腰△ABM的顶角，不妨取A为顶角，如图所示：
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L12.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L12.tif" \* MERGEFORMATINET
即∠MAB＝120°，AB＝AM＝2c，又MB＋MA＝2a，所以MB＝2a－2c，
由余弦定理MB2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠MAB，
即(2a－2c)2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·(－)，即2c2＋2ac－a2＝0，
所以2e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，
综上可得e＝或e＝.故选D.
9．答案：2
解析：点(3，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，
则a＝1，c＝3，所以b＝2，
于是渐近线方程为y＝±2x，顶点为(±1，0)，
所以顶点到渐近线的距离为d＝＝.
10．答案：－＝1
解析：依题意，设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
于是得λ＝12－22＝－3，则有x2－y2＝－3，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11．答案：3
解析：如图，＝2＝2a＋2c，又－＝2a，则有＝4a＋2c，
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L13.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L13.tif" \* MERGEFORMATINET
且△PF1F2为直角三角形，∴|PF2|2＋|F2F1|2＝|PF1|2，列方程得，(4a＋2c)2＝4(a＋c)2＋4c2，化简得3a2＋2ac－c2＝0，再整理得，e2－2e－3＝0，解得e＝3或e＝－1(舍去).
12．解析：(1)因为离心率e＝＝，
所以a＝b.设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
因为点(4，－)在双曲线上，
所以n＝42－(－)2＝6.
所以双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，
所以m2＝3.
又点F1(－2，0)，点F2(2，0)，
所以·＝·＝－＝－1.
所以·＝0.
核心素养升级练
13．答案：
解析：由题意，双曲线C的渐近线为y＝±x，若过F2的直线l与直线y＝－x垂直，垂足为A，直线l与直线y＝x交于B，F2(c，0)，
因为5＝，所以F2在A，B之间，
如图所示，直线l的方程为y＝(x－c)，
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L14.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L14.tif" \* MERGEFORMATINET
由，得A(，－)，
由，得B(，)，
由5＝，可得5＝，
所以＝，所以＝，
所以双曲线C的离心率e＝＝＝.
同理，过F2的直线l与直线y＝x垂直时，双曲线C的离心率e＝.综上所述，双曲线C的离心率e为.
14．答案：A
解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，其中过一、三象限的渐近线为y＝x，其斜率为.
M在双曲线的右支，设|MF1|＝s，|MF2|＝t，由于2|MF1|＝3|MF2|，即2s＝3t， ①
根据双曲线的定义可知s－t＝2a， ②
由①②解得s＝6a，t＝4a.
由于M在双曲线的右支，所以|MF1|＝6a≥a＋c，5a≥c，
两边平方得25a2≥c2＝a2＋b2，24a2≥b2，≤24，
所以∈(0，2].故选A.2．7.1 抛物线的标准方程
1．抛物线C：y2＝mx过点(－2，)，则抛物线C的准线方程为( )
A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－
2．已知抛物线C：x2＝ay(a≠0)的准线方程为y＝－2，则抛物线C的焦点坐标为( )
A．(2，0) B．(0，2) C．(0，4) D．(0，－4)
3．已知抛物线的焦点在x轴上，且抛物线上一点(－2，m)到焦点的距离为4，那么抛物线的标准方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x
4．(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是( )
A．焦点为(0，2) B．焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y＝－4
5．已知抛物线y2＝4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|＝5，则抛物线的准线方程是________，点P的坐标是________．
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p＝________．
7．若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是( )
A．6 B．8 C．9 D．10
8．(多选)平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则( )
A．曲线C的方程为x2＝4y
B．曲线C关于y轴对称
C．当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2
D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2
9．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，其准线过(－3，3)，过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p＝________，弦AB的长为________．
10．一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝12x
11．在平面直角坐标系中，已知点M(2，0)，点B为直线l：x＝－2上的动点，点A在线段MB的垂直平分线上，且AB⊥l，则动点A的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．x2＝8y D．x2＝4y
12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
13．若B点的坐标为(3，2)，F是抛物线y2＝6x的焦点，点P为抛物线上的动点，则|PF|＋|PB|取得最小值时P的坐标为( )
A．(0，0) B．(，2) C．(1，) D．(2，2)
14．已知抛物线y2＝4x上有一条长为6的动弦AB，求弦AB的中点到y轴的最短距离．
2．7.1 抛物线的标准方程
必备知识基础练
1．答案：A
解析：由于抛物线C：y2＝mx过点(－2，)，
所以3＝－2m，m＝－，
所以抛物线方程为y2＝－x，p＝，＝，
所以抛物线的直线方程为x＝.故选A.
2．答案：B
解析：因为抛物线C：x2＝ay的准线方程为y＝－2，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴上，即抛物线C的焦点坐标为(0，2).故选B.
3．答案：B
解析：因为抛物线的焦点在x轴上，且点(－2，m)在抛物线上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，因为点(－2，m)到焦点的距离为4，所以－(－2)＝4，解得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选B.
4．答案：AC
解析：由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选AC.
5．答案：x＝－1 (4，4)或(4，－4)
解析：因为抛物线方程为y2＝4x，
所以抛物线的准线方程是x＝－1.
设P(x，y)，因为|PF|＝5，所以x＋1＝5，
解得x＝4，y＝±4，所以点P的坐标是(4，4)或(4，－4).
6．答案：2
解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－(－)＝4，p＝2.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：由抛物线的方程可得准线方程为x＝－4，设点M的横坐标为x0，由抛物线的性质可得x0＋4＝12，所以x0＝8，所以点M到y轴的距离为8.故选B.
8．答案：AB
解析：由抛物线的定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，故A正确；
若点(x，y)在曲线C上，则点(－x，y)也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确；
由x2＝4y知y≥0，故C错误；
点P到直线l的距离d≥1，故D错误．故选AB.
9．答案：6 48
解析：由y2＝2px(p>0)知准线方程为x＝－，又准线过(－3，3)，可得－＝－3，p＝6；焦点坐标为(3，0)，故直线方程为y＝(x－3)，和抛物线方程联立，，得x2－42x＋9＝0，故x1＋x2＝42，又|AB|＝x1＋x2＋p＝48.
10．答案：D
解析：定圆F：(x－3)2＋y2＝4的圆心F(3，0)，半径为2，
设动圆圆心P点坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x＝－1的距离，即r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PF|－2＝r，d＝r，所以－2＝x＋1，化简得y2＝12x．
∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x.故选D.
11．答案：A
解析：由题意|AB|＝|AM|，AB⊥l，所以A点轨迹是以M为焦点，直线l为准线的抛物线，由＝2得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.故选A.
12．解析：因为抛物线与双曲线的交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
抛物线的准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，b2＝c2－a2＝1－＝，所以双曲线的标准方程为－＝1.
核心素养升级练
13．答案：B
解析：设抛物线y2＝6x的准线方程为l：x＝－，F，过P作PA⊥l，垂足为A，所以|PF|＋|PB|＝|PA|＋|PB|，要想|PF|＋|PB|取得最小值，只需P，A，B在一条直线上即可，此时22＝6x x＝，P的坐标为(，2).故选B.
14．解析：设弦AB的中点为M，抛物线的准线为x＝－1，焦点F(1，0)，过M作准线的垂线MN，
作AC垂直准线于点C，BD垂直准线于点D(图略)，
则|MN|＝，
由抛物线的性质得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
所以|MN|＝，|AF|＋|BF|≥|AB|，
当动弦AB过F点时，满足|AF|＋|BF|＝|AB|，
所以|MN|≥，
又|AB|＝6，所以|MN|≥3，
设M到y轴的距离为d，
显然有d＝|MN|－1，
所以d≥2，
即弦AB的中点到y轴的最短距离为2.2．7.2 抛物线的几何性质
1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝3|OF|，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝20x
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝12x D．y2＝6x
3．已知直线l过抛物线C：y2＝x的焦点，并交抛物线C于A，B两点，|AB|＝2，则弦AB中点G的横坐标是( )
A． B． C． D．1
4．若点P为抛物线C：y＝2x2上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为( )
A．1 B． C． D．
5．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点，且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________．
6．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
7．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线PF交x轴于点Q，若＝3，则点P到准线l的距离为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
9．(多选)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程可以为( )
A．y2＝－4x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝8x
10．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)，过它的焦点F的直线l与其相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若抛物线过点(1，2)，求它的方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l的斜率为1，求△OAB的面积．
11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.
(1)求抛物线上任意一点Q到定点N(2p，0)的距离的最小值；
(2)过点F作一条直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M(x0，y0)，且y0≠0，证明：kMA＋kMB＝2kMF(其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率).
12.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，直线x－y－2＝0与抛物线相交于M，N两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求弦长|MN|；
(3)设O为坐标原点，证明：OM⊥ON.
13．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，F为C的焦点，过焦点F且倾斜角为α的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下面陈述不正确的为( )
A．以A，B为直径的圆与抛物线C的准线相切
B．＋＝
C．过点A，B分别作抛物线C的切线，则两切线互相垂直
D．记原点为O，则S△AOB＝
14．已知A，B是抛物线x2＝2py(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，非零向量，满足|＋|＝|－|.
(1)求证：直线AB经过一定点；
(2)当线段AB的中点到直线y－2x＝0的距离的最小值为时，求p的值．
2．7.2 抛物线的几何性质
必备知识基础练
1．答案：C
解析：由题意知F，准线方程为x＝－，因为|MF|＝3|OF|，所以|MF|＝p，所以点M的横坐标为p－＝p，纵坐标为y＝±p.因为△MFO的面积为16，所以··p＝16，所以p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x.故选C.
2．答案：B
解析：因为直线l的方程为y＝2(x－)，即y＝2x－p，
由消去y，得4x2－6px＋p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
又因为弦AB的中点到抛物线的准线的距离为3，所以|AB|＝6，
而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，
故＝6－p，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.故选B.
3．答案：C
解析：如图，由题意可得抛物线的准线m的方程为x＝－，过点G作抛物线准线m的垂线GD⊥m于点D，过A，B分别作AA′⊥m于点A′，BB′⊥m于点B′，则|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝2，
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L16.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L16.tif" \* MERGEFORMATINET
因为弦AB的中点为G，
所以|GD|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|＝1，
所以点G的横坐标是1－＝.故选C.
4．答案：D
解析：由y＝2x2，得x2＝y，∴2p＝，则＝，所以焦点F(0，)，由抛物线上所有点中顶点到焦点的距离最小，得|PF|的最小值为.故选D.
5．答案：y2＝8x或y2＝－8x
解析：因为抛物线的通径为2p＝8，且以x轴为对称轴，
所以其方程为y2＝8x或y2＝－8x.
6．解析：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
所以抛物线的对称轴为x轴，
所以设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，所以p＝6.
所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程为x＝－3或x＝3.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：如图，过点P作x轴的垂线，垂足为N，
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由题知，F(0，1)，即|OF|＝1，
因为＝3，所以＝＝，
所以|PN|＝4，
所以点P到准线的距离为|PN|＋1＝5.故选B.
8．答案：D
解析：a2x2＋b2y2＝1，可化为＋＝1，
因为a>b>0，所以<，其表示焦点在y轴上的椭圆；
而ax＋by2＝0可化为y2＝－x，其表示焦点在x轴的负半轴上的抛物线．故选D.
9．答案：BD
解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，故△OAF的面积为·＝4，
解得a＝±8.于是抛物线的方程为y2＝±8x.故选BD.
10．解析：(1)因为抛物线过点(1，2)，所以4＝2p×1，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1，联立方程组消去y得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8，点O到l的距离为d＝＝，
所以S△OAB＝|AB|·d＝×8×＝2.
11．解析：(1)设点Q(x，y)，
则|QN|2＝(x－2p)2＋y2＝(x－p)2＋3p2，
当x＝p时，|QN|min＝p，
故抛物线上任意一点Q到定点N(2p，0)的距离的最小值为p.
(2)证明：由条件设直线AB：x＝my＋，
将其代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(－，y0)，
所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
所以x1＋x2＝2pm2＋p，x1x2＝p2，
所以kMA＋kMB＝＋
＝，
＝
＝－＝2kMF，
所以kMA＋kMB＝2kMF.
12．解析：(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，所以－＝－，解得p＝1，
所以抛物线的方程是y2＝2x.
(2)由，得x2－6x＋4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1·x2＝4，
所以|MN|＝＝2.
(3)证明：因为·＝x1·x2＋y1·y2
＝x1·x2＋(x1－2)(x2－2)
＝2x1·x2－2(x1＋x2)＋4
＝2×4－2×6＋4＝0，
所以⊥，即OM⊥ON.
核心素养升级练
13．答案：D
解析：设AB的中点为M，A，B，M在准线上的射影分别为A′，B′，M′，
由抛物线的定义可得|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，
所以|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，则以A，B为直径的圆与抛物线C的准线相切，故A正确；
INCLUDEPICTURE "23试吧人教B数选一L20.tif"INCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "F:\\23试吧人B数学选择一C\\2023试吧人教版B数学选择-C\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\资源上传\\新建文件夹\\2023《试吧大考卷》数学选择性必修第一册·（RJ-B）\\2023《试吧大考卷》数学·选择性必修·第一册·（RJ-B）\\23试吧人教B数选一L20.tif" \* MERGEFORMATINET
抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程为x＝－，
设过F的直线l的方程为x＝my＋，代入抛物线的方程y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，
可得y1＋y2＝2pm，y1·y2＝－p2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋p＝2pm2＋p，x1x2＝＝＝，
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
则＋
＝＋
＝＝
＝，故B正确；
由S△AOB＝|OF|·|y1－y2|
＝·＝
＝·＝，故D错误；
对y2＝2px的两边取x的导数为2yy′＝2p，可得切线的斜率为y′＝，
可得A处的切线的斜率为，B处的切线的斜率为，
则·＝＝＝－1，即A，B处的切线相互垂直，故C正确．故选D.
14．解析：(1)证明：因为|＋|＝|－|，
所以OA⊥OB.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，x1≠x2，
则x＝2py1，x＝2py2(p>0).
经过A，B两点的直线方程为
(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，
由y1＝eq \f(x,2p)，y2＝eq \f(x,2p)，
得(x2－x1)(y－y1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2p)－\f(x,2p)))(x－x1).
因为x1≠x2，
所以y－y1＝(x－x1).
令x＝0得y－y1＝(－x1)，
所以y＝－. ①
因为OA⊥OB，
所以x1x2＋y1y2＝0.
所以x1x2＋eq \f(xx,4p2)＝0.
因为x1x2≠0(否则，中有一个为零向量)，
所以x1x2＝－4p2代入①得y＝2p.
所以直线始终经过定点(0，2p).
(2)设线段AB中点的坐标为(x，y)，
则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
故x＋x＝2py1＋2py2＝2p(y1＋y2)＝4py.
因为x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(x1＋x2)2＋8p2，
所以4x2＋8p2＝4py，即y＝x2＋2p. ②
线段AB的中点到直线y－2x＝0的距离d＝，
将②代入得d＝
＝＝.
又d的最小值为，
所以当x＝p时，d取得最小值为＝.
所以p＝2.2．8 直线与圆锥曲线的位置关系
1．过点(1，1)的直线与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点，则满足条件的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
2．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是( )
A．至多为1B．2C．1 D．0
3．椭圆＋＝1中，以点M为中点的弦所在直线的斜率为( )
A．－B．－4C．－D．－2
4．已知椭圆C：＋＝1与动直线l：y＝x＋m相交于A，B两点，则实数m的取值范围为________．
5．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________，双曲线N的离心率为________．
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，过点(2，0)的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝7，则△OAB的面积为( )
A．4 B．6C．6 D．8
8．若双曲线x2－＝1上存在两个点关于直线l：y＝x＋t对称，则实数t的取值范围为________．
9．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的动点P到两个焦点的距离之和为6，且到右焦点距离的最小值为3－2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l和椭圆C交于M，N两点，A为椭圆的右顶点，·＝0，求△AMN面积的最大值．
11．已知点A(0，1)，点P在双曲线C：－y2＝1上．
(1)当|PA|最小时，求点P的坐标；
(2)过A点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程．
12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点A(2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(1，0)且斜率为k(k≠0))的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x＝3于M，N两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k′，求证：k·k′为定值．
13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线y＝x＋与圆x2＋y2＝b2相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标．
14．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝，虚轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点P(1，1)能否作直线l，使直线l与双曲线C交于A，B两点，且点P为弦AB的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2．8 直线与圆锥曲线的位置关系
必备知识基础练
1．答案：B
解析：根据双曲线的方程可知，该双曲线为等轴双曲线，点(1，1)在一条渐近线上，
因此过点(1，1)的直线与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点，分两种情况：
(1)直线与另一条渐近线平行，此时直线方程为x＋y＝2，
(2)直线与双曲线相切，设该直线斜率为k(k≠±1)，则直线方程为y－1＝k(x－1)，联立直线方程与双曲线方程得消去y整理得(1－k2)x2＋2k(k－1)x－(k－1)2－4＝0，
令[2k(k－1)]2＋4(1－k2)[(k－1)2＋4]＝0，解得k＝1或k＝－，因为k≠±1，所以当且仅当k＝－时，直线与双曲线相切．
综上，满足条件的直线有2条．故选B.
2．答案：B
解析：由题意知，>2，即<2，
所以＋<1，
所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.故选B.
3．答案：C
解析：设弦AB的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
即有x＋4y＝8，x＋4y＝8，两式相减可得，
(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
由中点坐标公式可得，x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
代入上式可得2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
即kAB＝＝－.故选C.
4．答案：(－3，3)
解析：联立
消去y整理可得9x2＋6mx＋2m2－18＝0，
由已知可得Δ＝36m2－36(2m2－18)＝36(18－m2)>0，解得－35．答案：－1 2
解析：法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，
则＝tan60°＝，
所以双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，
所以e1＝2.
由得x2＝.
如图，设点D的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，
所以4x2＝c2.
所以＝a2－b2，
得3a4－6a2b2－b4＝0，
所以3－－＝0，
解得＝2－3.
所以椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.
所以e2＝－1.
法二 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，
则＝tan60°＝.
又c1＝＝2m，
所以双曲线N的离心率为＝2.
如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，
设正六边形的边长为1，
则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，
则|EF|＋|EC|＝2a，
即1＋＝2a，
所以a＝.
所以椭圆M的离心率为＝＝－1.
6．解析：(1)由题意得，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2.
由e＝＝，得c＝，
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)将直线方程代入椭圆方程整理得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，
解得k＝±2.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：由题可知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去x可得y2－4my－8＝0，
则Δ＝16m2＋32>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋6＝4m2＋6＝7，解得m＝±，则|AB|＝·＝3，
点O到直线的距离为d＝＝，
所以△OAB的面积为·|AB|·d＝×3×＝6.故选B.
8．答案：(－4，4)
解析：设双曲线x2－＝1存在关于直线l：y＝x＋t对称的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由对称性可知，线段AB被直线y＝x＋t垂直平分，
且AB的中点M(x0，y0)在直线y＝x＋t上，
且kAB＝－2，可设直线AB的方程为y＝－2x＋b，
联立直线AB与双曲线方程，化简整理，可得x2－4bx＋b2＋3＝0，
由韦达定理，可得x1＋x2＝4b，y1＋y2＝2b－2(x1＋x2)＝－6b，
∴Δ＝16b2－4(b2＋3)＞0，解得b＜－1或b>1，
∴x0＝＝2b，y0＝＝－3b，
∵AB的中点M(2b，－3b)在直线l：y＝x＋t上，
∴－3b＝b＋t，即t＝－4b，t<－4或t>4，
故t的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞).
9．证明：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，
代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.
若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是该方程的两个根，
所以y1y2＝－p2.
因为BC∥x轴，
且点C在准线x＝－上，
所以点C的坐标为(－，y2)，
故直线CO的斜率为k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，
所以A，O，C三点共线，
所以直线AC经过原点O.
10．解析：(1)由已知得：2a＝6，∴a＝3，a－c＝3－2，c＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设lAM：y＝k(x－3)不失一般性，设k＞0，
∵·＝0，则lAN：y＝－(x－3)，
由 (9k2＋1)x2－54k2x＋81k2－9＝0.
∵点A(3，0)在AM上，设M(x1，y1)，
∴3x1＝，∴x1＝，
∴|AM|＝|3－x1|＝·，
用－替换k得：
|AN|＝·＝·，
∴S＝|AM|·|AN|＝(1＋k2)·＝＝＝≤＝，
当且仅当64k2＝9(k2＋1)2，即k＝成立．
∴Smax＝.
11．解析：(1)设P(x，y)，则|PA|＝＝
＝.
当y＝时，|PA|最小，故所求点P的坐标为(±，).
(2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1，
与双曲线方程联立得(1－2k2)x2－4kx－4＝0.
则Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，解得k2＜.
x1＋x2＝，x1x2＝，
∴S△OMN＝·1·|x1－x2|＝＝·＝2，
解得k2＝或k2＝(舍).
∴l的方程为y＝±x＋1.
12．解析：(1)依题得，解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)根据已知可设直线l的方程为y＝k(x－1).
由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
直线AE，AF的方程分别为
y＝(x－2)，y＝(x－2)，
令x＝3，
则M(3，)，N(3，)，
所以P(3，(＋)).
所以k·k′＝×
＝×
＝×
＝×＝－.
核心素养升级练
13．解析：(1)由已知得b＝＝，
又＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
由题意得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
代入化简得7m2＋16km＋4k2＝0，
∴m＝－k，m＝－2k(舍去).
故直线l的方程为y＝kx－k，恒过定点.
14．解析：(1)因为e＝＝，2b＝2，
所以c＝a，b＝.
因为c2＝a2＋b2，
所以3a2＝a2＋2，所以a2＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在，
设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
由A，B在双曲线上，可得
两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为k＝＝＝2，
则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝2(x－1)，即为y＝2x－1，
代入双曲线的方程可得2x2－4x＋3＝0，
由Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，
所以不存在这样的直线l.
