文昌市、澄迈县两校2023-2024学年高二上学期期中段考
数学科段考试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A A D C B B
【解析】
1．，直线的倾斜角为，故选A.
2．因为，所以，解得. 故选D.
3．，又因，，
∴，∴，，，故选：A.
4．所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选A.
5．根据题意：，，解得，，
故离心率. 故选D.
6．以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，
，
设，平面的法向量为，
则 ，
令得，故，
由，则，
考虑平面内，由两点间距离公式得
，
当时，取得最小值，最小值为. 故选C.
7．依题意，直线的斜率为，设，则，且 ，
由 两式相减得：，于是，
解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，
所以椭圆的焦距为. 故选B
8．如图，曲线为圆的上半圆，
圆心，半径为2，，
表示点到直线距离的5倍，
点到直线的距离，
即直线与圆相离，
点B到直线的距离，
最小值为，最大值为，
则的取值范围为. 故选B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD AD BCD
【解析】
9．对于A，当时，直线的斜率，即，又，所以直线的倾斜角为，故A错误；
对于B，由，令，得，所以直线的横截距是1，故B正确；
对于C，当时，联立 ，解得 ，所以两直线的交点坐标为，故C错误；
对于D，当时，，
设点关于直线的对称点为，则，
且线段的中点在直线上，
有 ，解得 ，
所以点关于直线的对称点为，故D正确.
故选BD.
10．因为椭圆，所以 a=2, b=, c=. 长轴长为4 ，故 A正确；
短轴长为2，故B 错误；焦距为，故C正确；. 故 D正确.
故选：ACD
11．设，变形为，此式表示圆上一点(x, y) 与点(0, 0) 连线的斜率，由 ，可得y=kx(x0) ，此直线与圆有公共点，则 ，
解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误，
令x+y=b并将其变形为y=-x+b，问题可转化为斜率为-1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，
所以，解得 ,
所以 x+y的最大值为，最小值为. 故C错误
表示圆 上的点到坐标原点的距离
原点(0,0) 到圆心(-1,0) 的距离 d=1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确
故选AD
12．对于选项，由题意知，
若，，平面，则平面，
所以，不成立，故不正确；
对于选项，在三棱锥中，半圆面，
则是三棱锥的高，
当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积S△PAD取得最大值，
三棱锥的体积取得最大值为，故选项B正确；
对于选项C：当时，则为的中点，以的中点为原点，
以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则,，，，可得，
则
故异面直线与所成角的余弦值为，所以正确；
对于选项，取的中点，过点P作于点，连接，
由题意知，平面，平面，，
又因为，，平面，
可得平面，
所以为在平面内的射影，则为直线与平面所成的角，
设，则，
在Rt中，，
所以，
故，
令，则，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，则，
所以直线与平面所成最大角的正弦值为，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。
13． 14． 15． 16．13
【解析】
13．由圆和圆，
两圆的方程相减，可得，
即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
14．空间向量，，
则向量在向量上的投影向量是，
所以向量在向量上的投影向量的坐标是.
15．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离小于1
即，故.
16．∵椭圆的离心率为,∴,∴,
∴C的方程可化为,
不妨设左焦点为,右焦点为，
∵,∴,∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点，为线段的垂直平分线，
直线的方程：,代入椭圆方程,
整理化简得,
∴,
∴ , 得,
∵为线段的垂直平分线，根据对称性,,
∴△的周长等于的周长,利用椭圆的定义得周长为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（1）证明：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，
为z轴建立空间直角坐标系．
则, , , ，
, , ．
所以 …………1分
因为平面,
所以平面的一个法向量为， ………………2分
因为，所以，因为平面，……3分
所以平面 ………………4分
（2）解：，，．,
因为平面，
所以平面的一个法向量为 ………………5分
设平面的一个法向量为, 则
令x = 1, 则y =－1，z =－1, 所以 ……………………7分
由 ……………………9分
所以平面与平面所成角的余弦值为． …………10分
18．解：（1）由正弦定理， ……………………2分
即， ……………………3分
由余弦定理， ……………………4分
且，故. ……………………6分
（2）由题意S△ABC，解得. ……………………8分
由余弦定理，可得. …………11分
故△ABC的周长为 ……………………12分
19．解：（1）由，
得. ……………………1分
数学成绩在：
频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，……3分
样本平均值为：
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分． ……5分
（2）由题意可知，分数段的人数为（人），
分数段的人数为（人）. ……………………6分
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽2人，分别记为，
需在分数段内抽3人，分别记为. …………………7分
设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件 A，
则样本空间共包含10个样本点而 A 的对立事件包含3个样本点， …9分
所以． ………………11分
即抽取的这2名学生至少有1人在内的概率为 …………12分
20.（1）证明：将直线的方程化为， ………………3分
由 可得 ，故直线恒过定点. ………6分
（2）解：当时，圆心到直线的距离达到最大值，
此时，直线被圆C截得的弦长最短， ………………8分
此时，，
所以，直线的斜率为，解得， ………………10分
且， ………………11分
此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为. …12分
21.（1）证明：因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE， ………………1分
在△ABD和△CBD中，AD=CD
∠ADB=∠CDB，DB=DB，△ABD≌△CBD
所以AB=CB，又E为AC的中点，
所以AC⊥BE ………………3分
又DE,BE平面BDE，DE∩BE=E
所以AC⊥平面BDE. …………4分
（2）解：由(1)可知AC⊥平面BDE且DE⊥BE
所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则,C(-1,0,0) ………………5分
所以，
设面ABD的一个法向量为，则
,
取，则x=3, z=3, 所以 ， ………………7分
又，，
设，，所以
………………8分
设与平面所成的角为θ，
因为，
所以，
所以，解得， ………………10分
由 ………………11分
………………12分
22．解：（1）由题意得 ，解得 ………………3分
故椭圆的方程为． ………………5分
（2）k1k2为定值 ………………6分
设，，直线的方程为
由 ，得 ………………7分
所以， ………………8分
由A，P，M三点共线可知，，所以；
同理可得
所以 …………10分
因为，
所以
………………12分文昌市、澄迈县两校2023-2024学年高二上学期期中段考
数学科段考试题
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，且，则x的值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
3．如图，在平行六面体中，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道
的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图在长方体中，，E，F，G分别是 棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面，则线段的最小值为（ ）
A． B．1
C． D．
7．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．点在曲线上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为
B．直线的横截距为
C．若，则与直线的交点为
D．若，则点关于直线的对称点为
10．关于椭圆 ,下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为4 B．短轴长为1
C．焦距为 D．离心率为
11．已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．x＋y的最小值为 D．的最大值为
12．如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，点P为圆弧上一动点（点P与点A, D不重合）＝ ，则（ ）
A．存在值，使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．当时，异面直线PB与AD所成角的余弦值为
D．直线PB与平面所成最大角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。
13．已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__________．
15．已知直线，圆，圆上恰有4个点到直线的距离为1，则b的取值范围为__________．
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为,，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D, E两点，，则△的周长
是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
如图，在正方体中，棱长为2，
M、N分别为、AC的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值。
18．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为且．
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长。
19．（本小题满分12分）某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，
由频率分布直方图，成绩在和
的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的
方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机
抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2
名学生至少有1人成绩在内的概率。
20．（本小题满分12分）已知直线和以点为圆心的圆．
（1）求证：直线恒过定点；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长。
21．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：AC⊥平面BDE；
（2）设DE⊥BE，DE＝1，∠ACB＝60°，点F在
BD上，若CF与平面ABD所成角的正弦值为
，求点F到平面ADC的距离。
22．（本小题满分12分）已知椭圆C：（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆C于P，Q两点，连接AP, AQ分别交直线于M, N两点，若直线MR、NR的斜率分别为、,
试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由。
