2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区武汉情智学校高二上学期11月期中考试数学试题(含解析 )
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区武汉情智学校高二上学期11月期中考试数学试题(含解析 ) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 606.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 06:11:06 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖北省武汉市汉阳区武汉情智学校高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则等于
( )
A. B. C. D.
3.已知圆，该圆被直线所截得弦长为
( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与：，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为
( )
A. B. C. D.
6.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为
( )
A. B. C. D.
7.若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的斜率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.如图，在直四棱柱中，，，，，分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是
( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10.已知圆，直线，则
( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，直线在圆中的弦最短
C. 直线与圆有一个交点
D. 若圆与圆恰有三条公切线，则
11.圆和圆的交点为，，则有
．( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
12.在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ．
14.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
15.点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是_________．
16.已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，，若锐角外接圆的半径为，则的面积是_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程用一般式表示．
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程；
边上的垂直平分线所在直线的方程．
18.本小题分
如图，在正方体中，，，分别是，，的中点．
证明：．
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上．
求圆的方程；
若点为所求圆上任意一点，定点的坐标为，求直线的中点的轨迹方程．
20.本小题分
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点．
求的周长．
求的长．
21.本小题分
已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
求证：平面；
平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
22.本小题分
已知离心率为的椭圆与轴，轴正半轴交于，两点，作直线的平行线交椭圆于，两点．
若的面积为，求椭圆的标准方程；
在的条件下．
(ⅰ)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
(ⅱ)求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由对称性得出点 坐标，进而得出 ．
解：点 关于原点中心对称的点为 ，
则点 关于 轴对称的点为 ， ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，考查向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
先计算，再计算．
【解答】
解：，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长．
解：由圆的方程可知：圆心 ，半径 ，
圆心到直线的距离 ，
直线被圆截得的弦长为 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由两直线平行的判定，列方程求参数 ，注意验证是否存在重合情况，再结合充分、必要性定义判断即可．
解：若 ，则 ，即 或 ，
当 时，则直线 ： 与 ： ，显然两直线重合；
当 时，则直线 ： 与 ： ，显然两直线平行；
综上所述，若 ，则 ．
所以，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据直线方程可得 ，从而由两平行直线间的距离得出梯形的高，根据梯形面积公式可得出答案．
解：由直线 的方程为： ，直线 的方程为
可知 ，所以梯形 的高即为直线 和 间的距离 ，所以梯形 的面积为 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用共面的条件求出 ，再利用投影向量及模的定义计算即得．
解：因为 共面，则存在实数 ，使得 ，即 ，
于是 ，
所以 在 上的投影向量的模为 ．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．
根据题意，可得，进行求解即可．
【解答】
解：圆整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，
，
，
设直线的斜率为，则，
，
直线的斜率的取值范围是
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出 ， ，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出 ，求出的长的最大值．
解：依题意， ， ， 两两互相垂直，
以为原点， ， ， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ， ， ，且，不同时为，
则 ， ， ，所以 ，
设平面的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，则 ，
显然 为平面的一个法向量．
因为平面 与平面 所成角的大小为 ，
所以 ，
即 ，
得 ，
所以 ，所以当 时，取得最大值，最大值为 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：空间中三点，，，
对于，，，
与不是共线向量，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，，
和夹角的余弦值是：
，故C错误；
对于，，，
设平面的法向量，
则，取，得，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】化简直线的 方程为，可判定；由时，直线在圆中的弦最短，借助垂直关系判断；由点与圆的位置关系判断；由两圆外切结合位置关系判断．
解：对于，因为直线，
可得，令，解得，
所以直线恒过点，所以 A错误；
对于：，则点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，故 C错误；
对于，当时，直线在圆中的弦最短，此时，所以 B正确；
对于，圆，可得，
要使得圆与圆恰有三条公切线，
可得，即，解得，所以 D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题．
两圆的方程作差即可得出公共弦的直线方程判断；由选项A得出直线的中垂线的斜率，再由中垂线过圆的圆心即可得到中垂线方程判断；求出圆心到直线的距离，利用垂径定理得出公共弦长，即为圆上的点到直线的最大值，判断，．
【解答】
解：由圆和圆，
两圆方程相减得：公共弦所在直线方程为，故A正确；
由选项A可得：直线的中垂线的斜率，
又中垂线过圆的圆心，
所以线段中垂线方程为，故B正确；
可得圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
由选项C得：圆心到直线的距离，
又为圆上一动点，圆的半径，
则到直线距离的最大值为，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量，异面直线所成角的余弦值，法向量，以及二面角的余弦值，属于中档题．
对于，由，，即可求出；
对于，求出，，由此能求出异面直线与所成角的余弦值；
对于，求出，，由此能求出平面的一个法向量；
对于，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，由此能求出二面角的余弦值．
【解答】
解：由题意可得，，，，，，，
选项A，则A 正确；
选项B，，所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为，则不正确；
选项C：设平面的一个法向量为，
由，，则，
所以 ，取，得，则C正确；
选项D：由上可得平面的一个法向量为，
又平面的法向量为，
则，，
所以二面角的余弦值为，则D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的简单性质及定义，由定义求解即可，属于基础题．
先判断出，，依据椭圆的定义推出，求解即可推出结论．
【解答】
解：如下图，
，是椭圆的两个焦点，是上的一点，
若，且，
所以，，
所以由椭圆定义有，
所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
根据向量的夹角公式计算 ，再计算面积 得到答案．
【解答】
解： ， ，则 ，
， ，
面积为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程．
解：将动直线整理为，
联立，可得，所以动直线过定点．
又，所以点在以为直径的圆上运动，
设，则，
，
即．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】由正弦定理得出，再由余弦定理结合椭圆定义得出，进而求出面积．
解：由题得，，由正弦定理得，
又，代入得，故，
由余弦定理可得，因为，
所以，
．
故答案为：
17.【答案】解：由已知，得的中点的坐标为，又因为上的中线过，
所以直线的方程为，即．
边所在直线的斜率，
因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为，
又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，
即．
由已知，得直线的斜率为，的中点的坐标为，
所以边上的垂直平分线所在直线斜率为，
所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即．
【解析】【分析】先求出的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解．
根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合的中点，列点斜式方程，即可求解．
18.【答案】解：正方体的棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
，，，．
因为，所以，即．
方法二：连接．
在正方体中，平面，所以．
因为，所以．
因为，所以四点共面，
在正方形中，，分别是边，的中点，可得≌，
所以，，所以．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以，即．
因为，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的 正弦值为．
【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，证明得；
方法二：连接，证明平面得；
证明为平面的一个法向量，用空间向量运算求线面角．
19.【答案】解：由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆的圆心，半径．
所以，圆的方程为，
设，则由为线段的中点得：，解得
又点在圆：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
【解析】【分析】首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
首先设出点的坐标，利用中点得到点坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点的轨迹方程．
20.【答案】解：由椭圆方程可知：，则，
所以的周长为．
由可知：，且直线的斜率，
可得：直线，设，
联立方程，消去得，
则，且，
所以．
【解析】【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解；
根据弦长公式结合韦达定理运算求解．
21.【答案】解：底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则．
又平面，平面；
存在满足要求，理由如下：
设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，即．
因此，在平面内存在点，使平面．
【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标．
22.【答案】解：椭圆的离心率为，，即
又，
由解得，，故椭圆的标准方程是．
解：设直线：，代入得，
设，，
，
，
分子，
为定值．
证明：令直线：，
，
，
，
由韦达定理得，
故，
由知，直线代入椭圆方程，化简得：
，故．
从而，，
记当时，，
当时，记，则，
令，
当时，当且仅当时等号成立，
于是．
此时，，
当且仅当，即时，等号成立．
同理，当时，．
此时，
当且仅当，即时，等号成立．
综上所述，当且仅当时取得最大值．
【解析】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点、定值问题等知识，属于中等题．
根据条件列出关于，，的方程，可求椭圆方程；
首先设直线的方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，并且利用坐标表示，化简后得证；
(ⅱ)首先设直线，的方程，与椭圆方程联立，求得点，的横坐标，再利用弦长公式表示，再利用换元法，求得函数的最大值．
第1页，共17页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，则等于
( )
A. B. C. D.
3.已知圆，该圆被直线所截得弦长为
( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与：，则“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为
( )
A. B. C. D.
6.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为
( )
A. B. C. D.
7.若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的斜率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.如图，在直四棱柱中，，，，，分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是
( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10.已知圆，直线，则
( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，直线在圆中的弦最短
C. 直线与圆有一个交点
D. 若圆与圆恰有三条公切线，则
11.圆和圆的交点为，，则有
．( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
12.在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ．
14.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
15.点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是_________．
16.已知点是椭圆上一点，其左、右焦点分别为，，若锐角外接圆的半径为，则的面积是_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程用一般式表示．
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程；
边上的垂直平分线所在直线的方程．
18.本小题分
如图，在正方体中，，，分别是，，的中点．
证明：．
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上．
求圆的方程；
若点为所求圆上任意一点，定点的坐标为，求直线的中点的轨迹方程．
20.本小题分
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，是椭圆的右焦点．
求的周长．
求的长．
21.本小题分
已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
求证：平面；
平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
22.本小题分
已知离心率为的椭圆与轴，轴正半轴交于，两点，作直线的平行线交椭圆于，两点．
若的面积为，求椭圆的标准方程；
在的条件下．
(ⅰ)记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
(ⅱ)求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由对称性得出点 坐标，进而得出 ．
解：点 关于原点中心对称的点为 ，
则点 关于 轴对称的点为 ， ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算，考查向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
先计算，再计算．
【解答】
解：，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长．
解：由圆的方程可知：圆心 ，半径 ，
圆心到直线的距离 ，
直线被圆截得的弦长为 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由两直线平行的判定，列方程求参数 ，注意验证是否存在重合情况，再结合充分、必要性定义判断即可．
解：若 ，则 ，即 或 ，
当 时，则直线 ： 与 ： ，显然两直线重合；
当 时，则直线 ： 与 ： ，显然两直线平行；
综上所述，若 ，则 ．
所以，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据直线方程可得 ，从而由两平行直线间的距离得出梯形的高，根据梯形面积公式可得出答案．
解：由直线 的方程为： ，直线 的方程为
可知 ，所以梯形 的高即为直线 和 间的距离 ，所以梯形 的面积为 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】利用共面的条件求出 ，再利用投影向量及模的定义计算即得．
解：因为 共面，则存在实数 ，使得 ，即 ，
于是 ，
所以 在 上的投影向量的模为 ．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．
根据题意，可得，进行求解即可．
【解答】
解：圆整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，
，
，
设直线的斜率为，则，
，
直线的斜率的取值范围是
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出 ， ，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出 ，求出的长的最大值．
解：依题意， ， ， 两两互相垂直，
以为原点， ， ， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ， ， ，且，不同时为，
则 ， ， ，所以 ，
设平面的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，则 ，
显然 为平面的一个法向量．
因为平面 与平面 所成角的大小为 ，
所以 ，
即 ，
得 ，
所以 ，所以当 时，取得最大值，最大值为 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】
解：空间中三点，，，
对于，，，
与不是共线向量，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，，
和夹角的余弦值是：
，故C错误；
对于，，，
设平面的法向量，
则，取，得，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】化简直线的 方程为，可判定；由时，直线在圆中的弦最短，借助垂直关系判断；由点与圆的位置关系判断；由两圆外切结合位置关系判断．
解：对于，因为直线，
可得，令，解得，
所以直线恒过点，所以 A错误；
对于：，则点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，故 C错误；
对于，当时，直线在圆中的弦最短，此时，所以 B正确；
对于，圆，可得，
要使得圆与圆恰有三条公切线，
可得，即，解得，所以 D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题．
两圆的方程作差即可得出公共弦的直线方程判断；由选项A得出直线的中垂线的斜率，再由中垂线过圆的圆心即可得到中垂线方程判断；求出圆心到直线的距离，利用垂径定理得出公共弦长，即为圆上的点到直线的最大值，判断，．
【解答】
解：由圆和圆，
两圆方程相减得：公共弦所在直线方程为，故A正确；
由选项A可得：直线的中垂线的斜率，
又中垂线过圆的圆心，
所以线段中垂线方程为，故B正确；
可得圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
由选项C得：圆心到直线的距离，
又为圆上一动点，圆的半径，
则到直线距离的最大值为，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量，异面直线所成角的余弦值，法向量，以及二面角的余弦值，属于中档题．
对于，由，，即可求出；
对于，求出，，由此能求出异面直线与所成角的余弦值；
对于，求出，，由此能求出平面的一个法向量；
对于，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，由此能求出二面角的余弦值．
【解答】
解：由题意可得，，，，，，，
选项A，则A 正确；
选项B，，所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为，则不正确；
选项C：设平面的一个法向量为，
由，，则，
所以 ，取，得，则C正确；
选项D：由上可得平面的一个法向量为，
又平面的法向量为，
则，，
所以二面角的余弦值为，则D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的简单性质及定义，由定义求解即可，属于基础题．
先判断出，，依据椭圆的定义推出，求解即可推出结论．
【解答】
解：如下图，
，是椭圆的两个焦点，是上的一点，
若，且，
所以，，
所以由椭圆定义有，
所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量运算的坐标表示，属于基础题．
根据向量的夹角公式计算 ，再计算面积 得到答案．
【解答】
解： ， ，则 ，
， ，
面积为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程．
解：将动直线整理为，
联立，可得，所以动直线过定点．
又，所以点在以为直径的圆上运动，
设，则，
，
即．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】由正弦定理得出，再由余弦定理结合椭圆定义得出，进而求出面积．
解：由题得，，由正弦定理得，
又，代入得，故，
由余弦定理可得，因为，
所以，
．
故答案为：
17.【答案】解：由已知，得的中点的坐标为，又因为上的中线过，
所以直线的方程为，即．
边所在直线的斜率，
因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为，
又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，
即．
由已知，得直线的斜率为，的中点的坐标为，
所以边上的垂直平分线所在直线斜率为，
所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即．
【解析】【分析】先求出的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解．
根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合的中点，列点斜式方程，即可求解．
18.【答案】解：正方体的棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
，，，．
因为，所以，即．
方法二：连接．
在正方体中，平面，所以．
因为，所以．
因为，所以四点共面，
在正方形中，，分别是边，的中点，可得≌，
所以，，所以．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以，即．
因为，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的 正弦值为．
【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，证明得；
方法二：连接，证明平面得；
证明为平面的一个法向量，用空间向量运算求线面角．
19.【答案】解：由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆的圆心，半径．
所以，圆的方程为，
设，则由为线段的中点得：，解得
又点在圆：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
【解析】【分析】首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
首先设出点的坐标，利用中点得到点坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点的轨迹方程．
20.【答案】解：由椭圆方程可知：，则，
所以的周长为．
由可知：，且直线的斜率，
可得：直线，设，
联立方程，消去得，
则，且，
所以．
【解析】【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解；
根据弦长公式结合韦达定理运算求解．
21.【答案】解：底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则．
又平面，平面；
存在满足要求，理由如下：
设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，即．
因此，在平面内存在点，使平面．
【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标．
22.【答案】解：椭圆的离心率为，，即
又，
由解得，，故椭圆的标准方程是．
解：设直线：，代入得，
设，，
，
，
分子，
为定值．
证明：令直线：，
，
，
，
由韦达定理得，
故，
由知，直线代入椭圆方程，化简得：
，故．
从而，，
记当时，，
当时，记，则，
令，
当时，当且仅当时等号成立，
于是．
此时，，
当且仅当，即时，等号成立．
同理，当时，．
此时，
当且仅当，即时，等号成立．
综上所述，当且仅当时取得最大值．
【解析】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点、定值问题等知识，属于中等题．
根据条件列出关于，，的方程，可求椭圆方程；
首先设直线的方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，并且利用坐标表示，化简后得证；
(ⅱ)首先设直线，的方程，与椭圆方程联立，求得点，的横坐标，再利用弦长公式表示，再利用换元法，求得函数的最大值．
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