2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高二上学期期中联合考试数学试题(含解析 )
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高二上学期期中联合考试数学试题(含解析 ) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 696.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 06:11:38 | ||
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文档简介
2023-2024学年辽宁省辽东教学共同体高二上学期期中联合考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是
( )
A. B. C. D.
2.过点且斜率为的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是
( )
A. B. C. D.
4.已知是正实数，则“”是“圆与圆有公共点”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.圆与圆的公切线条数为
( )
A. B. C. D.
6.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
8.如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值可以是
( )
A. B. C. D.
10.设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
11.的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是
( )
A. 边与直线平行
B. 边上的高所在的直线的方程为
C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D. 过点且平分面积的直线与边相交于点
12.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则
( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 二面角的正切值为
C. 点到平面的距离是点到平面的距离的倍
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的周长是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知直线：与直线：垂直，则的值为______
14.方程化简后为______．
15.已知直线经过，点，求点到的距离__________
16.如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线与直线的交点为．
求过点且与直线平行的直线的方程．
求过点且到点的距离为的直线的方程；
18.本小题分
如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，直线过定点．
设点的轨迹为曲线，求的方程；
若直线与曲线相交于两点，求面积取最大值时，直线的方程．
20.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点在棱上，当二面角为时，求．
21.本小题分
九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图阳马中平面点在侧棱上，．
证明：平面；
求二面角的余弦值
22.本小题分
分别过椭圆左右焦点的动直线，相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率分别为，且满足，已知当与轴重合时，，．
求椭圆的方程；
是否存在定点，，使得为定值？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案．
解： ，选项错误．
，选项正确．
，选项错误．
，选项错误．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可．
解：过点 且斜率为 的直线 的方程是 ，
即 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，属于基础题．
利用空间直角坐标系中对称点的特征即可求解．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，由集合的包含关系判断必要、充分条件，属于中档题．
两圆有公共点则 ，列出不等式求解的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可．
解： 的圆心 ，半径 ，
的圆心 ，半径 ，
两圆圆心距 ，
因为两圆有公共点，
所以 ，解得 ，
显然 ，所以“ ”是“圆 与圆 有公共点”的必要不充分条件．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数．
解：圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径长为 ．
圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径长为 ．
圆心距为 ，由于 ，即 ，
所以，两圆相交，公切线的条数为 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】先证明出 ， 以为原点， 分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系用向量法求解．
解：由题意： ，所以 ，所以 同理： ．
所以可以以为原点， 分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ．
所以 ， ．
设异面直线 与 所成角为 ，则 ．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】求轨迹方程可直接设所求点坐标为 ，再根据题目所给信息，用含有 的表达式表达已知方程上的动点 ，再带入 满足的方程化简即可．
求轨迹方程可设动点 ， ，再利用 求出 关于 的坐标关系式，再将 坐标表达式代入椭圆方程即可．
解：设动点 ， ，因为 ，故 ，化简得 ，又 在椭圆 上，故 ，化简得 ，故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间两点间距离公式进行求解．
根据长方体的几何性质，结合锐角三角函数定义、通过建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可．
解：因为点 的轨迹与侧面 相交，
所以点 的轨迹在侧面 内，
由长方体性质可知： 都与平面 垂直，
而 在平面 内，所以 ，
由 ，
可知 ，即 ，故 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，故所求点 满足 ，
化简得 ，
故所求的即为此圆在矩形 内的部分，
即圆心角为 ，半径为的圆弧，长度为 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程，属基础题．
先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的标准方程可建立关于的不等式，求得的范围．
【解答】
解：方程，即表示焦点在轴上的椭圆，
，故，
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】设圆的方程为，根据直线过圆心，点在圆上，直线与圆相交的弦长为列方程组，求出圆心和半径，则圆的方程也出来了．
解：设圆的方程为，
由已知可知，直线过圆心，故
因为点在圆上，所以
因为直线与圆相交的弦长为，所以
解由组成的方程组，
得或
故所求方程为或．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】由直线斜率判断，求出相应的直线方程判断，求出边中点坐标判断．
解：直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即， B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，错；
过点且平分面积的直线过边中点，坐标为， D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方体的结构特征，线面垂直的性质，异面直线所成角，二面角，棱锥的体积，平面的基本事实及其推论的应用和点面、线面、面面距离，属于较难题．
利用正方体的结构特征，结合异面直线所成角对进行判断，利用正方体的结构特征，结合二面角和线面垂直的性质对进行判断，利用正方体的结构特征，结合点到平面的距离和棱锥的体积对进行判断，利用正方体的结构特征，结合平面的基本事实及其推论得截面，再利用平面几何知识对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于如图：
在正方体中，因为，，
所以与所成角就是异面直线与所成角，即，
而是正三角形，因此，所以异面直线与所成角为，故A错误
对于如图：
在正方体中，连接，交于，连接，交于，交于．
连接，．
因为平面，，平面，所以，，
因此是二面角的平面角．
因为正方体的棱长为，所以，，
因此，即二面角的正切值为，故B正确
对于由选项B的图知：，因此．
如图：
设点到平面的距离为，点到平面的距离为．
由得，解得，
由得，解得，
因此，即点到平面的距离是点到平面的距离的倍，故C正确
对于如图：
在平面内，延长，分别交直线于，，
连接，分别交，于，，连接，，
则五边形为过，，三点的平面截该正方体所得截面．
取的中点，连接，由，分别是，的中点，
得且，
因此是的中点，所以，因此，即．
同理可得，．
因为正方体的棱长为，所以，，，
所以截面的边长为，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，属于基础题．
由两直线垂直的充要条件可得 ，从而可求得的值．
【详解】 ， ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】运用方程的几何意义得出结果．
解： ，
故令 ， ，
，
方程表示的曲线是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆，
即 ， ， ，
方程为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】先求出 ，再根据点线距离的向量公式即可求解．
解：根据题意： ， ，
则 ， ，
所以点到的距离为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查外接球的计算，考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象力、运算能力和推理论证能力，是难题．
【解答】
解：法一：设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得．
由题意，，，在方向上的投影向量的长度分别为，，于是，，即，即，即同理，，．
从而由，得，即，解得，所以正方体的外接球半径为，外接球的表面积为．
法二：如图，连结，，，过向上作平面的垂线段，接下来以为一条体对角线，同时将顶点处的三条棱放在正方体的棱，，上作一个长方体，，，是长方体的三条棱图略，则
则．
作于，于，于连结，，，
令，，，由，
可得，
设正方体的棱长为，因为，，，
所以，解得，
故该正方体外接球半径为，外接球的表面积为．
17.【答案】解：由 可得： ，所以
过点 且与 平行的直线的斜率为： ，
所求的直线方程为： ，即 ．
若所求直线方程斜率不存在设为： ，
到点 的距离为，不满足题意；
若所求直线方程斜率存在，设为 ，即 ，
到直线的距离为，
，解得 或 ，
直线方程为 或 ；
【解析】【分析】先求出 ，再由点斜式方程求解即可；
讨论所求直线方程斜率不存在，不满足题意；直线方程斜率存在，设为 ，由点到直线的距离求出 ，即可得出答案．
18.【答案】解：如图，在空间直角坐标系中有长方体，
，，，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，，
，，
设直线与平面夹角为，
则，
故直线与平面夹角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
利用已知条件分别求出向量和平面的法向量，设直线与平面夹角为，由公式能求出结果．
19.【答案】解：设点 ，因为 的坐标是 ，且 是线段 的中点，
所以 ，又有点 在圆 上运动，
所以 点坐标满足圆的方程 ，
即 ，整理得 ，
故点 的轨迹为 ；
由知点 的轨迹方程为 ，
即轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，
若直线 斜率不存在，则直线 ，
因为圆心 到直线的距离为等于半径，
此时直线 与圆相切，不存在两个不同交点 ，故不符合题意舍；
若直线 的斜率存在，设直线 ，即 ，
由直线 与圆 相交于 两点，圆心到直线 的距离 小于半径，
即 ，解得 ，
根据圆的性质可知： ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以当 时， 有最大值为 ，此时 ，
解得 或 ，此时直线 的方程为 或 ．
【解析】【分析】设出点 ，根据 且 是 的中点，求出 点坐标，代入圆 中化简即可得出结果；
根据直线 过定点 ，分析斜率存在不存在，设出直线方程，进而求出点到直线的距离，再根据勾股定理求得弦长 ，写出 面积，利用基本不等式求得面积最值，考虑不等式取等的条件，即可求得面积取最大值时，直线 的方程．
20.【答案】证明：如图，作于点，于点，
则有，，即四边形是平行四边形，从而，
又，，即四边形是平行四边形，从而，
从而，得证．
如图，以点为原点，以、、分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．
设，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，，故
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，，故
二面角的平面角为，
，
解得或，则．
【解析】本题考查了立体几何中线线平行的判定、二面角等知识，属于中档题．
作于点，于点，构造两个平行四边形，根据平行于同一直线的两直线平行，即可证明．
适当建立空间直角坐标系，设点，分别求出平面与平面的一个法向量，由二面角为，可知，解出的值，进而求得．
21.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
设
由 得
即 ，解得 ，即
故 在侧棱 的中点；
连接 交 于点 ，连接 ，则 为三角形 的中位线
平面 平面
平面 ；
设 为平面 的一个法向量，则
而 ， ，则
取 ， ；
设 是平面 的一个法向量，则
而 ，
则
取
于是 ，
而二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为
【解析】【分析】向量方法求解二面角的余弦值的步骤：
建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；
设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可
计算中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值
建立空间直角坐标系，利用向量法证明 在侧棱 的中点，再由线面平行的判定证明；
建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角 的余弦值．
22.【答案】解：当 与 轴重合时， ，即 ，
由椭圆的对称性得直线 垂直于 轴，
，解得 ，
椭圆 的方程为 ．
焦点 坐标分别为 ，
当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 ，
当直线 斜率存在时，设斜率分别为 ，则直线 的方程为：
设 ，
所以联立方程 得 ，
，
，
同理得 ，
，即 ，
，即 ，
动直线 ， 相交于 点， ，
，
设 ，则 ，即
由当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 也满足，
点 点在椭圆 上，
存在点 其坐标分别为 ，使得 为定值
【解析】【分析】根据题意当 与 轴重合时 垂直于 轴，进而根据长轴长与通径长求解即可；
先讨论直线 或 斜率不存在时得 点坐标为 或 ，再讨论直线 斜率存在时，设斜率分别为 ，进而将直线 方程与椭圆联立，结合韦达定理得 ， ，进而结合已知得 ，进而根据斜率关系得 点轨迹为 ，再综合即可得点 点在椭圆 上，进而得其焦点 即为所求定点 ， ．
第18页，共20页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是
( )
A. B. C. D.
2.过点且斜率为的直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是
( )
A. B. C. D.
4.已知是正实数，则“”是“圆与圆有公共点”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.圆与圆的公切线条数为
( )
A. B. C. D.
6.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，且为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是
A. B.
C. D.
8.如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值可以是
( )
A. B. C. D.
10.设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
11.的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是
( )
A. 边与直线平行
B. 边上的高所在的直线的方程为
C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D. 过点且平分面积的直线与边相交于点
12.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则
( )
A. 异面直线与所成的角为
B. 二面角的正切值为
C. 点到平面的距离是点到平面的距离的倍
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的周长是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知直线：与直线：垂直，则的值为______
14.方程化简后为______．
15.已知直线经过，点，求点到的距离__________
16.如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线与直线的交点为．
求过点且与直线平行的直线的方程．
求过点且到点的距离为的直线的方程；
18.本小题分
如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，直线过定点．
设点的轨迹为曲线，求的方程；
若直线与曲线相交于两点，求面积取最大值时，直线的方程．
20.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点在棱上，当二面角为时，求．
21.本小题分
九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图阳马中平面点在侧棱上，．
证明：平面；
求二面角的余弦值
22.本小题分
分别过椭圆左右焦点的动直线，相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率分别为，且满足，已知当与轴重合时，，．
求椭圆的方程；
是否存在定点，，使得为定值？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案．
解： ，选项错误．
，选项正确．
，选项错误．
，选项错误．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可．
解：过点 且斜率为 的直线 的方程是 ，
即 ．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，属于基础题．
利用空间直角坐标系中对称点的特征即可求解．
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，由集合的包含关系判断必要、充分条件，属于中档题．
两圆有公共点则 ，列出不等式求解的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可．
解： 的圆心 ，半径 ，
的圆心 ，半径 ，
两圆圆心距 ，
因为两圆有公共点，
所以 ，解得 ，
显然 ，所以“ ”是“圆 与圆 有公共点”的必要不充分条件．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数．
解：圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径长为 ．
圆 的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径长为 ．
圆心距为 ，由于 ，即 ，
所以，两圆相交，公切线的条数为 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】先证明出 ， 以为原点， 分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系用向量法求解．
解：由题意： ，所以 ，所以 同理： ．
所以可以以为原点， 分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ．
所以 ， ．
设异面直线 与 所成角为 ，则 ．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】求轨迹方程可直接设所求点坐标为 ，再根据题目所给信息，用含有 的表达式表达已知方程上的动点 ，再带入 满足的方程化简即可．
求轨迹方程可设动点 ， ，再利用 求出 关于 的坐标关系式，再将 坐标表达式代入椭圆方程即可．
解：设动点 ， ，因为 ，故 ，化简得 ，又 在椭圆 上，故 ，化简得 ，故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间两点间距离公式进行求解．
根据长方体的几何性质，结合锐角三角函数定义、通过建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可．
解：因为点 的轨迹与侧面 相交，
所以点 的轨迹在侧面 内，
由长方体性质可知： 都与平面 垂直，
而 在平面 内，所以 ，
由 ，
可知 ，即 ，故 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，故所求点 满足 ，
化简得 ，
故所求的即为此圆在矩形 内的部分，
即圆心角为 ，半径为的圆弧，长度为 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程，属基础题．
先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的标准方程可建立关于的不等式，求得的范围．
【解答】
解：方程，即表示焦点在轴上的椭圆，
，故，
故选CD．
10.【答案】
【解析】【分析】设圆的方程为，根据直线过圆心，点在圆上，直线与圆相交的弦长为列方程组，求出圆心和半径，则圆的方程也出来了．
解：设圆的方程为，
由已知可知，直线过圆心，故
因为点在圆上，所以
因为直线与圆相交的弦长为，所以
解由组成的方程组，
得或
故所求方程为或．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】由直线斜率判断，求出相应的直线方程判断，求出边中点坐标判断．
解：直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即， B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，错；
过点且平分面积的直线过边中点，坐标为， D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方体的结构特征，线面垂直的性质，异面直线所成角，二面角，棱锥的体积，平面的基本事实及其推论的应用和点面、线面、面面距离，属于较难题．
利用正方体的结构特征，结合异面直线所成角对进行判断，利用正方体的结构特征，结合二面角和线面垂直的性质对进行判断，利用正方体的结构特征，结合点到平面的距离和棱锥的体积对进行判断，利用正方体的结构特征，结合平面的基本事实及其推论得截面，再利用平面几何知识对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于如图：
在正方体中，因为，，
所以与所成角就是异面直线与所成角，即，
而是正三角形，因此，所以异面直线与所成角为，故A错误
对于如图：
在正方体中，连接，交于，连接，交于，交于．
连接，．
因为平面，，平面，所以，，
因此是二面角的平面角．
因为正方体的棱长为，所以，，
因此，即二面角的正切值为，故B正确
对于由选项B的图知：，因此．
如图：
设点到平面的距离为，点到平面的距离为．
由得，解得，
由得，解得，
因此，即点到平面的距离是点到平面的距离的倍，故C正确
对于如图：
在平面内，延长，分别交直线于，，
连接，分别交，于，，连接，，
则五边形为过，，三点的平面截该正方体所得截面．
取的中点，连接，由，分别是，的中点，
得且，
因此是的中点，所以，因此，即．
同理可得，．
因为正方体的棱长为，所以，，，
所以截面的边长为，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查两直线垂直的充要条件，考查运算求解能力，属于基础题．
由两直线垂直的充要条件可得 ，从而可求得的值．
【详解】 ， ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】运用方程的几何意义得出结果．
解： ，
故令 ， ，
，
方程表示的曲线是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆，
即 ， ， ，
方程为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】先求出 ，再根据点线距离的向量公式即可求解．
解：根据题意： ， ，
则 ， ，
所以点到的距离为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查外接球的计算，考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象力、运算能力和推理论证能力，是难题．
【解答】
解：法一：设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得．
由题意，，，在方向上的投影向量的长度分别为，，于是，，即，即，即同理，，．
从而由，得，即，解得，所以正方体的外接球半径为，外接球的表面积为．
法二：如图，连结，，，过向上作平面的垂线段，接下来以为一条体对角线，同时将顶点处的三条棱放在正方体的棱，，上作一个长方体，，，是长方体的三条棱图略，则
则．
作于，于，于连结，，，
令，，，由，
可得，
设正方体的棱长为，因为，，，
所以，解得，
故该正方体外接球半径为，外接球的表面积为．
17.【答案】解：由 可得： ，所以
过点 且与 平行的直线的斜率为： ，
所求的直线方程为： ，即 ．
若所求直线方程斜率不存在设为： ，
到点 的距离为，不满足题意；
若所求直线方程斜率存在，设为 ，即 ，
到直线的距离为，
，解得 或 ，
直线方程为 或 ；
【解析】【分析】先求出 ，再由点斜式方程求解即可；
讨论所求直线方程斜率不存在，不满足题意；直线方程斜率存在，设为 ，由点到直线的距离求出 ，即可得出答案．
18.【答案】解：如图，在空间直角坐标系中有长方体，
，，，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，，
，，
设直线与平面夹角为，
则，
故直线与平面夹角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
利用已知条件分别求出向量和平面的法向量，设直线与平面夹角为，由公式能求出结果．
19.【答案】解：设点 ，因为 的坐标是 ，且 是线段 的中点，
所以 ，又有点 在圆 上运动，
所以 点坐标满足圆的方程 ，
即 ，整理得 ，
故点 的轨迹为 ；
由知点 的轨迹方程为 ，
即轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，
若直线 斜率不存在，则直线 ，
因为圆心 到直线的距离为等于半径，
此时直线 与圆相切，不存在两个不同交点 ，故不符合题意舍；
若直线 的斜率存在，设直线 ，即 ，
由直线 与圆 相交于 两点，圆心到直线 的距离 小于半径，
即 ，解得 ，
根据圆的性质可知： ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以当 时， 有最大值为 ，此时 ，
解得 或 ，此时直线 的方程为 或 ．
【解析】【分析】设出点 ，根据 且 是 的中点，求出 点坐标，代入圆 中化简即可得出结果；
根据直线 过定点 ，分析斜率存在不存在，设出直线方程，进而求出点到直线的距离，再根据勾股定理求得弦长 ，写出 面积，利用基本不等式求得面积最值，考虑不等式取等的条件，即可求得面积取最大值时，直线 的方程．
20.【答案】证明：如图，作于点，于点，
则有，，即四边形是平行四边形，从而，
又，，即四边形是平行四边形，从而，
从而，得证．
如图，以点为原点，以、、分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．
设，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，，故
设平面的一个法向量为，
则，即
令，则，，故
二面角的平面角为，
，
解得或，则．
【解析】本题考查了立体几何中线线平行的判定、二面角等知识，属于中档题．
作于点，于点，构造两个平行四边形，根据平行于同一直线的两直线平行，即可证明．
适当建立空间直角坐标系，设点，分别求出平面与平面的一个法向量，由二面角为，可知，解出的值，进而求得．
21.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
设
由 得
即 ，解得 ，即
故 在侧棱 的中点；
连接 交 于点 ，连接 ，则 为三角形 的中位线
平面 平面
平面 ；
设 为平面 的一个法向量，则
而 ， ，则
取 ， ；
设 是平面 的一个法向量，则
而 ，
则
取
于是 ，
而二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为
【解析】【分析】向量方法求解二面角的余弦值的步骤：
建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；
设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可
计算中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值
建立空间直角坐标系，利用向量法证明 在侧棱 的中点，再由线面平行的判定证明；
建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角 的余弦值．
22.【答案】解：当 与 轴重合时， ，即 ，
由椭圆的对称性得直线 垂直于 轴，
，解得 ，
椭圆 的方程为 ．
焦点 坐标分别为 ，
当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 ，
当直线 斜率存在时，设斜率分别为 ，则直线 的方程为：
设 ，
所以联立方程 得 ，
，
，
同理得 ，
，即 ，
，即 ，
动直线 ， 相交于 点， ，
，
设 ，则 ，即
由当直线 或 斜率不存在时， 点坐标为 或 也满足，
点 点在椭圆 上，
存在点 其坐标分别为 ，使得 为定值
【解析】【分析】根据题意当 与 轴重合时 垂直于 轴，进而根据长轴长与通径长求解即可；
先讨论直线 或 斜率不存在时得 点坐标为 或 ，再讨论直线 斜率存在时，设斜率分别为 ，进而将直线 方程与椭圆联立，结合韦达定理得 ， ，进而结合已知得 ，进而根据斜率关系得 点轨迹为 ，再综合即可得点 点在椭圆 上，进而得其焦点 即为所求定点 ， ．
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