2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期期中联考数学试题(含解析 )

2023-2024学年江苏省盐城市联盟校高一上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则．( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知不等式的解集为，则的取值分别为
( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
6.设定义在上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为
( )
A. B.
C. D.
7.设，且恒成立，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
8.设函数，其中表示中的最小者下列说法错误的
( )
A. 函数为偶函数
B. 若时，有
C. 若时，
D. 若时，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设，，，为实数，且，则( )
A. B. C. D.
10.函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是
( )
A.
B. 若在上有最小值，则在上有最大值
C. 若在上为增函数，则在上为减函数
D. 若时，，则时，
11.设都是正数，且，下列结论不正确的是
( )
A. B. C. D.
12.设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为上个世纪五十年代，美国数学家提出了“均值”，即，其中为有理数下列结论正确的有
( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.不等式的解集为______．
14.函数的定义域是______．
15.若，，且，则的最小值为 ．
16.设，函数若与恰有三个公共点，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知命题：“关于的方程有两个大于的实根”为真命题．
求实数的取值范围；
命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
20.本小题分
函数是定义在上的奇函数，且
求函数的解析式；
判断在上的单调性，并用定义证明；
解关于的不等式．
21.本小题分
设函数．
若对于恒成立，求的取值范围；
若对于恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
求函数在内的“和谐区间”；
若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
根据集合的交集运算即可求得答案．
【解答】
解：因为集合，，
故．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；
解：命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，；
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题．
解：由不等式的解集为，
则和为方程的两根，且，
所以，解得．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
解：由，则或，解得或，
所以由推得出，即充分性成立，
由推不出，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】令可判断为奇函数，则，再根据奇函数的性质计算可得．
解：令，，则，
所以为奇函数，
则，又，所以，即，
所以，
所以．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】依题意在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，从而得到的取值情况，即可得解．
解：因为满足对任意，且，都有，
所以在上单调递减，
又为上的奇函数，所以在上单调递减，且，
又，所以，
所以当时，当时，当时，当时，
所以不等式的解集为．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解．
解：因为，所以，，，
恒成立，等价于恒成立，
因为，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以要使恒成立，则需，所以的最大值为．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】一般地，若其中表示中的较小者，则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．
先根据定义作的图像，然后依据图像逐个检验即可．
解：在同一坐标系中画出的图像如图所示，
故的 图像为图所示．
的图像关于轴对称，故为偶函数，故 A正确．
由图可知时，有，故 B成立．
从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故 C成立．
取，则，，，故 D不成立．
综上，选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质和应用，属于基础题．
运用不等式的性质可得AD正确；利用特殊值可验证，均错．
【解答】
解：因为，当时可得，故A正确；
取，，，，可得，，则，故B错；
取，，，，可得，故C错；
因为，所以，
由，可得，
所以，则，故D正确．
故答案选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查奇函数的定义以及性质，属于基础题．
先根据奇函数的定义判断出对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出对错；由奇函数定义求解函数在时的解析式，判断出D正确．
【解答】
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，故A对；
因为奇函数的图象关于原点对称，
若在上有最小值为，则在上有最大值为；故B对；
根据奇函数图象的对称性，在上为增函数，则在上为增函数；故C错；
对于，若时，，则时，，故D正确；
所以正确的命题有，
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】连等式一般可以先设为，分别求值后再逐个验证判断即可．
解：令，则，
所以，
对于：两边同除等价于，
由上可知，，所以， A正确；
对于：两边同除等价于，
由上可知，，所以， B错误；
对于：两边同除等价于，
由上可知，，所以， C错误；
对于：两边同除等价于，
由上可知，，所以， D错误，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查学生对新概念的理解及运算能力，属于中档题．
由，分别求解，，，，， 结合基本不等式及已知条件，逐项判断得答案即可．
【解答】
解：
，由基本不等式，当且仅当取等号，
，A正确
，当且仅当取等号，B正确
，当且仅当取等号，C错误；
因为，由知，D错误．
故选AB．
13.【答案】
【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可．
解：由可得：，
解得：．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】由根式在分母上被开方数大于零，且零指数幂的底数不为零可求得结果．
解：由题意得，解得，且，
所以函数的定义域为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．
由对数运算和换底公式，求得的关系为，根据基本不等式求解即可．
【解答】
解：因为，
所以
，所以，即
所以




当且仅当，即，此时时取等号
所以最小值为
16.【答案】
【解析】【分析】分段讨论与的交点分布，进而列式求解．
解：根据题意：，
当时，，其图像为右端点取不到的单调递增的射线，此时令，解得，可知与至多有一个交点
当时，开口向下，对称轴为轴，与轴的交点为；结合图像，可知与有且只有一个交点
当时，结合图像：令解得舍去或
可知与至多只有一个交点
要使得与恰有三个公共点，
则只需满足，解得．
故答案为：．

17.【答案】解：
．

【解析】【分析】根据分数指数幂运算法则分别化简求值即可．
根据对数运算法则分别化简求值即可．
18.【答案】解：
，
所以，
将代入不等式得，解得，
所以，所以或，
所以；
因为，所以，由知，
又，
所以，
又因为，所以，解得

【解析】【分析】代入后分别求出，再求出，最后求出即可；
先得到，在分别求出，最后得到参数的取值范围．
19.【答案】解：
因为命题为真命题，
而
，所以且，解得
令，，
因为是的必要不充分条件，所以，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得是的必要不充分条件

【解析】【分析】先因式分解求出两根，再分别大于求出参数取值范围即可；
先得到，再考虑是否为空集的情况即可．
20.【答案】解：
根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则，此时，满足是奇函数，
所以．
由的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，
则
又由，
则，，，，
则，即
则函数在上为增函数．
由知为奇函数且在上为增函数．
解可得：，
即不等式的解集为．

【解析】【分析】根据奇偶性的定义与性质求解；
由函数的单调性的定义证明；
由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解．
21.【答案】解：
由题意得，在恒成立，
即在恒成立，
对一切实数恒成立，
在恒成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，在上的最小值为，．
故的取值范围为．
对于恒成立，
对于恒成立，
解得，
故的取值范围为．

【解析】【分析】先转化为对于恒成立，再求的最小值，即得的取值范围．
题设条件可以转化为对于恒成立，将分别代入不等式，即可求出的范围．
22.【答案】解：为上的奇函数，
又当时，，
当时，；
；
设，
在上单调递减，
，即，是方程的两个不相等的正根．


在内的“和谐区间”为．
设为的一个“和谐区间”，则
，同号．
当时，同理可求在内的“和谐区间”为．

依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根．
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得．
综上所述，实数的取值集合为．

【解析】本题考查函数的性质，考查分类讨论思想，方程的应用，属于难题．
利用函数奇偶性的性质写出的解析式；
根据“和谐区间”的定义写出函数在内的“和谐区间”；
设为的一个“和谐区间”，则，即，同号，结合分类讨论得出结果．
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