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导学案(1)参考答案
随堂练习
1.A＝625，B＝144.
2.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴ a2+b2＝c2，
∴c＝＝＝10；
∴b＝＝＝15.
3.解：本题分两种情况讨论：
（1）如图1，当AD在△ABC内时，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2
∴
在Rt△ADC中，DC2+AD2＝AC2
∴，
∴BC=BD+DC＝6+15＝21；
（2）如图2，当AD在△ABC内时，
由（1）知：BD＝6，DC＝15，
∴BC=BD－DC＝15－6＝9，
综合上述，BC的长为9或21.
课课练
1.B，
2.C，
3.D，
4.C
5.25，
6.3，
则AF＝AC－CF＝4，
设EF＝x，则ED＝x，AE＝8－x，
在Rt△AFE中，AE2＝AF2+EF2，
即(8－x)2＝42+x2，
解得：x＝3，
即EF的长为3.
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(2).在Rt△ABC中，∠C=90°
a2+b2=c2,
7.解：在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,
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由折桑可知：CF=CD=6,EF=ED,N登陆21世纪教育 助您教考全无忧
18.1《勾股定理》（1）导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解勾股定理的由来；
2.探索直角三角形的三边之间关系，了解利用拼图验证勾股定理的方法；
3.掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题.
学习重难点
重点：探索和验证勾股定理的过程；
难点：通过面积计算探索勾股定理.
学法指导
通过勾股定理的探究和验证，学会用直角三角形的三边关系解决实际问题.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.查找相关资料或上网查找有关勾股定理的由来.
（1）勾股定理是一个基本的几何定理，它在 ( http: / / www.21cnjy.com )许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法。
（2）国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“ ( http: / / www.21cnjy.com )勾三股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载。公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。
（3）国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥 ( http: / / www.21cnjy.com )拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。www.21-cn-jy.com
2.写出勾股定理的内容.
二、课内探究，交流学习
1.探究1：在行距、列距都 ( http: / / www.21cnjy.com )是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1，S2 与S3分别表示几个正方形的面积．2·1·c·n·j·y
观察图（1），并填写：
S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．
观察图（2），并填写：
S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．
图（1），（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，
是：___________________________.
问题：通过以上探究，你能得出什么结论吗？
用文字叙述：_____________________________________________________________
______________________________________________________.21·cn·jy·com
如图1，用字母表述：
在△ABC中，∠C＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
则△ABC的三边a，b，c三边的关系为:
____________________________.
填一填：
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ( http: / / www.21cnjy.com )________，较长的直角边称为_________，斜边称为__________，因此，我们称上述定理为__________________.
国外称之为__________________定理.
2.动手拼一拼：
请同学们用纸剪四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c），然后动手拼成如下图形：21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
3.探究2：
我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？
已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
求证：a2+b2＝c2.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
4.随堂练习
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
（1）a＝6，b＝8，求c；
（2）a＝8，c＝17，求b.
3.在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高线，AD＝8，求线段BC的长.
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.已知正方形原边长为a，则正方形的对角线的长度为（ ）
A.2a B.a C.a D.a
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，△ABC的面积为24，则斜边AB的长为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
3.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A.5 B. C. D.5或
4.如图，山坡AB的高BC＝5m，水平距离AC＝12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵树（两头各栽一棵），则从上到下共栽（ ）21cnjy.com
A.19棵 B.20棵 C.21棵 D.22棵
5.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AC2+BC2＝________.
6.如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，则AE＝_________.
7.如图，在长方形ABCD是AB＝6，BC＝8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.21世纪教育网版权所有
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史话·勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多
领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学
家、知名人士对此都有过研究，至今已有500
多种证明方法。
国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三
股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载。
公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》
内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅
“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各
自乘，并之为弦实，开方除之即弦。
国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯
(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都
习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著
《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个
很好的证明。
1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育
日志》上发表了他对勾股定理的一个证法 。
在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个
以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的
各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，
并以S1 ，S2 与S3分别表示几个正方形的面积．
探究：
观察图(1)，并填写：
S1＝ 个单位面积；
S2＝ 个单位面积；
S3＝ 个单位面积．
观察图(2)，并填写：
S1＝ 个单位面积；
S2＝ 个单位面积；
S3＝ 个单位面积．
图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是： ．
9
18
9
9
16
25
a2+b2=c2
结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜
边的平方.
说一说：我国古代把直角三角形
中较短的直角边称为勾，较长的
直角边称为股，斜边称为弦，因
此，我们称上述定理为勾股定理
国外称之为毕达哥拉斯定理
（Pythagoras theorem）
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用
C表示，那么勾股定理可表示为：
a2+b2＝c2
拼一拼
c
c
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
给出一个边长为c的正
方形和四个直角边分
别为a，b三角形，你
能把它们拼成一个正
方形吗？
想一想：我们怎样用面积计算的方法来证
明勾股定理呢？
已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，
AB＝c，BC＝a，AC＝b，
求证：a2+b2＝c2.
c
c
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
c
A
C
B
A1
B1
C1
D1
E
F
G
H
证明：由拼图可知：大正方形的边长为(a+b),
小正方形的边长为c，
∵ 大正方形EFGH的面积减去4个△ABC的面
积等于中间的小正方形A1B1C1D1的面积.
化简，得：
a2+b2＝c2
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.
练一练
225
400
A
225
81
B
＝625
＝144
2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，
AC＝b.
（1）a＝6，b＝8，求c；
（2）a＝8，c＝17，求b.
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴ a2+b2＝c2，
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴ a2+b2＝c2，
在用勾股定理时，需要知道直角三角形
中的两条边长，才能求出第三边长.
想一想：
3. △ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高线
AD=8，求线段BC的长．
解：本题分两种情况讨论：
（1）如图1，当AD在△ABC内时，
在Rt△ABD中，
10
17
A
B
C
D
图1
8
BD2+AD2＝AB2
在Rt△ADC中，
DC2+AD2＝AC2
∴BC=BD+DC＝6+15＝21；
（2）如图2，当AD在△ABC内时，
由（1）知：BD＝6，
DC＝15，
∴BC=BD－DC＝15－6＝9，
综合上述，BC的长为9或21.
A
B
C
8
D
17
10
图2
(2)勾股定理及证明方法；
小结与反思
(1)勾股定理的由来；
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
(3)勾股定理的简单应用.
布置作业
课本第57页：习题18.1第1～3题.(共19张PPT)
温故知新：
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
问题1：用文字叙述勾股定理.
用字母表示勾股定理.
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边
用c表示，那么直角三角形三边有何关系？
a2+b2＝c2
问题2：对于直角三角形，如果知道其中两边
如何变式求第三边长？
(1)已知a，b，求c .
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，
斜边用c表示.
(2)已知b，c，求a .
(3)已知a，c，求b .
例题讲解：
例1：现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消
防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能
伸长到10m，消防车高3m，求人时云梯伸至最
长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处
救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠
近多少米？(精确到0.1m)
解：如图，设A是云梯的下端
点，AB是伸长后的云梯，B是
第一次救人地点，D是第二次
救人地点，过点A的水平距离
与楼房ED的交点为O，则OB
＝6m，OD＝9m，
由勾股定理，得：
AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64，
设AC＝x，则OC＝8－x，由勾股定理，得：
OC2+OD2＝CD2
即：(8－x)2+92＝102
经检验，x≈－3.6不合题意，舍去，
答：这时消防车要从原处再向自火的楼房靠
近约12.4米.
例2：已知，如图，在RtABC中，两直角边
AC＝5，BC＝12.求斜边上的高CD的长.
解：在RtABC中，
又∵ RtABC的面积：
感悟：你通过以上两例题的学习你有何感悟？
1.在应用勾股定理解有关问题时，通常要注意
观察直角三角形，有时要构造直角三角形；
2.在有些几何问题中，需要设未知数，然后通
过勾股定理来构造方程求解；
3.如例2，在应用勾股定理的同时用到了“面积
法”来构造等式求解.
练一练
1.如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到0.1m).
解：给三角形梯形的三个角分别标上A、B、C，则地毯的长度等于AB+BC的长度.
BC2=AC2－AB2=42－22=12
BC= (m)
地毯的长度为：AB+BC＝2+ ≈5.5(m)
答：地毯的长度至少需要5.5米.
4
2
(单位：m)
A
B
C
2.（1）如图，长2.5m的梯子斜靠着墙，梯子底
端离墙底0.7m，问梯子顶端离地面多少米？
解：如图，设AB＝3m，
BC＝0.6m，
A
B
C
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
AC2+BC2＝AB2
即梯子顶端离地面2.4米.
（2）在题（1）中，若梯子的顶端下滑0.4m，
那么梯子的底端沿地面向外滑动多少米？
A
B
C
D
E
解：如图，由题意，知：AD＝0.4m，
则DC＝2.4－0.4＝2m，
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°
∴EC2+DC2＝DE2
∴EC＝EC－BC＝1.5－0.7＝0.8m，
即梯子的底端沿地面向外滑动0.8米.
3.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/km，该沿江高速的造价预计是多少？
M
P
N
O
Q
30km
40km
50km
120km
解：由勾股定理知，
总长为：
MO + OQ = 50 + 130 =180
180×5000 = 900000(万元)
答：该沿江高速公路的造价预计是900000万元.
4.小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机， 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
58厘米
46厘米
解：
46 ＋58 ≈74
2
2
2
答：售货员没有搞错.
知识拓展
如图，有一个圆柱，它
的高等于12cm，底面上
圆的周长等于18cm，在
圆柱下底面上的A点有一
只蚂蚁，它想吃到上底
面上与点A相对的点B处
的食物，沿着圆柱侧面
爬行的最短路程是多
少？ (π的值取3)
A
B
底面周长等于18cm，则可
求得底面直径等于6cm.
所以①的路程为：
12+6=18cm
底面周长等于18cm，则一
半的周长等于9cm.
所以②的路程为：
12+9=21cm
A
B
①
②
③
B
A
高
12cm
B
A
长18cm
9cm
∵ AB2=92+122=81+144=225
∴ AB=15(cm)
③
综上所述，蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
(2)应用勾股定理解决实际问题；
小结与反思
(1)勾股定理的应用；
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
布置作业
课本第57页：习题18.1第4～7题.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
导学案(2)参考答案
随堂练习
1.解：给三角形梯形的三个角分别标上A、B、C，则地毯的长度等于AB+BC的长度.
BC2＝AC2－AB2＝42－22＝12
∴BC＝2
地毯的长度为：AB+BC＝2+2≈5.5(m)
答：地毯的长度至少需要5.5米.
2.解：（1）如图1，设AB＝3m，BC＝0.6m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
AC2+BC2＝AB2
∴
即梯子顶端离地面2.4米.
（2）如图2，由题意，知：AD＝0.4m，
则DC＝2.4－0.4＝2m，
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°
∴EC2+DC2＝DE2
∴
3.解：由勾股定理知，
MO2＝MN2+NO2＝302+402＝502，
∴MO＝50km，
∵OQ2＝OP2+PQ2，
∴OQ＝＝130km，
∴MO+OQ＝50+130＝180km，
180×5000 = 900000(万元)
答：该沿江高速公路的造价预计是900000万元.
4.解：∵462＋582≈742 ，
∴售货员没有搞错.
课课练
1.合格；
2.7或25；
3.250cm；
4.1080米；
5.解：在Rt△ABC中，∠C＝30°，AC＝5m，
∴BC＝10m，
∴AB＝5m，
收绳8秒后，绳子BC缩短了4m，只有6m，
这时船到河岸的距离为＝m，
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18.1《勾股定理》（2）导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.继续掌握勾股定理；
2.在掌握勾股定理的基础上，会应用勾股定理求直角三角形中的边长；
3.灵活运用勾股定理解决身边与实际生活相关的数学问题.
学习重难点
重点：会应用勾股定理求直角三角形中的边长，解决与直角三角形有关的实际问题；
难点：会应用勾股定理求直角三角形中的边长，解决与直角三角形有关的实际问题.
学法指导
学会构造直角三角形，用勾股定理列等式解决有关问题，弄清直角三角形的边角关系很关键.
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.用文字叙述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
用字母表述勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，
那么勾股定理可表示为：_______________________________.
2.对于直角三角形，如果知道其中两边如何变式求第三边长？
如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示.
（1）已知a，b，求c .
c＝__________________________.
（2）已知b，c，求a .
a＝__________________________.
（3）已知a，c，求b .
b＝_________________________.
二、课内探究，交流学习
1.自主学习，合作探究
例1：现有一楼房发生火灾，消防队员 ( http: / / www.21cnjy.com )决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m，求人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1m)
解：如图，设A是云梯的下端点，AB是伸长 ( http: / / www.21cnjy.com )后的云梯，B是第一次救人地点，D是第二次救人地点，过点A的水平距离与楼房ED的交点为O，则OB＝6m，OD＝9m，
由勾股定理，得：AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64，
∴AO＝＝8，
设AC＝x，则OC＝8－x，由勾股定理，得：
OC2+OD2＝CD2
即：(8－x)2+92＝102
经检验，x≈－3.6不合题意，舍去，
答：这时消防车要从原处再向自火的楼房靠近约12.4米.
例2：已知，如图，在RtABC中，两直角边AC＝5，BC＝12.求斜边上的高CD的长.
解：在RtABC中，AB2＝AC2+BC2=169，
∴AB＝＝13，
又∵ RtABC的面积：
∴
2.你通过以上两例题的学习你有何感悟？
4.随堂练习
1.如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到0.1m)21世纪教育网版权所有
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2.（1）如图，长2.5m的梯子斜靠着墙，梯子底端离墙底0.7m，问梯子顶端离地面多少米？
（2）在题（1）中，若梯子的顶端下滑0.4m，那么梯子的底端沿地面向外滑动多少米？
3.如图是某沿江地区交通平面图，为了 ( http: / / www.21cnjy.com )加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/km，该沿江高速的造价预计是多少？21教育网
4.小明妈妈买了一部29英寸(74厘米 ( http: / / www.21cnjy.com ))的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？21cnjy.com
小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.木工师傅要做一个长方形桌面 ( http: / / www.21cnjy.com )，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线长为100cm，则这个桌面_____________（填“合格”或“不合格”）.21·cn·jy·com
2.在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为____________.
3.小红从家到学校去，先向正南方向走了150m，接着向正东方向走了200m，则小红家离学校的最短距离为_________cm.www.21-cn-jy.com
4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 ( http: / / www.21cnjy.com )到一个男孩子正上方4000米处，过了10秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，则飞机每小时飞行__________米.2·1·c·n·j·y
5.如图，在离水面高度为5m的岸上有人用绳 ( http: / / www.21cnjy.com )子拉船靠岸，开始绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5的速度收绳，8秒后船向岸边移动了多少米？【来源：21·世纪·教育·网】
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