(共18张PPT)
回顾旧知，探究新知
问题1：请用文字叙述勾股定理？
直角三角形的两条直角边的平方和等于
第三边的平方.
问题2：你能说出上述定理的逆命题吗？它是
真命题吗？
逆命题：如果三角形两边的平方和等于第三边
的平方，那么这个三角形是直角三角形.
下面我们来共同探究：
1.据说，几千年前的古埃及人就已知知道，在
一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，
用钉子将第1个与第13个
结钉在一起，拉紧绳
子，再在第4个和第8
个结处各钉上一个钉
子，如图所示，这样
围成的三角形中，最
长边所对的角就是直角.
2.用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，
AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量
∠C，它是90°吗？
B
A
C
想一想：
为什么用上面三条线段
围成的三角形，就一定
是直角三角形呢？你能
说明理由吗？
∠C是90°
B
A
C
B′
A′
C′
作∠C′＝90°，使C′B′＝CB＝3，
C′A′＝CA＝4，
用“SSS”判定定理，易证：△ABC≌△A′B′C′
∴∠C＝∠C′＝90°
故△ABC是直角三角形.
由勾股定理，得：A′B′＝AB＝5，
思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
这三条线段之间有何数量关系呢？
32+42＝52
数量关系：
即： BC2+AC2＝AB2
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等
于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
设在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，
如果这三边有下列关系：
a2+b2＝c2
那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
例题讲解
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断
△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条
边所对的角是直角.
(1)a＝7，b＝24，c＝25；
解：(1) ∵最大边是c＝25，c2＝625，
a2+b2＝72+242＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对角是直角.
(2)a＝7，b＝8，c＝11；
解：(2) ∵最大边是c＝11，c2＝121，
a2+b2＝72+82＝113，
∴a2+b2≠c2
∴ △ABC不是直角三角形.
勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的
三个正整数，称为勾股数.
像上面的7、24、25这三个数，我们称之为勾股数.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a＝
n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
求证： △ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2
＝n4－2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).
练一练
1.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a＝2，b＝3，c＝4． ( )
(2)a＝9，b＝7，c＝12． ( )
(3)a＝25，b＝20，c＝15．( )
22+32≠42
不是
72+92≠122
不是
152+202=252
是
2.三角形三边a，b，c满足条件:
(a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
B
3.一组勾股数的2倍一定是勾股数吗？
为什么？
答：是
解：设这组勾股数为a，b，c，其中c是最大边，
则：a2+b2＝c2，
这组数乘以2后，所得新的一组数分别为：
2a，2b，2c，
∵(2a)2+(2b)2＝4(a2+b2)＝4c2，
(2c)2＝4c2
∴(2a)2+(2b)2＝(2c)2，
∴一组勾股数的2倍一定是勾股数.
4.已知：如图，△ABC中，AB＝2 ，AC＝2，
高AD＝ . 求证：∠BAC＝90°.
C
A
D
B
证明：∵AD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
∴BC＝CD+BD＝4，
又∵BC是最长边，
∴ ∠BAC＝90°.
又∵AC2+AB2＝4+12＝16，
BC2＝42＝16，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
5.如图.在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，
DF＝1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流.
解：因为四边形ABCD是正方形，所以△BAE，△EDF，
△FCB为直角三角形.
A
C
B
D
E
F
答：图中有四个直角三角形.
在Rt△BAE中，
在Rt△EDF中，
在Rt△FCB中，
在△BEF中，
所以△BEF也是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理的应用.
小结与反思
(1)勾股定理的逆定理；
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
布置作业
课本第60页：习题18.2第1～4题.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
18.2《勾股定理的逆定理》导学案
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.了解证明勾股定理的逆定理的方法；
2.会运用勾股定理的逆定理来判断三角形是直角三角形和勾股定理逆定理的应用；
3.经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养与人合作、交流的团队意识.
学习重难点
重点：探索勾股定理的逆定理的证明方法；
难点：勾股定理的逆定理在生活中的应用.
学法指导
通过对勾股定理的逆定理的探究和应用，加深对勾股定理的逆定理的理解，学会综合运用勾股定理及逆定理来解决实际问题.21世纪教育网版权所有
学习过程
一、课前自习，温故知新
1.①用文字来叙述勾股定理：
__________________________________________________________________________.
②用字母来表示勾股定理：
设△ABC的两条直角边分别用a，b表示，斜边用c表示，则△ABC的三边有下列关系：
________________________________________________________________________.
2.写出上述勾股定理的逆命题.
__________________________________________________________________________.
二、课内探究，交流学习
1.探究：
（1）.据说，几千年前的古 ( http: / / www.21cnjy.com )埃及人就已知知道，在一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后，用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，如图所示，这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.21教育网
（2）用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5，AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量∠C，它是90°吗？
想一想：为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？你能说出理由吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，这三条线段之间有何数量关系呢？
请你写出勾股定理的逆定理：
__________________________________________________________________________.
设在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c，
如果这三边有下列关系：a2+b2＝c2，那么△ABC是________三角形，且∠___＝90°.
2.自主学习，探究解法
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条边所对的角是直角.21cnjy.com
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝7，b＝8，c＝11；
解：（1）∵最大边是c＝25，c2＝625，
a2+b2＝72+242＝625，
∴a2+b2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，最大边C所对角是直角.
（2）∵最大边是c＝11，c2＝121，
a2+b2＝72+82＝113，
∴a2+b2≠c2，
∴ △ABC不是直角三角形.
想一想：什么叫做勾股数？
_________________________________________________________________________.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)，
求证： △ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2
＝n4－2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).
3.随堂练习
1.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形，并说出理由.
（1）a＝2，b＝3，c＝4；
（2）a＝9，b＝7，c＝12；
（3）a＝25，b＝20，c＝15．
2.三角形三边a，b，c满足条件： (a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
3.一组勾股数的2倍一定还是勾股数吗？为什么？
4.已知：如图，△ABC中，AB＝2，AC＝2，高AD＝.
求证：∠BAC＝90°.
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5.如图.在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流.21·cn·jy·com
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小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
课课练
1.在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A.12，15，27 B.32，42，52 C.5a，12a，13a（a＞0） D.1，2，3
2.在下列条件中：①∠A+∠B＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com )C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③a＝3，b＝4，c＝5，④a：b：c＝6：8：10中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格子的边长为1，则△ABC
的形状为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
4.已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数______时，这三条线段能围成一个直角三角形.www.21-cn-jy.com
5.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为________cm2.
6.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分
∠ACB，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，
则CE2+CF2＝_________.
7.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件的 ( http: / / www.21cnjy.com )∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD＝4，AB＝3，BC＝13，BD＝5.这个零件符合要求吗？
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导学案参考答案
随堂练习
1.（1）不是，因为22+32≠42．
（2）不是，因为92+72≠122．
（3）是，因为152+202＝252．
2. B .
3.是，
∵(2a)2+(2b)2＝4(a2+b2)＝4c2，
(2c)2＝4c2，
∴(2a)2+(2b)2＝(2c)2，
∴一组勾股数的2倍还是勾股数.
4.证明：∵AD是△ABC的高，
∴，
，
∴BC＝CD+BD＝4，
∵，
∴，
又∵BC是最长边，
∴ ∠BAC＝90°.
5.解：因为四边形ABCD是正方形，所以△BAE，△EDF，△FCB为直角三角形.
在Rt△BAE中，AB2+AE2＝20＝BE2，
在Rt△EDF中，DE2+DF2＝5＝EF2，
在Rt△FCB中，BC2+CF2＝25＝BF2，
在△BEF中，BE2+EF2＝25＝BF2，
所以△BEF也是直角三角形，
答：图中有四个直角三角形.
课课练
1.C，
2.D，
3.A，
4.17；
5.120，
6.100，
∴AB2+AD2＝BD2，BD2+DC2＝BC2，
∴△ABD、△BDC是直角三形，
∴∠A＝90°，∠BDC＝90°，
故这个零件符合要求.
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