5.1.2 弧度制 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
弧度制
复习回顾
问 题 1 初中学过哪些度量角的单位
1°的角是如何定义的呢 度、分、秒又如何换算呢
问 题 2 你知道60°+ sin60°等于多少吗
公元六世纪，印度数学家阿耶波多在创新制作正弦表时，就发现了有一个问题
不好解释，比如sin30°=0.5, 他发现了什么问题呢
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新课学习
根据任意角的定义，射线OA 绕端点O 旋转到OB 形成角α .
在旋转过程中，射线OA上点P (不同于端点O) 的轨迹是
一条圆弧.记α=n°.
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问题3 射线OA 上三个点A,A,A, 分别旋转到点B,B,B ,
在这个过程中，都涉及到哪些量，你能发现它们之间蕴含着
哪些相等关系与不等关系
弧长、半径和圆心角
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追问1弧长、半径、圆心角这三个量之间存在什么关系呢
能否用我们以前学过的数学公式来表示它们之间的关系
弧长公式 1=180
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解释在这个运动过程中，弧长和 追问2你能否用孤长公式1=180
当：为定值时，圆心角
当圆心角不变时，
圆心角与弧长和半径有关，n=
变
为定值.
半径都发生变化，而圆心角不变吗
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当弧长与半径相等时， 是一个个定值1,此时圆心角等于 度.
我们把I 与r 的比值1记为1个单位的角，这样可以用 来度量角的大小.
弧长与半径的比值 只与圆心角的大小有关，
圆心角确定时， 也唯一确定.
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如当 ,即/-27时,所对圆心角为2个单位的角;当
即1=0.5r时，所对圆心角为0.5个单位的角.这样可以用 来度量角
的大小.这里 实数，解决了用实数度量角的大小问题.
这就是度量角的另一种单位制——弧度制.
是一个:
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弧度制的单位用符号rad表示，读作弧度.
规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角
叫做1弧度的角，记做Irad.
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问题4 你能否作出2弧度大小的角
根据弧度制的概念，
即1=2r 时，弧长所对圆心角为2弧度
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1
问题5 任意角都可以用 表示吗
正角、负角和零角的弧度数如何规定呢
规定：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α的弧度数的
绝对值是 这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.
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追问 反过来任意一个实数都可以表示角吗 这种表示是唯一的吗
对于任意一个实数α满足 , 那么l=| a|r, 此时a 的绝对值大小
确定，再由α的旋转方向确定α的正负，所以任意一个实数都可以表
示唯一确定的角.
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任意角的集合 实数集R
正角
正实数
零角 *
零
负角
负实数
角的集合与实数集之间建立了一—对应关系.
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18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小
分析引论》中首先倡导使用弧度制，统一了角与长度 的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化.
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弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯。汤姆森
(James Thomson) 教授在其编著的一本考试集中创造性地首先
使用了“弧度”一词.他将“半径 (radius)”的前四个字母与“角
(angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词 radian,被
人们广泛接受并沿用至今.
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问题6角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢
当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为2π,而在角度制下为360°,
即360°=2πrad, 180°=πrad
所以I“=1&oYad≈0.001745rad
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运用新知
例1 (1)把67°30'化成弧度；
(2)把3.14rad化成角度(用度表示，精确到0.001) .
解：(1)因为6
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1
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
360°
弧度 0 π 一 6 π 一 4 R - 3 兀- 2 2π 3 3π 4 π
2π
练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表：
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运用新知
例1 (1)把6730'化成弧度；
(2)把3.14ra d化成角度(用度表示，精确到0.001).
解：(2 3.
注：用弧度表示角的大小时，只要不引起误解， “弧度”二字或 “rad” 可以
省略不写.但是“”为单位时不能省.
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·
例2利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)l=aR; (3)
其中R 是圆的半径，α(01是扇形的弧长，S 是扇形面积 .
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证明：由弧度制公式
下面我们证明(2)(3)
初中我们学过，在角度制下，半径为R, 圆心角为n °的扇形的
如长公式和面积公式分别为 . . 将圆心角转化为弧度，得
所以，代入公式， 得到
再将/=aR代入上式即得
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·
·
归纳小结
(1)我们学习了任意角的新的度量制——弧度制.
①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，如果半径为r的圆的圆心角
a 所对孤的长为1,那么角α的弧度数的绝对值是 a 的正负由角α的终边
的旋转方向决定；
② 弧度单位用符号rad表示，读作弧度；
③ 任意角的弧度制和角度制之间可以互化.
1
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归纳小结
(2)数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过对
问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、
用数学的语言表达问题。
在今天的学习中，我们运用了数形结合、转化与化归、特殊与一般等
数学思想方法，今后我们还要进一步熟悉和掌握这些思想方法.
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教科书P175-176,习题5.1 第5、6、7、8题
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