5.3 诱导公式 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
诱导公式（ 1）
前面利用圆的几何性质， 得到了同角三角函数之间的
基本关系. 我们知道， 圆的最重要的性质是对称性， 而对称
性（ 如奇偶性） 也是函数的重要性质. 由此想到， 可以利用 圆的对称性， 研究三角函数的对称性.
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题
转化为求 [0, ) 间的角的三角函数值问题. 诱导公式的推导
过程， 体现了“ 数形结合 ”和复杂到简单的“ 转化 ” 的数 学思想方法， 反映了从特殊到 一般的归纳思维形式 .
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公式 一 终边相同的角的同 一三角函数的值相等.
sin(a ＋k ·2π ) ＝sina ，
cos(a ＋k ·2π ) ＝cosa ，
tan(a ＋k ·2π ) ＝tana ，
其中k e Z.
由公式 一 可知， 角α 的终边每绕原点旋转 一周， 函数值
将重复出现. 我们利用公式 一， 可以将任意范围内的角的三 角函数值转化到[0,2π)内的角的三角函数值.
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探究1
公式 一研究的是终边相同的角的同 一三角函数的值相
等， 我们利用公式 一， 可以将任意范围内的角的三角函数
值转化到[0,2π)内的角的三角函数值， 那么如何继续将
[0,2π)间的角的三角函数值转化到我们熟悉的[0, ) 间的角 的三角函数值呢？
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我们发现， 有 一 些角， 它们的终边具有某种特殊关系，
如关于坐标轴对称 、 关于原点对称等. 那么它们的三角函
数值有何关系呢？
请同学们探究完成： 终边关于原点中心对称的角的三
角函数值之间有什么关系？
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如图， 在直角坐标系内， 设任意角α 的终边与单位圆交
于点P1， 设P1 (x, y). 将角α 的终边按逆时针方向旋转角π ,
于点P2， 则P2 是点P1 关于原点的对称点，
P1(x,y) sinα=y ， sin(π+α)= y，
P2 (-x,-y)
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y
x,
位
P2
与
以
边
所
终
+ a cosα=x ， cos(π+α)= x，
a
π
O x tanα ； tan(π+α)= ；
x
y
你能用文字语言表述公式二吗？
π + 的三角函数值， 等于 的同名函数值， 前面加
上 一 个把 看成锐角时原函数值的符号.
公式二解决了什么样角的求值化简问题？
公式二解决了形如π + 的三角函数值求值化简问题.
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终边关于原点中心对称的角.
sin(π + ) ＝-sin ，
cos(π + ) ＝- cos ， tan(π + ) ＝tan .
公式二
终边关于x轴对称的角.
sin(- ) ＝-sin ，
cos(- ) ＝cos ， tan(- ) ＝-tan .
探究2 你能类比公式二， 证明下面的公式吗？
公式三
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终边关于y轴对称的角.
sin(π - ) ＝sin ，
cos(π - ) ＝- cos ，
tan(π - ) ＝-tan .
探究2 你能类比公式二， 证明下面的公式吗？
公式四
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sin(a ＋k ·2π ) ＝sina ，sin(π +a ) ＝-sina ，
cos(a ＋k ·2π ) ＝cosa ，cos(π +a ) ＝- cosa ， tan(a ＋k ·2π ) ＝tana . tan(π +a ) ＝tana .
其中k e Z.
公式三 公式四
sin(-a ) ＝-sina ，
cos(-a ) ＝cosa ， tan(-a ) ＝-tana .
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sin(π -a ) ＝sina ，
cos(π -a ) ＝- cosa ，
tan(π -a ) ＝-tana .
公式 一
公式二
说明：
①公式中的“指任意角. 例如化简sin(1+π)， cos(2β -π)
这样的式子；
②诱导公式二 、 三 、 四的结构特征：
左右两端三角函数名称不变，“ 角不变， 只是前面
放 一 个符号；
符号的判断方法： 把“ 看成锐角时原函数值的符号.
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解：（ 1 ） cos225 =cos( 180 +45 )
= cos45 = ；
（1 ） cos225 ;
（3 ） sin( ) ;
8π
( 040 ).
2
；
an
in
t
s
例1 利用公式求下列三角函数值：
（2）
（4）
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（2 ） sin ；
; （ 4 ）tan(-2040 ).
=sin(2π+ )
=sin =sin(π - )
=sin = ；
（1 ） cos225 ; （3 ） sin（- ) 解： （ 2 ）sin
例1 利用公式求下列三角函数值：
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解：（ 3 ） sin( ) = sin = sin(5π+ ) = ( sin )= ；
（1 ） cos225 ;
（3 ） sin( ) ;
8π
( 040 ).
2
；
an
in
t
s
例1 利用公式求下列三角函数值：
（2）
（4）
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（4 ）tan(-2040 )= -tan2040
= -tan(6×360 -120 ) = -tan(-120 ) =tan120 = tan(180 -60 )
= -tan60 = -、3 .
sin ；
tan(-2040 ).
cos225 ; sin（- ) ;
例1
（1）
（3）
解：
利用公式求下列三角函数值：
（2）
（4）
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思考 由例1， 你对公式 一 至公式四的作用有什么进 一 步的
认识？ 你能自己归纳 一 下把任意角的三角函数转化为锐角 三角函数的步骤吗？
任意正角的
三角函数
用公式 一
0~2π的角
的三角函数
锐角的三角
函数
任意负角的
三角函数
用公式 三或 一
用公式 二 或四
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例2 化简
t ) （ “ 为第三象限角）.
解： cos(180 + “)= cos“ ，
6 ) (“+180 )]= tan(“+180 )= tan“ ，
原式= ( “)= = cos“ .
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所以
os“
n“
c
si
cos“
sin“
cos“
s
“
o
n
) (
s“
“
o
n
c
tan
n“
0
)
18
0
(
(
tan
sin
“
)
0
6
8
3
o
si
c
)
0
+
8

1
0
“
1
n
o
a
c
cos( 180 + “)=cos[ (180 “)]=cos (180 “)= cos“，
小结 请你选择下面 一 个或几个关键词谈 一谈研究的过程
中的体会：
知识 、 方法 、 思想 、 收获 、 喜悦 … …
知识层面： 学会了四组诱导公式；
思想方法层面：
诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；
诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角
三角函数之间的关系. 主要体现了化归和数形结合的数学 思想.
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课后作业
课本P191 练习1,2,3,4.
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