5.5 两角和与差的正弦，余弦和正切公式 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
5.5三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦
和正切公式(1)
高中数学
知识回顾：
形如诱导公式( 一)
sin(a+2kπ)=sina,
cos(a+2kπ)=cosa.
这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形 就是三角恒等变换.
利用诱导公式化简(k∈Z):
高中数学 os(a-)=-sina,cos(a-2m)=coa.
观察本组练习的结构特征：
两角差的余弦；
特殊角 任意角α(β)的差.
从化简的结果发现：
都与任意角α(β)的正弦或余弦有关.
利用诱导公式化简(k∈Z):
高中数学 os(a-)=-sina,cos(a-2m)=coa.
cos(-β)=sin β
cos(π-β)=-cosβ
cos(0-β)=cos β
cos(a-)=-sind
cos(a-2kπ)=cosa
思考：
cos(a—β)的展开公式 可能与哪些值有关
π
α
α =π
a =0
cos(a-β)
差角的余弦
β=2kπ
高中数学
公式推导：
我们用到哪些知识探究cos(a-③ 与sina、cosa、sinβ 、cosβ 间的关系
以往经验：诱导公式(一)
sin(a+2kπ)=sina,
cos(a+2kπ)=cosa.
三角函数的定义、单位圆、圆的特殊对称性.
高中数学
利用三角函数定义，动手作图：
以x轴非负半轴为始边，任取两角α、β,
两角终边分别交单位圆于A ,P
高中数学
利用三角函数定义，动手作图：
以x轴非负半轴为始边，任取两角α、β,令a≠β+2kπ(k∈Z),
终边分别交单位圆于A ,P
高中数学
如图任意角a 、β,
且(0,2π)内与a终边相同的角
大于 (Q,2π) 内与β终边相同的
角.
高中数学
如图任意角a 、β,
且(0,2π)内与β终边相同的角
大于 (Q,2π) 内 与a 终边相同的
角.
高中数学
如图α,β都在第一象限，
且(0,2π)内与a终边相同的角
大于(0,2π)内与β终边相同的
角.
高中数学
A(cos β,sin β),
P(cosa,sina).
思考：如何找到与cos(a- β 相关的点P
高中数学
A(cos β,sin β),
P(cosa,sina).
思考：如何找到与cos(a- β 相关的点P
P(cos(a-β),sin(a-β)).
高中数学
如何发现cos(a-β) 与sina 、cosa 、sinβ 、cosβ 间存在的等
量关系
在单位圆中找到与α-β
相关的等量关系.
∠AOP=∠AOP=a-β,
→AP=AP,
AOP=AOP,
AP=AP.
高中数学
法1
扇形AOP 绕着点0
旋转β角，
则点A、P分别
与A、P 重合，
则AP=A P
所 以AP=AP.
高中数学
证明：线段A P =AP.
证明：线段A P =AP.
法2
∠AOP=∠AOP=a-β,
在单位圆中 AOP=AOP,
所以AP=A P .
高中数学
以 AB为斜边，
构建直角 ACB,
AB =BC +AC
=(x -x ) +(Ji-y ) ,
AB=√(x-x ) +(y -y )
(两点间距离公式)
|xr-X B(x y )
高中数学
平面上任意两点 A(x;,y ),B(x ,y ),
利用两点间距离公式表示线段AP 与A P , 推导cos(a-β)公式.
P(cos(a-β),sin(a-β)),A(cosβ,sinβ),P(cosa,sina),A(1,0).
AP =[cos(a-β)-1] +sin (a-β),
A P =(cosa-cosβ) +(sina-sin β) ,
[cos(a-β)-1}+sin (a-β)=(cosa-cosβ) +(sina-sin β) .
∴cos (a-β)-2cos(a-β)+1+sin (a-β)
=cos α+cos β-2cosa·cos β+sin α+sin β-2sina·sin
∴-2cos(a-β)+2=2-2cosa·cosβ-2sina·sinβ, ∴-2cos(a-β)=-2cosa·cosβ-2sina·sin
β,
β .
高中数学
cos(a-β)=cosa·cosβ+sina·sin β .
当α=β+2kπ(k∈Z),
左 式 = cos 2kπ=1,
右 式 = cos β+sin β=1,
左式=右式，
上式成立.
高中数学
如图任意角α、 β,
且(0,2π)内与a终边相同的角
大于(0,2π)内与β终边相同的 角.
仍有∠AOP=∠AOP,
AP=AP.
高中数学
cos(a-β)=cosa·cosβ+sina·sin β .
如图任意角a 、β,
且(0,2π)内与β终边相同的角大
于(0,2π)内与a终边相同的角.
扇形AOP 绕着点0旋转β角，
由圆的旋转对称性得，
则点4、 P分 别 与A、P重合，
则 AP=A P
所 以AP=AR.
高中数学
cos(a-β)=cosa·cosβ+sina·sin β .
任意角a、β, 都有AP=A R.
cos(a-β)=cosa·cosβ+sina·sin
高中数学
β .
公式理解
对于任意角α,β有
cos(a-β)=cosa·cosβ+sina·sin
称为差角的余弦公式，简记作Cα-β)
1.式中的α,β为任意角；
2.左边的角是α-β,右边的角是α,β;
3.同名相乘，符号相加.
高中数学
β .
典例剖析
例1.利用公式Ca-g证明：
cos(-a)=sina;
cos(π-a)=-cosa.
(1)
(2)
高中数学
解：(1 )cos(Z-a)=cos Fcosa+sin sina
=0+1×sina =sina;
(2)cos(π-a)=cosπcosa+sinπsina
=-1×cosα+0×sina
=-COS C.
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
高中数学
解：由： 又由cos ,β是第三象限角，得
,β是第三象限角，
例2.已知sin
求cos(a-β).
所以cos(a-β)=cosacosβ+sinasinβ
高中数学
,cos
2
1.差角的余弦公式及推导过程；
2.数学思想：分类讨论、数形结合、 特殊到一般.
课堂小结
高中数学
课后作业
教材217页练习 1到5,228页习题1到3
高中数学
同学们再见。
高中数学