用二分法求方程的近似解 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
用二分法求方程的近似解
引入问题，探讨方法.
上节课
函数零点
存在定理
- 函数零点个数 - 方程实数解的个数
函数
单调性
本节课
利用函数研究方程的近似解.
高中数学
引入问题，探讨方法.
问题1： 我们已经知道函数f (x) = lnx + 2x 6在
(2， 零点的精
确值吗？
只 精确值| < ε .
高中数学
度
ε时，
精确
当精确度为
出满足一定
：
求
例如
只需
6
？
2x
零
nx
这
(x
何
你能求出函数f
在一个零点， 如
1：
存
问
内
追
3)
引入问题，探讨方法.
问题1： 我们已经知道函数f (x) = lnx + 2x 6在
(2， 3)内存在 一 个零点， 如何求出这个零点？
追问2： 当精确度为0.5时， 你能得到 一 个符合要求
| 0.5.
a + b 为区间 (a， b) 的中点.
2
高中数学
的零
精确值
值吗？
近似值
点的近
|2.5 x0 | < 0.5.
2.5到零点
x0 的距离＜0.5
2.5 x0
0.5 0.5
─ 1
追问3： 当精确度为0.5时，
近似值吗？ 为什么？ 可以
零点x0在(2， 2.5)内还是
(2.5， 3) 内？ 如何确定？
f 2 f 2.5 f 2.5 f 3
高中数学
引入问题，探讨方法.
问题1： 我们已经知道函数f x = lnx + 2x 6在
(2， 3)内存在 一 个零点， 如何求出这个零点？
f 2 < 0
5 0.084 < 0 ( . ， 3).
5
5
0
2
0
x
2
3


f
f
3可以看作零点的 一 个
引入问题，探讨方法.
问题1： 我们已经知道函数f (x) = lnx + 2x 6在
(2， 3)内存在 一 个零点， 如何求出这个零点？
追问4： 当精确度缩小到0.01时， 为了得到函数零
点的近似值， 至少需要将零点所
在区间缩小到什么程度？
我们可以采取怎样的办法来
逐步缩小零点所在区间？
d < 0.01 a x x0 小于0.01
点和区间端点函 数值乘积的符号.
b
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零点所 在区间 中点 的值
中点函数 近似值
(2 ，3) 2.5
(2.5 ，3) 2.75
0.512
(2.5 ，2.75)
函数 ln 值.
6零点的近似
为0.01时， 求
2x
确
x
当
(x)
题
f
问
f (2.5)f (3) < 0
f (2.5)f (2.75) < 0
解决问题，实施方法.
0.084
高中数学
函数 ln 值.
高中数学
6零点的近似
为0.01时， 求
2x
确
x
当
（x)
题
f
问
零点存在定理
解决问题，实施方法.
函数 ln 值.
6零点的近似
为0.01时， 求
2x
确
x
当
(x)
题
f
问
区间长度<0.01
该区间内任意一 个数都可以作为 零点的近似值.
解决问题，实施方法.
高中数学
问题2： 当精确度为0.01时， 求
近似值x = 2.53125或2.5390625.
方程 lnx + 2x 6 = 0 的近似解.
区间长度<0.01
为了方便，可以 把区间端点作为 零点的近似值.
解决问题，实施方法.
高中数学
总结提炼，归纳方法.
的方 +
的近似值？ 这种方法适用于哪些函数？
不断将零点所在区间一分为二，
使得区间的两个端点逐步逼近零点.
点
样
零
怎
2
我
x
，
ln
中
（x
问
法求函数f
问题3： 在
理论基础：零点存在定理.
适用条件：某区间上图象连续不断， 区间端点函
数值的乘积符号为负.
高中数学
总结提炼，归纳方法.
的方 +
的近似值？ 这种方法适用于哪些函数？
归纳出二分法的定义：
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b) < 0
的函数y =f (x) ，通过不断地把它的零点所在区间一 分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而
点
样
零
怎
2
我
x
，
ln
中
(x
问
法求函数f
问题3： 在
得到零点近似值的方法叫做二分法.
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总结提炼，归纳方法.
问题4： 根据求函数f (x) = lnx + 2x 6 零点的近
似值的过程， 你能提炼出给定精确度ε , 用 二 分法求
函数y =f (x) 零点xo的近似值的 一般步骤吗？
高中数学
总结提炼，归纳方法.
回顾求函数f x = lnx + 2x 6
零点x0 的近似值的过程：
1. 确定初始区间.
f 2 f 3 < 0 x0 ∈ (2， 3) .
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总结提炼，归纳方法.
回顾求函数f (x) = lnx + 2x 6
零点x0 的近似值的过程：
2. 不断缩小区间
通过重复计算区间中点和区间端 点函数值乘积的符号， 将零点所在区 间逐次减半地缩小.
(1)计算区间中点；
(2)计算中点函数值；
(3)计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；
(4)确定零点所在区间.
区间长度<精确度 时结束重复操作.
高中数学
总结提炼，归纳方法.
回顾求函数f x = lnx + 2x 6
零点x0 的近似值的过程：
1. 确定初始区间.
f 2 f 3 < 0 x0 ∈ (2， 3) .
2. 不断缩小区间.
通过重复计算区间重点中点和区间端点函数值乘积 的符号， 将零点所在区间逐次减半地缩小.
3. 得到近似值.
当零点所在区间的长度小于精确度时， 把区间的 一 个端点作为零点的近似值.
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总结提炼，归纳方法.
小结： 给定精确度ε , 用 二 分法求函数 y=f (x) 零点 x0 的近似值的 一般步骤.
1. 确定零点 x0 的初始区间[a ，b]， 验证f (a)f (b) < 0. 2. 求区间 (a ，b) 的中点c.
3. 计算f (c)， 并进 一 步确定零点所在的区间：
(1)若f (c) = 0 (此时 x0 = c)， 则c 就是函数的零点； (2)若f (a)f (c) < 0 (此时 x0 ∈ (a， c) )， 则令b = c；
3) 0 | c | c 点
高中数学
零
.
得到
a =
则
令
ε,
则
b
b)
a
(
若
∈
：
x
确度ε
(此时
达到精
b) < 0
否
f (
判断是
若f (c)
4
(
近似值a (或 b )； 否则重复步骤2~4.
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似值(精确度为0. 1).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间.
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
f (1)f (2) < 0，
说明该函数在区间 (1 ，2) 内存在零点 x0 .
高中数学
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间. (1 ，2).
第2步：求区间中点. 取 (1 ，2) 的中点 x1 = 1.5.
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
高中数学
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间. (1 ，2).
第2步：求区间中点. 取 (1 ，2) 的中点 x1 = 1.5.
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点
所在区间. f 1.5 ≈ 0.33，f 1 < 0，
所以f 1 f 1.5 < 0， 所以 x0 ∈(1 ，1.5).
高中数学
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
第1步：确定零点 x0 所在的初始区间. (1 ，2).
第2步：求区间中点. 取 (1 ，2) 的中点 x1 = 1.5. 第3步：计算中点函数值，进一步确定零点
所在区间. f 1 f 1.5 < 0 x0 ∈(1 ，1.5).
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
第4步：| 0. 1. ~4.
重复步骤2
没有达到.
1
度
0
确
5
到
0
达
1
是
1
判
高中数学
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
……
第2步：求区间中点. 取 (1 ，1.5) 的中点 x2 = 1.25.
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间.
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
f 1.25 ≈ 0.87，
因为f 1.25 f 1.5 < 0， 所以 x0 ∈(1.25 ，1.5).
高中数学
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
……
第2步：求区间中点. 取 (1 ，1.5) 的中点 x2 = 1.25.
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间.
f 1.25 f 1.5 < 0 x0 ∈(1.25 ，1.5). 第4步：判断是否达到精确度0. 1. 没有达到.
重复步骤2~4.
高中数学
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
……
第2步：求区间中点. 取 (1 ，1.5) 的中点 x2 = 1.25.
第3步：计算中点函数值，进一步确定零点所在区间.
f 1.25 f 1.5 < 0 x0 ∈(1.25 ，1.5). 第4步：判断是否达到精确度0. 1. 没有达到.
同理可得，x0 ∈(1.375 ，1.5) ，x0 ∈(1.375 ，1.4375).
高中数学
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
例题实践，熟悉方法.
2x + 7
零点的近似解(精确度为0. 1).
执行“ 二 分法 ” 的实施步骤.
……
01∈ 01 00∈ .3
近似解可取为1.375(或1.4375).
高中数学
的
).
所以原方程
75，1.4375
1
(
5
，
62
5)
0
.
3
1
4
(
5
，
37
得
由于
同理
：
3x
方
2x
1)
法
f
确
：
7
5
分
3x
问
函数零点- 方程的解
不断缩小零点所在区间 总结实施步骤
从特殊到 一般
课堂小结
用二分法求方程的近似解
函数思想
极限思想 算法思想 活动经验
高中数学
谢谢观看， 再见.
高中数学