新人教B版选择性必修第一册高中数学 第一章 空间向量与立体几何 综合测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 新人教B版选择性必修第一册高中数学 第一章 空间向量与立体几何 综合测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 486.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 07:38:04 | ||
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文档简介
第一章综合测试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是( )
A.－a＋b＋cB．a＋b＋cC.－a－b＋cD．a－b＋c
2．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A.a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对
3．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·＝( )
A.1B．－1C．D．－
4．设u＝(2，2，－1)是平面α的一个法向量，a＝(－3，4，2)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A.平行或直线在平面内B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定
5．已知点A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，则||的值是( )
A.B．C．D．
6.如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为( )
A.3B．C.2D．
7.如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，若M为平面ABCD上的一个动点，且满足·＝0，则点M到直线AB的最大距离为( )
A.2B．3＋C.4＋D．4＋2
8.如图，ABCD EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A.B．C.D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是( )
A.A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间向量的一组基底，则A，B，M，N四点共面
B.已知{a，b，c}为空间向量的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间向量的一组基底
C.若直线l的一个方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝，则直线l∥α
D.若直线l的一个方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为
10．已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，1)，则( )
A.a∥b
B.|a|＝|b|
C.向量a，b的夹角的余弦值为－
D.若向量m＝(2，0，0)＝xa＋yb(x，y为实数)，则xy＝－1
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A.(＋＋)2＝22
B.·(－)＝0
C.向量与的夹角是60°
D.BD1与AC所成角的余弦值为
12．已知E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )
A.A1D与B1D1是异面直线
B.A1D与EF所成角的大小为45°
C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为
D.二面角C D1B1 B的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．
13．已知空间向量a，b，c中两两夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________.
14．若a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则与a＋b同方向的单位向量是________.
15．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c作为基底向量表示D1B＝________.
16.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得PA1＝PE；
②△PA1E的面积越来越小；
③四面体A1PB1E的体积不变．
所有正确的结论的序号是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－.
18．(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离．
20．(12分)在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝2.
(1)求BC到平面ADC1B1的距离；
(2)求二面角B1 AD E1的余弦值．
21．(12分)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E在棱BB1上，且B1E＝2BE，点F是棱DD1上的一个动点．
(1)点F在什么位置时，B1F∥平面AEC，并说明理由；
(2)若直线B1C与平面AFC所成角为60°，求二面角E AC F的余弦值．
22．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；
(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得平面ACP与平面ABC的夹角的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
第一章综合测试卷
1．答案：A
解析：＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.故选A.
2．答案：C
解析：∵a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，
∴a·b＝－4＋0＋4＝0，b·c＝－4×2＋0×(－6)＋4×2＝0，∴a⊥b，b⊥c，
∵＝＝，∴a∥c.故选C.
3．答案：A
解析：如图，可知＝＋，
∴·＝·＝·＋·＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1.故选A.
4．答案：A
解析：因为u·a＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以u⊥a，故直线l∥平面α或直线l 平面α.故选A.
5．答案：C
解析：设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x，3－y，4－z)，由＝2知x＝－，y＝，z＝3，即P(－，，3).由两点间距离公式可得||＝.故选C.
6．答案：B
解析：
由题意可得DA，DC，DE两两互相垂直．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，6)，F(6，0，6)，B(6，6，0).因为O是BE的中点，所以O(3，3，3).因为＝，所以M(6，0，4)，所以||＝＝，即线段OM的长为.故选B.
7．答案：B
解析：
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(2，0，2)，C(0，4，0).
设M(a，b，0)，则＝(2－a，－b，2)，＝(－a，4－b，0).
∵·＝0，∴(2－a，－b，2)·(－a，4－b，0)＝－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得(a－1)2＋(b－2)2＝5，∴M为平面ABCD上到点(1，2)的距离为的一个动点，故点M到直线AB的最大距离为4－1＋＝3＋.故选B.
8．答案：C
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，
因为＝＋＋，
所以＝(，，)，＝，||＝＝，
所以点P到AB的距离d＝＝＝.故选C.
9．答案：ABD
解析：对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间向量的一组基底，则，，共面，则A，B，M，N四点共面，故A正确；对于B，已知{a，b，c}为空间向量的一组基底，所以a，b，c不共面，若m＝a＋c，则a，b，m也不共面，故{a，b，m}也是空间向量的一组基底，故B正确；对于C，因为e·n＝1×(－2)＋0×0＋3×＝0，所以e⊥n，所以l α或l∥α，故C错误；对于D，因为cos〈e，n〉＝＝＝，所以直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确．故选ABD.
10．答案：BC
解析：对于选项A，由≠＝，故A错误；对于选项B，由|a|＝，|b|＝，故B正确；对于选项C，由a·b＝1×1＋1×(－1)＋(－1)×1＝－1，得cos〈a，b〉＝＝－，故C正确；对于D选项，由m＝(2，0，0)＝xa＋yb＝(x，x，－x)＋(y，－y，y)＝(x＋y，x－y，－x＋y)，得解得x＝1，y＝1，有xy＝1，故D错误．故选BC.
11．答案：AB
解析：由题意可知平行六面体ABCD A1B1C1D1为各棱长均相等，设棱长为1，则·＝·＝·＝1×1×cos60°＝，
所以(AA1＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×＝6，而22＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)＝2×(1＋1＋2×)＝2×3＝6，所以A正确；·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确；向量＝，显然△AA1D为等边三角形，故∠AA1D＝60°，所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确；因为＝＋－，＝＋，所以＝＝，||＝＝，·＝(＋－)·(＋)＝1，所以cos〈，〉＝＝＝，所以D不正确．故选AB.
12．答案：AD
解析：根据异面直线的判定定理“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线”可知A正确；以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，F(0，1，0)，所以＝(－2，0，－2)，＝(－1，－1，0)，设A1D与EF所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝60°，故B错误；由题意可知，平面BEB1的法向量为＝(0，2，0)，＝(－2，1，－2)，设A1F与平面B1EB所成角为α，则sinα＝＝＝，所以cosα＝，故C错误；＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，设平面D1B1B的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则.
令x1＝1，得m＝(1，－1，0)，同理可得平面D1B1C的法向量n＝(1，－1，－1)，
则cos〈m，n〉＝＝＝，又因为二面角C D1B1 B的平面角为锐角，所以二面角C D1B1 B的余弦值为，故D正确．故选AD.
13．答案：10
解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋2|a||c|·cos〈a，c〉＋2|b||c|·cos〈b，c〉
＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，
∴|a＋b＋c|＝10.
14．答案：(0，，)
解析：与a＋b同方向的单位向量是(0，1，2)＝(0，，).
15．答案：a－b－c
解析：由图形可知＝－＝－(＋)＝－－＝a－b－c.
16．答案：①②③
解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1(2，0，2)，E(1，2，2)，设P(0，m，0)(0≤m≤2)，则PA1＝＝，PE＝＝，令m2＋8＝m2－4m＋9，解得m＝，存在点P，使得PA1＝PE，①正确；
＝(1，2－m，2)，＝(－1，2，0)，||＝＝，cos 〈，〉＝＝，设点P到直线A1E距离为d，
则d＝||sin 〈，〉＝·＝，
所以＝||·d＝＝，因为0≤m≤2，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，即m从0逐渐变到2，随着m的变大，(m－4)2＋20变小，△PA1E的面积越来越小，②正确；
以△A1B1E为底，高为点P到上底面的距离h，因为DC∥底面A1B1C1D1，所以h不变，所以四面体A1PB1E的体积不变，③正确．
17．解析：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
又＝(－)＝－＝－＝，
∴＋－＝＋－＝.
18．解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
则E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，G(0，，0)，
(1)证明：∵＝(，，－)，＝(－1，0，－1)，
∴·＝0，∴EF⊥B1C.
(2)由(1)知＝(0，－，－1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)＝，
设EF与C1G所成角为θ，则
cosθ＝＝＝，
故EF与C1G所成角的余弦值为.
19．解析：(1)如图所示，以A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D(，0，0)，E(，，0)，F(0，，1).则＝(0，，0)，＝(－，，1)，＝(0，0，－2)，
设平面DEF的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则x＝2，y＝0，所以平面DEF的一个法向量n＝(2，0，1).
设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
(2)∵＝(0，，－1)，n＝(2，0，1)，∴点P到平面DEF的距离d＝＝.
20．解析：(1)连接AE，因为六边形ABCDEF为正六边形，则∠AFE＝∠DEF＝120°，
因为AF＝EF，则∠AEF＝30°，故∠AED＝90°，
因为EE1⊥底面ABCDEF，不妨以点E为坐标原点，EA，ED，EE1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(，0，0)，B(，1，0)，C(，，0)，D(0，1，0)，B1(，1，2)，C1(，，2)，E1(0，0，2)，
在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，BB1∥CC1且BB1＝CC1，
所以四边形BB1C1C为平行四边形，则BC∥B1C1，
因为BC 平面ADC1B1，B1C1 平面ADC1B1，所以BC∥平面ADC1B1，
所以BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离，
设平面ADC1B1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，＝(－，1，0)，＝(0，1，2)，
由取y1＝2，则m＝(2，2，－)，＝(0，1，0)，所以直线BC到平面ADC1B1的距离为d＝＝＝.
(2)设平面ADE1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝(－，1，0)，＝(0，－1，2)，
由
取y2＝2，则n＝(2，2，)，
cos〈m，n〉＝＝，
由图可知，二面角B1 AD E1为锐角，
所以二面角B1 AD E1的余弦值为.
21．解析：(1)点F位于DD1的三等分点(靠近D点)时，B1F∥平面AEC，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3a，
则A(0，0，0)，E(3a，0，a)，C(3a，3a，0)，B1(3a，0，3a)，设F(0，3a，t)，所以＝(3a，3a，0)，＝(3a，0，a)，＝(0，3a，t)，
设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，
则，令x＝1得：y＝－1，z＝－3，
所以m＝，
因为＝(－3a，3a，t－3a)，
令·m＝(－3a，3a，t－3a)·(1，－1，－3)＝－3a－3a－3(t－3a)＝0，
解得t＝a，
所以当点F位于DD1的三等分点(靠近D点)时，B1F∥平面AEC.
(2)设点F(0，3a，b)，直线B1C与平面AFC所成角为60°，
设平面ACF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则，令y1＝1得x1＝－1，z1＝－，
则n＝(－1，1，－)，
sin60°＝＝＝，
解得b＝a，则n＝(－1，1，－2)，
cos 〈m，n〉＝＝＝＝，
设二面角E AC F的大小为θ，显然θ为钝角，
则cosθ＝－cos〈m，n〉＝－.
22．解析：(1)证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，F(0，2，1).
取AD1的中点G，则G(1，0，1)，＝(1，－2，1).
又＝(－1，2，－1)，
∴＝－，∴与共线．从而EF∥CG.
∵CG 平面ACD1，EF 平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1.
(2)∵＝(0，2，0)，
cos〈，〉＝＝＝，
∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为.
(3)假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，t)(0＜t≤2)，平面ACP的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∵＝(0，2，t)，＝(－2，2，0)，
∴取n＝(1，1，－).
易知平面ABC的一个法向量为BB1＝(0，0，2).
∴|cos〈，n〉|＝＝.
即＝(2＋)，解得t＝.∵∈(0，2]，
∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，平面ACP与平面ABC的夹角的大小为30°.
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是( )
A.－a＋b＋cB．a＋b＋cC.－a－b＋cD．a－b＋c
2．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( )
A.a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对
3．已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则·＝( )
A.1B．－1C．D．－
4．设u＝(2，2，－1)是平面α的一个法向量，a＝(－3，4，2)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A.平行或直线在平面内B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定
5．已知点A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，则||的值是( )
A.B．C．D．
6.如图，已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6，且它们所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为( )
A.3B．C.2D．
7.如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，若M为平面ABCD上的一个动点，且满足·＝0，则点M到直线AB的最大距离为( )
A.2B．3＋C.4＋D．4＋2
8.如图，ABCD EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( )
A.B．C.D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是( )
A.A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间向量的一组基底，则A，B，M，N四点共面
B.已知{a，b，c}为空间向量的一组基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间向量的一组基底
C.若直线l的一个方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝，则直线l∥α
D.若直线l的一个方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为
10．已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，1)，则( )
A.a∥b
B.|a|＝|b|
C.向量a，b的夹角的余弦值为－
D.若向量m＝(2，0，0)＝xa＋yb(x，y为实数)，则xy＝－1
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A1B1C1D1，其中以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A.(＋＋)2＝22
B.·(－)＝0
C.向量与的夹角是60°
D.BD1与AC所成角的余弦值为
12．已知E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )
A.A1D与B1D1是异面直线
B.A1D与EF所成角的大小为45°
C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为
D.二面角C D1B1 B的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．
13．已知空间向量a，b，c中两两夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________.
14．若a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则与a＋b同方向的单位向量是________.
15．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c作为基底向量表示D1B＝________.
16.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得PA1＝PE；
②△PA1E的面积越来越小；
③四面体A1PB1E的体积不变．
所有正确的结论的序号是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－.
18．(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离．
20．(12分)在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，AA1＝2AB＝2.
(1)求BC到平面ADC1B1的距离；
(2)求二面角B1 AD E1的余弦值．
21．(12分)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E在棱BB1上，且B1E＝2BE，点F是棱DD1上的一个动点．
(1)点F在什么位置时，B1F∥平面AEC，并说明理由；
(2)若直线B1C与平面AFC所成角为60°，求二面角E AC F的余弦值．
22．(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；
(3)在棱BB1上是否存在一点P，使得平面ACP与平面ABC的夹角的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
第一章综合测试卷
1．答案：A
解析：＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.故选A.
2．答案：C
解析：∵a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，
∴a·b＝－4＋0＋4＝0，b·c＝－4×2＋0×(－6)＋4×2＝0，∴a⊥b，b⊥c，
∵＝＝，∴a∥c.故选C.
3．答案：A
解析：如图，可知＝＋，
∴·＝·＝·＋·＝2×2×cos60°＋2×1×cos120°＝1.故选A.
4．答案：A
解析：因为u·a＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以u⊥a，故直线l∥平面α或直线l 平面α.故选A.
5．答案：C
解析：设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x，3－y，4－z)，由＝2知x＝－，y＝，z＝3，即P(－，，3).由两点间距离公式可得||＝.故选C.
6．答案：B
解析：
由题意可得DA，DC，DE两两互相垂直．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，6)，F(6，0，6)，B(6，6，0).因为O是BE的中点，所以O(3，3，3).因为＝，所以M(6，0，4)，所以||＝＝，即线段OM的长为.故选B.
7．答案：B
解析：
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(2，0，2)，C(0，4，0).
设M(a，b，0)，则＝(2－a，－b，2)，＝(－a，4－b，0).
∵·＝0，∴(2－a，－b，2)·(－a，4－b，0)＝－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得(a－1)2＋(b－2)2＝5，∴M为平面ABCD上到点(1，2)的距离为的一个动点，故点M到直线AB的最大距离为4－1＋＝3＋.故选B.
8．答案：C
解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，
因为＝＋＋，
所以＝(，，)，＝，||＝＝，
所以点P到AB的距离d＝＝＝.故选C.
9．答案：ABD
解析：对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间向量的一组基底，则，，共面，则A，B，M，N四点共面，故A正确；对于B，已知{a，b，c}为空间向量的一组基底，所以a，b，c不共面，若m＝a＋c，则a，b，m也不共面，故{a，b，m}也是空间向量的一组基底，故B正确；对于C，因为e·n＝1×(－2)＋0×0＋3×＝0，所以e⊥n，所以l α或l∥α，故C错误；对于D，因为cos〈e，n〉＝＝＝，所以直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确．故选ABD.
10．答案：BC
解析：对于选项A，由≠＝，故A错误；对于选项B，由|a|＝，|b|＝，故B正确；对于选项C，由a·b＝1×1＋1×(－1)＋(－1)×1＝－1，得cos〈a，b〉＝＝－，故C正确；对于D选项，由m＝(2，0，0)＝xa＋yb＝(x，x，－x)＋(y，－y，y)＝(x＋y，x－y，－x＋y)，得解得x＝1，y＝1，有xy＝1，故D错误．故选BC.
11．答案：AB
解析：由题意可知平行六面体ABCD A1B1C1D1为各棱长均相等，设棱长为1，则·＝·＝·＝1×1×cos60°＝，
所以(AA1＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×＝6，而22＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)＝2×(1＋1＋2×)＝2×3＝6，所以A正确；·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确；向量＝，显然△AA1D为等边三角形，故∠AA1D＝60°，所以向量与的夹角是120°，即向量与的夹角是120°，所以C不正确；因为＝＋－，＝＋，所以＝＝，||＝＝，·＝(＋－)·(＋)＝1，所以cos〈，〉＝＝＝，所以D不正确．故选AB.
12．答案：AD
解析：根据异面直线的判定定理“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线”可知A正确；以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，0)，F(0，1，0)，所以＝(－2，0，－2)，＝(－1，－1，0)，设A1D与EF所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝60°，故B错误；由题意可知，平面BEB1的法向量为＝(0，2，0)，＝(－2，1，－2)，设A1F与平面B1EB所成角为α，则sinα＝＝＝，所以cosα＝，故C错误；＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，设平面D1B1B的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则.
令x1＝1，得m＝(1，－1，0)，同理可得平面D1B1C的法向量n＝(1，－1，－1)，
则cos〈m，n〉＝＝＝，又因为二面角C D1B1 B的平面角为锐角，所以二面角C D1B1 B的余弦值为，故D正确．故选AD.
13．答案：10
解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋2|a||c|·cos〈a，c〉＋2|b||c|·cos〈b，c〉
＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，
∴|a＋b＋c|＝10.
14．答案：(0，，)
解析：与a＋b同方向的单位向量是(0，1，2)＝(0，，).
15．答案：a－b－c
解析：由图形可知＝－＝－(＋)＝－－＝a－b－c.
16．答案：①②③
解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1(2，0，2)，E(1，2，2)，设P(0，m，0)(0≤m≤2)，则PA1＝＝，PE＝＝，令m2＋8＝m2－4m＋9，解得m＝，存在点P，使得PA1＝PE，①正确；
＝(1，2－m，2)，＝(－1，2，0)，||＝＝，cos 〈，〉＝＝，设点P到直线A1E距离为d，
则d＝||sin 〈，〉＝·＝，
所以＝||·d＝＝，因为0≤m≤2，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，即m从0逐渐变到2，随着m的变大，(m－4)2＋20变小，△PA1E的面积越来越小，②正确；
以△A1B1E为底，高为点P到上底面的距离h，因为DC∥底面A1B1C1D1，所以h不变，所以四面体A1PB1E的体积不变，③正确．
17．解析：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
又＝(－)＝－＝－＝，
∴＋－＝＋－＝.
18．解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
则E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，G(0，，0)，
(1)证明：∵＝(，，－)，＝(－1，0，－1)，
∴·＝0，∴EF⊥B1C.
(2)由(1)知＝(0，－，－1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)＝，
设EF与C1G所成角为θ，则
cosθ＝＝＝，
故EF与C1G所成角的余弦值为.
19．解析：(1)如图所示，以A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，D(，0，0)，E(，，0)，F(0，，1).则＝(0，，0)，＝(－，，1)，＝(0，0，－2)，
设平面DEF的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则x＝2，y＝0，所以平面DEF的一个法向量n＝(2，0，1).
设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，
故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
(2)∵＝(0，，－1)，n＝(2，0，1)，∴点P到平面DEF的距离d＝＝.
20．解析：(1)连接AE，因为六边形ABCDEF为正六边形，则∠AFE＝∠DEF＝120°，
因为AF＝EF，则∠AEF＝30°，故∠AED＝90°，
因为EE1⊥底面ABCDEF，不妨以点E为坐标原点，EA，ED，EE1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(，0，0)，B(，1，0)，C(，，0)，D(0，1，0)，B1(，1，2)，C1(，，2)，E1(0，0，2)，
在正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，BB1∥CC1且BB1＝CC1，
所以四边形BB1C1C为平行四边形，则BC∥B1C1，
因为BC 平面ADC1B1，B1C1 平面ADC1B1，所以BC∥平面ADC1B1，
所以BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离，
设平面ADC1B1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，＝(－，1，0)，＝(0，1，2)，
由取y1＝2，则m＝(2，2，－)，＝(0，1，0)，所以直线BC到平面ADC1B1的距离为d＝＝＝.
(2)设平面ADE1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝(－，1，0)，＝(0，－1，2)，
由
取y2＝2，则n＝(2，2，)，
cos〈m，n〉＝＝，
由图可知，二面角B1 AD E1为锐角，
所以二面角B1 AD E1的余弦值为.
21．解析：(1)点F位于DD1的三等分点(靠近D点)时，B1F∥平面AEC，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3a，
则A(0，0，0)，E(3a，0，a)，C(3a，3a，0)，B1(3a，0，3a)，设F(0，3a，t)，所以＝(3a，3a，0)，＝(3a，0，a)，＝(0，3a，t)，
设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，
则，令x＝1得：y＝－1，z＝－3，
所以m＝，
因为＝(－3a，3a，t－3a)，
令·m＝(－3a，3a，t－3a)·(1，－1，－3)＝－3a－3a－3(t－3a)＝0，
解得t＝a，
所以当点F位于DD1的三等分点(靠近D点)时，B1F∥平面AEC.
(2)设点F(0，3a，b)，直线B1C与平面AFC所成角为60°，
设平面ACF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则，令y1＝1得x1＝－1，z1＝－，
则n＝(－1，1，－)，
sin60°＝＝＝，
解得b＝a，则n＝(－1，1，－2)，
cos 〈m，n〉＝＝＝＝，
设二面角E AC F的大小为θ，显然θ为钝角，
则cosθ＝－cos〈m，n〉＝－.
22．解析：(1)证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，0，2)，F(0，2，1).
取AD1的中点G，则G(1，0，1)，＝(1，－2，1).
又＝(－1，2，－1)，
∴＝－，∴与共线．从而EF∥CG.
∵CG 平面ACD1，EF 平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1.
(2)∵＝(0，2，0)，
cos〈，〉＝＝＝，
∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为.
(3)假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，t)(0＜t≤2)，平面ACP的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则∵＝(0，2，t)，＝(－2，2，0)，
∴取n＝(1，1，－).
易知平面ABC的一个法向量为BB1＝(0，0，2).
∴|cos〈，n〉|＝＝.
即＝(2＋)，解得t＝.∵∈(0，2]，
∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，平面ACP与平面ABC的夹角的大小为30°.