新人教B版选择性必修第一册高中数学 第二章 平面解析几何 综合测试卷（含解析）

第二章综合测试卷
时间：120分钟　满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x
2．已知A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　)
A．2B．C．2或－8D．2或
3．已知椭圆C：＋＝1(b>0)上的动点P到右焦点距离的最小值为3－2，则b＝(　　)
A．1B．C．D．
4．已知O为坐标原点，抛物线x＝y2的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则M点到x轴的距离为(　　)
A．2B．C．2D．2
5．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A．B．C．D．
6．若过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为(　　)
A．(－，) B．(－，) C．[0，)∪(，π) D．[0，)∪(，π)
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13B．12C．9D．6
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|(O为坐标原点)，PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率为(　　)
A．B．2C．D．3
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知双曲线C：x2－＝1，则(　　)
A．双曲线C与圆(x－)2＋y2＝1有3个公共点
B．双曲线C的离心率与椭圆＋＝1的离心率的乘积为1
C．双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线
D．双曲线C的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同
10．已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆
B．当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆
C．当a＝0时，表示的圆的半径为2
D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切
11．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的有(　　)
A．|PF|的最小值为1B．|QF|的最小值为
C．|PF|＋|PQ|的最小值为4D．|PF|＋|PQ|的最小值为＋1
12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则(　　)
　　
A．椭圆的长轴长为4
B．线段AB长度的取值范围是[4，2＋2]
C．△ABF面积的最小值是4
D．△AFG的周长为4＋4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．
13．若拋物线y2＝8x的焦点也是双曲线－y2＝1(a>0)的焦点，则a＝________．
14．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________．
15．已知圆C：x2＋(y－1)2＝10，直线l过点P(2，2)且与圆C交于A，B两点，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
16．直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝有两个交点，则实数m的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知圆C经过坐标原点O和点(4，0)，且圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l：3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，求所得弦长|AB|的值．
18．(12分)已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4，圆M：x2－4x＋y2－5＝0.
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点(6，－2)的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
19．(12分)已知椭圆C：x2＋4y2＝16和点M(2，1).
(1)求椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2)设直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|；
(3)求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程．
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且以AB为直径的圆经过原点，求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
21．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1，0)的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝，求直线m的方程．
22．(12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点(1，)在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0，).求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．
第二章综合测试卷
1．答案：B
解析：由双曲线x2－＝1得a＝1，b＝2，所以渐近线方程为y＝±2x.故选B.
2．答案：D
解析：因为A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，
所以有＝ |13－4a|＝5 a＝2或a＝.故选D.
3．答案：A
解析：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为a－c，
即a－c＝3－2，又a＝3，所以c＝2，
由c2＝a2－b2，所以b＝1.故选A.
4．答案：D
解析：由题意得y2＝4x，所以准线为x＝－1，
又因为|MF|＝3，设点M的坐标为(x0，y0)，
则有|MF|＝x0＋1＝3，解得x0＝2，
将x0＝2代入解析式y2＝4x得y0＝±2，
所以M点到x轴的距离为2.故选D.
5．答案：A
解析：因为|PF1|＝3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a；
因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos60°，
整理可得4c2＝7a2，所以e2＝＝，即e＝.故选A.
6．答案：C
解析：由x2－4x＋y2＋3＝0得(x－2)2＋y2＝1，
所以圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为r＝1，
因此为使过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，直线l的斜率必然存在，
不妨设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
则有记l的倾斜角为θ，则－又θ∈[0，π)，所以θ∈[0，)∪(，π).故选C.
7．答案：C
解析：由题，a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤()2＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立).故选C.
8.答案：C
解析：如图，由条件可知△OMF1∽△F1F2P，
则＝＝2，得|PF1|＝2|PF2|，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，
则|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
根据勾股定理可知16a2＋4a2＝4c2，
解得e＝＝.故选C.
9．答案：BCD
解析：作图可知A不正确；由已知得双曲线C中，a＝1，b＝，c＝＝2，所以双曲线C的焦点为(±2，0)，顶点为(±1，0)，渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率为＝2，易知选项BCD正确．故选BCD.
10．答案：BCD
解析：x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0整理为(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a，
A选项，当a＝10时，此时半径为0，故A错误；
B选项，当a<10时，此时半径大于0，表示圆心为(2，－4)的圆，B正确；
C选项，当a＝0时，表示的圆的半径为2，C正确；
D选项，当a＝8时，表示的圆半径为2，又圆心坐标为(2，－4)，故与y轴相切，D正确．故选BCD.
11．答案：AC
解析：抛物线焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，作出图象，
对选项A：由抛物线的性质可知：|PF|的最小值为|OF|＝1，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：|QF|的最小值为|CF|－r＝－1，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知|PF|＝|PM|，故|PF|＋|PQ|＝|PM|＋|PQ|，|PM|＋|PQ|的最小值为点Q到准线x＝－1的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．故选AC.
12.答案：ABD
解析：由题知，椭圆中的几何量b＝c＝2，得a＝2，则2a＝4，A正确；
AB＝OB＋OA＝2＋OA，由椭圆性质可知2≤OA≤2，所以4≤AB≤2＋2，B正确；
记∠AOF＝θ，则S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝OA·OFsinθ＋OB·OFsin (π－θ)＝OAsinθ＋2sinθ＝(OA＋2)sinθ，
取θ＝，则S△ABF＝1＋OA≤1＋×2<4，C错误；
由椭圆定义知，AF＋AG＝2a＝4，所以△AFG的周长L＝FG＋4＝4＋4，D正确．故选ABD.
13．答案：
解析：因为拋物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，
且该点也是双曲线－y2＝1(a>0)的焦点，
所以a2＋12＝4，又因为a>0，
所以a＝.
14．答案：(1，2)
解析：因为椭圆＋＝1的焦点在y轴上，
所以，解得115．答案：6
解析：由已知点C(0，1)，所以kCP＝＝.
因为P(2，2)为线段AB的中点，所以CP⊥AB，
所以kAB＝－2，所以直线l的方程为y－2＝－2(x－2)，即2x＋y－6＝0.
设点C(0，1)到直线l的距离为d，则d＝＝，
所以|AB|＝2＝2.
设点O到直线l的距离为h，则h＝＝，
则△AOB的面积S＝×|AB|×h＝6.
16．答案：[2，2)
解析：依题意，曲线C的方程可化为x2＋y2＝4(y≥0)，它表示以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图：
直线l：y＝x＋m表示斜率为1的平行直线系，把直线l由左向右平移，直线l先与半圆相切，后与半圆交于两点，再后与半圆交于一点，
当直线l与半圆相切时，m＝2，当直线l与半圆交于两点时，2≤m<2，
所以实数m的取值范围是[2，2).
17．解析：(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)由(1)可知：圆C半径为r＝2，设圆心(2，0)到l的距离为d，则d＝＝1，由垂径定理得|AB|＝2＝2.
18．解析：(1)把圆M的方程化成标准方程，得(x－2)2＋y2＝9，
圆心为M(2，0)，半径r1＝3.
圆C的圆心为C(4，2)，半径r2＝2，
因为1<|MC|＝＝2<5，
所以圆C与圆M相交，
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝6到圆心C距离为2，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x－6)，
由题意得＝2，解得k＝－，
故直线l的方程为3x＋4y－10＝0.
综上，直线l的方程为3x＋4y－10＝0或x＝6.
19．解析：(1)由x2＋4y2＝16得＋＝1，
∴a＝4，b＝2，c＝2，
∴焦点坐标是(2，0)和(－2，0)，离心率e＝.
(2)联立方程组，
消y得x2－4x＝0，得，或，
则A，B两点坐标分别为(0，2)和(4，0)，
弦长|AB|＝＝2.
(3)显然直线不与x轴垂直，可设此直线方程为y－1＝k(x－2)，
设交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
∴(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
又＝k，
x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴k＝－，
直线方程为y－1＝－(x－2)即x＋2y－4＝0.
20．解析：(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝＝，短轴端点到焦点的距离为a＝2，
故c＝，b＝1，故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
消y得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
又以AB为直径的圆经过原点，故·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，
即(k2＋1)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝0，
即(k2＋1)－kb·＋b2＝0，
化简整理得到5b2＝4k2＋4，
原点O到直线AB的距离为＝＝.
当直线斜率不存在时，△AOB为等腰直角三角形，设A(m，m)，则＋m2＝1，
解得m＝±，即直线方程为x＝±，原点到直线AB的距离为.
综上所述，原点O到直线AB的距离为定值，该定值为.
21．解析：(1)由题意B(，4)，代入y2＝2px，得p2＝16，p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)当直线m的斜率不存在时，k1＋k2＝0与题意不符，
所以直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)代入到y2＝8x中，
k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则，
k1＋k2＝＋
＝＋
＝
＝＝，
∴k＝，
所以直线m的方程为4x－3y－4＝0.
22．解析：(1)由已知e2＝1－＝，所以a2＝4b2，
因为点(1，)在椭圆上，所以＋＝1，解得a＝2，b＝1．
所以所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的垂直平分线过点(0，)，所以AB的斜率k存在．
当直线AB的斜率k＝0时，所以x1＝－x2，y1＝y2，
所以S△AOB＝·2|x1||y1|＝
＝≤＝1，
当且仅当x＝4－x时取“＝”，所以x1＝±时，(S△AOB)max＝1，
当直线AB的斜率k≠0时，设l：y＝kx＋m(m≠0).
联立方程消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ＝(8km)2－4×(1＋4k2)(4m2－4)>0得4k2＋1>m2，　①
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝－，＝k＋m＝，
所以AB的中点为(，)，
由直线的垂直关系有k·＝－1，化简得4k2＋1＝－6m，　②
由①②得－6m>m2，所以－6又O(0，0)到直线y＝kx＋m的距离为d＝，
|AB|＝|x1－x2|＝·4·＝，
S△AOB＝|AB|d＝×·＝，
所以m＝－3时，(S△AOB)max＝×3＝1.
由m＝－3，所以1＋4k2＝18，解得k＝±.
即k＝±时，(S△AOB)max＝1.
综上所述，△AOB面积的最大值为1.