1．2.5 空间中的距离
1．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
A．1 B． C． D．
2．已知a＝(1，1，1)为平面α的一个法向量，A(1，0，0)为α内的一点，则点D(1，1，2)到平面α的距离为( )
A． B． C． D．
3．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( )
A． B． C． D．
5．在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
6．如图所示，已知四面体顶点A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则从顶点D所引的四面体的高h＝________．
7. (多选)如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA＝AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是( )
A．OM⊥PA
B．存在点M，使OM∥平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
8．已知直线l过点A(1，－1，－1)，且方向向量为m＝(1，0，－1)，则点P(1，1，1)到l的距离为( )
A．2 B． C． D．
9．若两平行平面α、β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________．
10.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．
11．已知四棱锥S ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥平面SAC；
(2)若AB＝AS＝1，求点C到平面SBD的距离．
12．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为正三角形，O为AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，M是线段PC上的点．
(1)求证：OM⊥BC；
(2)当点M为线段PC的中点时，求点M到平面PAB的距离；
(3)是否存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为.若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，已知点E，F分别为直线BD，AD1上的动点，
给出下面四个结论：
①异面直线AD1，BD所成的角为60°；
②点F到平面B1C1C的距离为定值；
③若F为AD1中点，则点F到BD距离为；
④||的最小值为.
则其中所有正确结论的序号是________．
14.如图所示，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
15．如图所示，圆锥的高PO＝2，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得BC＝R，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
(1)证明：平面PDE⊥平面POD；
(2)若直线PE与平面PBD所成角的正弦值为，求点A到平面PED的距离．
16.如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA＝PC＝2，PB＝PD，且∠ABC＝60°，E为PD的中点．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求二面角E AC D的大小；
(3)在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．2.5 空间中的距离
必备知识基础练
1．答案：C
解析：以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点E(1，1，)，F(2，1，)，
所以|EF|＝＝，故选C．
2．答案：A
解析：依题意，＝(0，1，2)，而a＝(1，1，1)为平面α的一个法向量，所以点D(1，1，2)到平面α的距离d＝＝＝.故选A.
3．答案：C
解析：因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝＝－4，即||＝4.又||＝，所以AC边上的高BD的长为||＝＝＝5.故选C.
4．答案：B
解析：以，，BB1的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立坐标系B xyz，则＝(2，0，0)，＝(1，0，2)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴sin〈，〉＝.∴点A到直线BE的距离d＝|AB|sin〈，〉＝.故选B.
5．答案：
解析：由题意，得AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，故AD∥平面PBC，即AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则即令a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，所以d＝＝.
6．答案：11
解析：因为A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，所以＝(2，－2，－3)，＝(4，0，6)，＝(－7，－7，7)，
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
所以，
令x＝－3，则z＝2，y＝－6，所以n＝(－3，－6，2)，
所以D到平面ABC的距离为d＝＝＝11，即从顶点D所引的四面体的高h＝11.
关键能力综合练
7．答案：ABD
解析：以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)，
设SA＝AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，O(1，1，0)，P(1，1，1)，
由M是棱SD上的动点，设M(0，λ，2－λ)，(0≤λ≤2)，
∵＝(1，1，1)，＝(－1，λ－1，2－λ)，
∴·＝－1＋λ－1＋2－λ＝0，
∴AP⊥OM，故A正确；
当M为SD的中点时，OM是△SBD的中位线，
所以OM∥SB，
又OM 平面SBC，SB 平面SBC，
所以OM∥平面SBC，故B正确；
＝(2，0，0)，＝(－1，λ－1，2－λ)，
若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°，
则cos30°＝＝＝，
化简得3λ2－9λ＋7＝0，方程无解，故C错误；
点M到平面ABCD的距离d1＝2－λ，
点M与平面SAB的距离d2＝＝＝λ，
所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为d1＋d2＝2－λ＋λ＝2，是定值，故D正确．故选ABD.
8．答案：B
解析：∵点P(1，1，1)，直线l过点A(1，－1，－1)，且一个方向向量为m＝(1，0，－1)，
∴＝(0，－2，－2)，
所以直线l的一个单位方向向量m0＝＝(1，0，－1)，
∴点P到直线l的距离为d＝＝＝.故选B.
9．答案：
解析：依题意，平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，
而＝(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离d＝＝＝＝.
10．答案：
解析：取AC的中点D，建立如图空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，
所以＝(，1，2)，＝(0，－2，0).
直线AB1的一个单位方向向量s＝(，，)，
所以点C到直线AB1的距离d＝＝＝.
11．解析：(1)证明：∵SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴SA⊥BD，
又∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
又∵SA∩AC＝A，SA，AC 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
(2)因为SA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，
因为AB⊥AD，
所以AB，AD，AS两两垂直，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，
设平面BDS的法向量为n＝(x，y，z)，
则，
令x＝1，则n＝(1，1，1)，
所以点C到平面SBD的距离为d＝＝＝.
12．解析：(1)证明：连接OC，AC，
因为四边形ABCD为菱形，则AD＝CD，因为∠ADC＝60°，则△ACD为等边三角形，
因为O为AD的中点，故OC⊥AD，
因为△PAD为等边三角形，O为AD的中点，则PO⊥AD，
∵PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，
∵OM 平面POC，则AD⊥OM，
∵BC∥AD，故OM⊥BC.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，PO 平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，
因为OC⊥AD，以点O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，－2，0)，C(，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，M(，0，)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，＝(，－1，0)，＝(0，1，)，
由，
取x＝1，可得m＝(1，，－1)，＝(，1，)，
所以点M到平面PAB的距离为d＝＝＝.
(3)设＝λ＝λ(，0，－)＝(λ，0，－λ)，其中0≤λ≤1，
＝＋＝(0，1，)＋(λ，0，－λ)＝(λ，1，－λ)，
由题意|cos〈，m〉|＝＝＝，
整理可得9λ2＋3λ－2＝0，
因为0≤λ≤1，解得λ＝，
因此，存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为，此时＝.
核心素养升级练
13．答案：①②④
解析：①连接BC1，DC1，由正方体的几何性质可得，BC1∥AD1，所以异面直线AD1，BD所成的角即为BC1与BD所成的角即∠DBC1，因为△BDC1为等边三角形，所以∠DBC1＝60°，故选项①正确；
因为BC1∥AD1，且AD1 平面B1C1C，BC1 平面B1C1C，所以AD1∥平面B1C1C，则直线AD1上的点到平面B1C1C的距离相等，所以点F到平面B1C1C的距离为定值，故选项②正确；
连接FD，FB，因为FD＝A1D＝，BD＝2，FB＝＝，所以FD2＋FB2＝BD2，故△FBD为直角三角形，设点F到BD的距离为d，由等面积法可得，S△FBD＝·BD·d＝·FD·BF，即×2·d＝××，解得d＝，所以若F为AD1的中点，则点F到BD距离为，故选项③错误；
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1(2，0，2)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，D(0，0，0)，由三垂线定理可得，A1C⊥AD1，A1C⊥BD，故向量＝(2，－2，2)是异面直线AD1与BD的法向量，又＝(2，0，0)，所以直线BD，AD1公垂线的长度为＝＝，因为异面直线间的公垂线距离最短，所以||的最小值为，故选项④正确．
14．解析：在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点，
∴PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0).
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则∴
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1).
∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，∴y＝－或y＝(舍去).
此时＝(0，，0)，＝(0，，0)，
则||＝，||＝.
∴存在点Q满足题意，此时＝.
15．解析：(1)证明：由题设，PO⊥平面ABD，又D是切线CE与圆O的切点，
∴CE 平面ABD，则PO⊥CE，且OD⊥CE，
又PO∩OD＝O，∴CE⊥平面POD，
又CE 平面PDE，所以平面PDE⊥平面POD.
(2)作Ox∥AE，以O为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
且CO＝2R，OD＝R，CD＝R，
又＝＝，可得AE＝CD＝ED＝R，
∴P(0，0，2)，D(R，R，0)，E(R，－R，0)，B(0，R，0)，有＝(R，R，－2)，＝(0，R，－2)，＝(R，－R，－2)，
设m＝(x，y，z)是平面PBD的一个法向量，
则，
令x＝，则m＝(，3，R)，
又直线PE与平面PBD所成角的正弦值为，
即|cos〈m，〉|＝＝＝，整理得3R4－16R2＋16＝0，
即(3R2－4)(R2－4)＝0，解得R＝或R＝2，
当R＝2时，P(0，0，2)，D(，1，0)，E(2，－2，0)，A(0，－2，0)，
＝(2，－2，－2)，＝(，1，－2)，＝(0，2，2)，
设n＝(a，b，c)是平面PED的一个法向量，
则，
令a＝，则n＝(，1，2)，
所以点A到平面PED的距离d＝＝＝，
当R＝时，P(0，0，2)，D(1，，0)，E(2，－，0)，A(0，－，0)，
＝(2，－，－2)，＝(1，，－2)，＝(0，，2)，
设l＝(a1，b1，c1)是平面PED的一个法向量，
则，
令a1＝3，则l＝(3，，2)，
所以点A到平面PED的距离d＝＝＝，
综上，点A到平面PED的距离为或.
16．解析：(1)证明：连接BD，设BD与AC交于点O，
连接PO.因为PA＝PC＝2，所以AC⊥PO.
在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，则AC⊥BD.
又PO∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD，
因为PD 平面PBD，所以AC⊥PD.
(2)因为PB＝PD，所以BD⊥PO，所以由(1)知PO⊥平面ABCD，
以O为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，P(0，0，)，E(－，0，)，
所以＝(0，2，0)，＝(，1，0)，＝(－，1，)，
设平面AEC的法向量n＝(x，y，z)，
则，即，
令x＝1，则n＝.
平面ACD的法向量＝(0，0，)，
cos〈n，〉＝＝＝，
所以二面角E AC D为.
(3)存在点F到平面AEC的距离为，理由如下：
由(2)得＝(0，－1，)，＝(－，1，0)，
设＝λ＝(0，－λ，λ)，λ∈[0，1]，
则＝＋＝(0，1－λ，λ)，
所以点F到平面AEC的距离d＝＝＝，
解得λ＝，＝，所以＝2.1．2.4 二面角
1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A PC B的平面角
B．∠AED是二面角A PB C的平面角
C．∠DAE是二面角B PA C的平面角
D．∠ACB是二面角A PC B的平面角
2．已知二面角α l β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α l β的大小为( )
A． B． C．或 D．或
3．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C BF D的正切值为( )
A. B． C． D．
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为________．
6．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，求二面角A BD C的正弦值．
7．(多选)正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是( )
A．AD与BC所成的角为30°
B．AC与BD所成的角为90°
C．BC与平面ACD所成角的正弦值为
D．平面ABC与平面BCD所成锐二面角的正切值是
8．已知△ABC是等边三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，若S△PAB∶S△ABC＝2∶3，则二面角P AB C的大小为________．
9．如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角A MA1 N的正弦值．
10．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值；
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值．
11．如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)求BC；
(2)求二面角A PM B的正弦值．
12．如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为AA1，B1C的中点．
(1)证明：DE⊥平面BCC1B1；
(2)已知B1C与平面BCD所成角的大小为30°，求二面角D BC B1的余弦值．
13.如图，在三棱锥P ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M PA C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
14.如图所示，在三棱锥S ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点．
(1)求证：SO⊥平面ABC；
(2)求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
(3)在线段AB上是否存在一点E，使二面角B SC E的余弦值为？若存在，求BE∶BA的值；若不存在，试说明理由．
1．2.4 二面角
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为PA⊥BC，AC⊥BC，
所以BC⊥平面PAC.
又AD 平面PAC，所以AD⊥BC.
又AD⊥PC，PC∩BC＝C，所以AD⊥平面PBC，
所以AD⊥PB.
又AE⊥PB，AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE，
所以DE⊥PB，
所以∠AED为二面角A PB C的平面角．
2．答案：C
解析：由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α l β的大小为或.故选C.
3．答案：B
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，
则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).于是＝(0，1，0)，取PD的中点E，则E(0，，)，∴＝(0，，)，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，
∴cos〈，〉＝，且由图可知两平面所成角为锐二面角，∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.故选B.
4．答案：D
解析：
连接BD，设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0).∴＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．由＝(－，，0)，＝(，0，－)可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)，
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.∴tan〈n，〉＝.故选D.
5．答案：
解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，).平面xOy的一个法向量为m＝(0，0，1).由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝.
6．解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0).
所以＝(0，0，)，＝(0，，)，＝(，，0).
由于＝(0，0，)为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，
所以sin〈n，〉＝.
关键能力综合练
7．答案：BD
解析：取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，
∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，故平面ABD⊥平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，故AO⊥平面BCD.
∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设OC＝1，则A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，∴＝(0，1，1)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(0，2，0).
∵cos〈，〉＝＝＝，
因为〈，〉∈[0，π]，故〈，〉＝，
∴异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误；
∵·＝0，∴AC⊥BD，故B正确；
设平面ACD的法向量为t＝(x，y，z)，
则
取z＝1，得x＝1，y＝1，∴t＝(1，1，1)，
设BC与平面ACD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，t〉|＝＝＝，故C错误；
易知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设平面ABC的法向量为m＝(x′，y′，z′)，
则
取x′＝1，得y′＝－1，z′＝1，∴m＝(1，－1，1)，
设两个平面的夹角为α(α为锐角)，
则cosα＝|cos〈m，n〉|＝＝，
故sinα＝，tanα＝.
∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确．
故选BD.
8．答案：60°
解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在平面ABC上的射影O为△ABC的中心，S△OAB＝S△ABC.又S△PAB＝S△ABC，设二面角P AB C的大小为θ，所以cosθ＝＝，所以θ＝60°.
9．解析：(1)证明：连接ME，B1C，
∵M，E分别为BB1，BC的中点，
∴ME为△B1BC的中位线，
∴ME∥B1C且ME＝B1C，
又N为A1D的中点，且A1D綊B1C，
∴ND∥B1C且ND＝B1C，
∴ME綊ND，∴四边形MNDE为平行四边形，
∴MN∥DE，又MN 平面C1DE，DE 平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE.
(2)设AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，
由直四棱柱性质可知：OO1⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
则以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(，0，0)，M(0，1，2)，A1(，0，4)，D(0，－1，0)，N(，－，2)，
取AB的中点F，连接DF，则F(，，0).
∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝60°，
∴△BAD为等边三角形，∴DF⊥AB.
又∵AA1⊥平面ABCD，DF 平面ABCD，∴DF⊥AA1，又AA1∩AB＝A，
∴DF⊥平面ABB1A1，即DF⊥平面AMA1，
∴为平面AMA1的一个法向量，且＝(，，0).
设平面MA1N的法向量n＝(x，y，z)，
又＝(，－1，2)，＝(，－，0)，
∴，
令x＝，则y＝1，z＝－1，∴n＝(，1，－1)，
∴cos〈，n〉＝＝＝，
∴sin〈，n〉＝，
∴二面角A MA1 N的正弦值为.
10．解析：(1)以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，A(0，0，0)，S(0，0，2)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，＝(2，2，－2)，
∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0，2，0)，设SC与平面ASD所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，
故cosθ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)，
∵＝(2，2，－2)，＝(1，0，－2)，
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由
令z＝1可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)，
显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cosα＝＝，
即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
11．解析：(1)方法一 空间坐标系＋空间向量法
∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，
设BC＝2a，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(2a，1，0)，M(a，1，0)，A(2a，0，0)，
则＝(2a，1，－1)，＝(－a，1，0)，
∵PB⊥AM，则·＝－2a2＋1＝0，
解得a＝，故BC＝2a＝.
方法二 最优解：几何法＋相似三角形法
如图，连接BD.因为PD⊥底面ABCD，且AM 底面ABCD，所以PD⊥AM.
又因为PB⊥AM，PB∩PD＝P，所以AM⊥平面PBD.
又BD 平面PBD，所以AM⊥BD.
从而∠ADB＋∠DAM＝90°.
因为∠MAB＋∠DAM＝90°，所以∠MAB＝∠ADB.
所以△ADB∽△BAM，于是＝.
所以BC2＝1.所以BC＝.
方法三 几何法＋三角形等面积法
如图，连接BD交AM于点N.
由方法二知AM⊥DB.
在矩形ABCD中，有△DAN∽△BMN，
所以＝＝2，即AN＝AM.
令BC＝2t(t>0)，因为M为BC的中点，则BM＝t，DB＝，AM＝.
由S△DAB＝DA·AB＝DB·AN，
得t＝·，解得t2＝，
所以BC＝2t＝.
(2)方法一 最优解：空间坐标系＋空间向量法
设平面PAM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则＝(－，1，0)，＝(－，0，1)，
由，取x1＝，可得m＝(，1，2)，
设平面PBM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
＝(－，0，0)，＝(－，－1，1)，
由，
取y2＝1，可得n＝(0，1，1)，
cos〈m，n〉＝＝＝，
所以sin〈m，n〉＝＝，
因此二面角A PM B的正弦值为.
方法二 构造长方体法＋等面积法
如图，构造长方体ABCD A1B1C1D1，连接AB1，A1B，交点记为H，由于AB1⊥A1B，AB1⊥BC，所以AH⊥平面A1BCD1.过H作D1M的垂线，垂足记为G.
连接AG，由三垂线定理可知AG⊥D1M，
故∠AGH为二面角A PM B的平面角．
易证四边形A1BCD1是边长为的正方形，连接D1H，HM.
＝D1M·HG，
＝－－S△HBM－，
代入数据解得HG＝.
在Rt△AHG中，AH＝，HG＝，
由勾股定理求得AG＝.
所以sin∠AGH＝＝，即二面角A PM B的正弦值为.
12．解析：方法一 (1)证明：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝1，AD＝a(a>0)，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，a)，B1(1，0，2a)，E(，，a)，
所以＝(，，0)，＝(－1，1，0)，
＝(－1，1，－2a)，
所以·＝0，·＝0，
所以DE⊥BC，DE⊥B1C.
因为BC 平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，
BC∩B1C＝C，所以DE⊥平面BCC1B1.
(2)由(1)知＝(－1，1，0)，
＝(－1，0，a)，＝(－1，1，－2a)，
设平面BCD的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则所以
令x0＝1，得n＝(1，1，).
因为B1C与平面BCD所成角的大小为30°，
所以|cos〈n，〉|＝sin30°，
即＝＝，
解得a＝(负值舍去)，所以n＝(1，1，).
由(1)知平面BCB1的一个法向量为＝(，，0)，
所以cos〈n，〉＝
＝＝，
所以二面角D BC B1的余弦值为.
方法二 如图，取BC的中点F，连接AF，EF，DF.
(1)证明：因为AB＝AC，所以AF⊥BC，
因为BB1⊥平面ABC，AF 平面ABC，
所以BB1⊥AF，
又BC 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，BC∩B1B＝B，
所以AF⊥平面BCC1B1.
因为E为B1C的中点，所以EF∥BB1，且EF＝BB1，
所以EF∥DA，且EF＝DA，
所以四边形ADEF为平行四边形，
所以AF∥DE，所以DE⊥平面BCC1B1.
(2)设AB＝AC＝1，AA1＝2a(a>0)，
则AD＝a，BB1＝2a，BC＝，AF＝，BD＝DC＝，
所以DF＝＝，
所以S△BDC＝BC·DF＝，＝BB1·BC＝a.
由(1)知D到平面BCB1的距离为DE＝，
设B1到平面BCD的距离为d，
由＝得·DE＝S△BDC·d，
即×a×＝××d，解得d＝.
因为B1C与平面BCD所成角的大小为30°，
所以B1C＝＝2d＝，
又在直角三角形B1BC中，
B1C＝eq \r(BB＋BC2)＝，
所以＝，解得a＝(负值舍去).
由(1)知，AF⊥BC，EF⊥BC，因为AF∩EF＝F，AF，EF 平面DEFA，
所以BC⊥平面DEFA，因为DF 平面DEFA，所以DF⊥BC，
又DF 平面DBC，EF 平面B1BC，
平面DBC∩平面B1BC＝BC，
所以∠EFD为二面角D BC B1的平面角．
因为DA＝AF＝，所以四边形DAFE是正方形，
所以∠EFD＝45°，
所以二面角D BC B1的余弦值为.
核心素养升级练
13．解析：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.
因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2，
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)方法一 (通性通法)向量法
如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz.
由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2)，
取平面PAC的法向量＝(2，0，0).
设M(a，2－a，0)(0
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z).
由·n＝0，·n＝0，得，
可取n＝((a－4)，a，－a)，
所以cos〈，n〉＝.
由已知得|cos〈，n〉|＝.
所以＝.
解得a＝－4(舍去)，a＝.
所以n＝(－，，－).
又＝(0，2，－2)，所以cos〈，n〉＝.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
方法二 三垂线＋等积法
由(1)知PO⊥平面ABC，可得平面PAC⊥平面ABC.如图，在平面ABC内作MN⊥AC，垂足为N，则MN⊥平面PAC.在平面PAC内作NF⊥AP，垂足为F，连接MF，则MF⊥AP，故∠MFN为二面角M PA C的平面角，即∠MFN＝30°.
设MN＝a，则NC＝a，AN＝4－a，
在Rt△AFN中，FN＝(4－a).
在Rt△MFN中，由a＝··(4－a)，
得a＝，则FM＝2a＝.
设点C到平面PAM的距离为h，
由VM APC＝VC APM，得××42×＝××4××h，解得h＝，
则PC与平面PAM所成角的正弦值为.
方法三 三垂线＋线面角定义法
由(1)知PO⊥平面ABC，可得平面PAC⊥平面ABC.如图，在平面ABC内作MN⊥AC，垂足为N，则MN⊥平面PAC.在平面PAC内作NF⊥AP，垂足为F，连接MF，则MF⊥AP，故∠MFN为二面角M PA C的平面角，即∠MFN＝30°.同方法一可得MN＝a＝.
在△APC中，过N作NE∥PC，在△FNM中，过N作NG⊥FM，垂足为G，连接EG.在Rt△NGM中，NG＝NM＝×＝.
因为NE∥PC，所以NE＝NA＝4－a＝.
由PA⊥平面FMN，可得平面PAM⊥平面FMN，交线为FM.在平面FMN内，由NG⊥FM，可得NG⊥平面PAM，则∠NEG为直线NE与平面PAM所成的角．
设∠NEG＝α，则sinα＝＝＝，
又NE∥PC，所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为.
方法四 最优解：定义法
如图，取PA的中点H，连接CH，则CH＝2.过C作平面PAM的垂线，垂足记为T(垂足T在平面PAM内).连接HT，则∠CHT即为二面角M PA C的平面角，即∠CHT＝30°，得CT＝.
连接PT，则∠CPT为直线PC与平面PAM所成的角．
在Rt△PCT中，PC＝4，CT＝，所以sin∠CPT＝.
14．解析：(1)证明：在三棱锥S ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点，
显然SO⊥BC，设SB＝a，
则SA＝a，SO＝，OA＝，
∴SO2＋OA2＝SA2，∴SO⊥OA，
又∵BC∩OA＝O，且BC，OA 平面ABC，∴SO⊥平面ABC.
(2)以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，S(0，0，)，C(0，－，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，
∴＝(0，－，－)，＝(－，，0)，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为.
(3)存在满足条件的点E，理由如下：
假设存在点E满足条件．
由(2)知＝(0，－a，0)，＝(，－，0)，
＝(0，－，－).
设＝λ(0≤λ≤1)，
则＝λ＝(，－，0)，
所以＝－＝(，－，0)－(0，－a，0)＝(，－，0).
设平面SCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝λ，得n＝(λ－2，λ，－λ).
易知OA⊥平面SBC，
所以可取m＝(1，0，0)为平面SBC的一个法向量．
所以|cos〈m，n〉|＝
＝＝，
即2λ2＋λ－1＝0，解得λ＝或λ＝－1(舍去)，
所以存在满足题意的点E使得当BE∶BA＝1∶2时，二面角B SC E的余弦值为.1．2.3 直线与平面的夹角
1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线A1E与平面A1BC1所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
3．已知在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝6，E为棱PD的中点，则直线EC与平面PAB所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
4．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为( )
A． B． C． D．
5.如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值为________．
6．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠CAB＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．
(1)求证：MN∥平面ABB1A1；
(2)求直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小．
7．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．(多选)已知三棱锥P ABC，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E为PA中点，PB⊥CE，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AC
B．异面直线CE与AB所成的角的余弦值为
C．CE与平面ABC所成的角的正弦值为
D．三棱锥P ABC外接球的表面积为6π
9．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与底面ABCD所成角的正弦值．
10．如图，斜三棱柱ABC A1B1C1中，△ABC为正三角形，D为棱AC的中点，A1D⊥平面ABC.
(1)证明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)若AA1＝AB＝2，求直线AB1与平面BB1C所成角的正弦值．
11．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G.
(1)求证：BE∥FG；
(2)若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．
12．在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝2.
(1)若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：BD⊥平面PAC；
(3)求BC与平面PAC所成角的正弦值．
13.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是( )
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
14．在四棱锥P ABCD中，已知AB∥CD，AB⊥AD，BC⊥PA，AB＝2AD＝2CD＝2，PA＝，PC＝2，E是PB上的点．
(1)求证：PC⊥底面ABCD；
(2)是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为？若存在，求出该点的位置；不存在，请说明理由．
15．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，点E在BC上，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝2AB＝2AD＝2AP＝4BE＝8.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；
(2)求直线PE与平面PAC所成的角的正弦值．
1．2.3 直线与平面的夹角
必备知识基础练
1．答案：A
解析：设l与α所成的角为θ且θ∈[0°，90°]，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝.即θ＝30°.故选A.
2．答案：D
解析：以点D为坐标原点，向量，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，E(1，，0)，
可得＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，，－1)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
有，
取x＝1，则n＝(1，1，1)，
所以·n＝－1＝－，||＝，|n|＝，则直线A1E与平面A1BC1所成角的正弦值为＝.
故选D.
3．答案：B
解析：PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，
则有PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，
而PA∩AB＝A，故AD⊥平面PAB，
以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图：
则A(0，0，0)，D(0，4，0)，C(4，4，0)，P(0，0，6)，E(0，2，3)，
＝(－4，－2，3)，＝(0，4，0)，
设直线EC与平面PAB所成角为θ，又由题可知为平面PAB的一个法向量，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.故选B.
4.答案：A
解析：设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，
A1(0，0，0)，E(1，2，0)，C(2，2，2)，B1(2，0，0)，
则＝(1，2，0)，＝(2，2，2)，
则设平面A1ECF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即
令y＝1，则x＝－2，z＝1，
∴n＝(－2，1，1)，＝(2，0，0)，
设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，cosθ＝，
∴tanθ＝.故选A.
5．答案：
解析：取BC的中点E，连接OE，易得OA，OE，OP两两互相垂直，故以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，2，0)，C(－1，2，0)，P(0，0，2)，O(0，0，0)，M(－，1，1)，因此＝(－，－1，1)，＝(0，0，2)，＝(－1，2，0)，
设平面PCO的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即
令x＝2，则n＝(2，1，0)，
因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值为|cos 〈，n〉|＝＝.
6．解析：(1)证明：取AB的中点H，连接HN，B1H，
则HN是△ABC的中位线，
所以HN∥BC，且HN＝BC，
又因为B1M∥BC，且B1M＝BC，
所以HN∥B1M，且HN＝B1M，
所以四边形HNMB1是平行四边形，
所以MN∥B1H，
又因为MN 平面ABB1A1，B1H 平面ABB1A1，
所以MN∥平面ABB1A1.
(2)因为A1B1＝A1C1，M是B1C1的中点，所以A1M⊥B1C1.
又因为平面A1B1C1⊥平面BCC1B1，A1M 平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面BCC1B1＝B1C1，
所以A1M⊥平面BCC1B1，
所以直线BM为A1B在平面BCC1B1内的射影，
所以∠A1BM为直线A1B与平面BCC1B1所成的角．
设AB＝2，则在△A1MB中，∠A1MB＝90°，A1M＝，A1B＝2，
所以sin∠A1BM＝＝＝，所以∠A1BM＝30°，
所以直线A1B与平面BCC1B1所成角的大小为30°.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：由已知得AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC，所以分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AA1＝2a，则A(0，1，0)，C(，0，0)，C1(，0，2a)，D(，，a)，E(0，0，a)，所以＝(，，0)，平面BB1C1C的法向量为n＝(0，1，0)，则cos〈，n〉＝＝，所以〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.
8．答案：ACD
解析：对于A：在三棱锥P ABC中，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，取AC的中点F，连接PF，BF，则AC⊥PF，AC⊥BF.
又PF∩BF＝F，所以AC⊥平面PBF，所以AC⊥PB.故A正确．
对于B：因为AC⊥PB，PB⊥CE，AC∩CE＝C，AC，CE 平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC.
在三棱锥P ABC，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P ABC为正三棱锥，所以PC⊥PA.
所以PA＝PB＝PC＝.
可以以P为原点，，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系．
则P(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，)，E(，0，0).所以＝(－，，0)，＝(，0，－).
设异面直线CE与AB所成的角为θ，θ∈(0，]，
则cosθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝.
即异面直线CE与AB所成的角的余弦值为.故B错误；
对于C：＝(－，，0)，＝(－，0，).
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，
不妨设x＝1，则n＝(1，1，1).
设CE与平面ABC所成的角为β，β∈(0，]，
则sinβ＝|cos〈n，〉|＝
＝＝.
即CE与平面ABC所成的角的正弦值为.故C正确．
对于D：把三棱锥P ABC补形为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球．
设其半径为R，由正方体的外接球满足2R＝·，所以R＝.
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π＝6π.故D正确．
故选ACD.
9．解析：由向量加法知＝＋＝＋＝(＋)＋，
设||＝1，则||＝1，||＝1，且，，两两垂直，可得||＝，
∴·＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为.
10．解析：(1)证明：在正△ABC中，因为D为AC的中点，所以BD⊥AC.
因为A1D⊥平面ABC，BD 平面ABC，
所以BD⊥A1D，
因为AC∩A1D＝D，AC，A1D均在平面ACC1A1内，
所以BD⊥平面ACC1A1.
(2)因为A1D⊥平面ABC.所以A1D⊥DC，A1D⊥DB.
即DA1，DC，DB两两相互垂直．
以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.
因为AB＝AC＝AA1＝2，所以点A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，)，
所以1＝(0，1，)，＝(，1，0)，＝(－，1，0)，
从而＝＋＝(，2，)，＝＝(0，1，)，设平面BB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即，令y＝，则n＝(1，，－1).
记直线AB1与平面BB1C所成角为θ.
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝
＝＝，
所以直线AB1与平面BB1C所成角的正弦值为.
11．解析：(1)证明：因为E为AD的中点，
所以DE＝AD＝1.
又因为BC＝1，所以DE＝BC.
在梯形ABCD中，DE∥BC，
所以四边形BCDE为平行四边形．所以BE∥CD.
又因为BE 平面PCD，且CD 平面PCD，
所以BE∥平面PCD.
因为BE 平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，
所以BE∥FG.
(2)因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE 平面ABCD，
所以PE⊥AE，且PE⊥BE.
因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC＝90°，
所以AE⊥BE.
以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz.
则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，0，0).
设P(0，0，m)(m＞0)，
所以＝(1，－1，m)，＝(－1，1，0).
因为PC与AB所成角为，
所以|cos〈，〉|＝＝＝cos＝.
所以m＝.
则P(0，0，)，F(－，，).
所以＝(0，1，0)，＝(－，，)，＝(0，1，－).设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝6，则z＝，所以n＝(6，0，).
所以|cos〈，n〉|＝＝＝＝.
所以直线PB与平面BEF所成角的正弦值为.
12．解析：(1)证明：取PB的中点F，连接EF，CF.
因为E是PA中点，所以EF∥AB，EF＝AB＝1，
因为AB∥CD，AB＝2，CD＝1，所以EF∥CD，EF＝CD，
所以四边形CDEF为平行四边形，所以ED∥FC，ED＝FC，
因为DE 平面PBC，CF 平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直．
如图，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A xyz.
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，D(0，，0)，P(0，0，2)，所以＝(1，，0)，＝(－2，，0)，
因为·＝－2＋2＋0＝0，所以AC⊥BD，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，
因为PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(3)由(2)知是平面PAC的一个法向量，＝(－2，，0)，＝(－1，，0)，
设BC与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
所以BC与平面PAC所成角的正弦值为.
核心素养升级练
13．答案：A
解析：设正方体的棱长为1，＝λ(0≤λ≤1).以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，O(，，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，
＝(－1，1，0)，＝(－λ，λ，0)，
则P(1－λ，λ，1)，所以＝(－λ，λ－，1).
连接B1D，在正方体ABCD A1B1C1D1中，易证得B1D⊥平面A1BC1，所以＝(－1，－1，－1)是平面A1BC1的一个法向量．所以sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝，
当λ＝时，sinθ取得最大值，当λ＝0或λ＝1时，sinθ取得最小值.故sinθ∈[，].故选A.
14．解析：(1)证明：在△ADC中：AD＝DC＝1，∠ADC＝90°，所以AC＝.
在△ABC中：AC＝，AB＝2，∠BAC＝45°，
由余弦定理有：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos45°＝2，∴BC＝，∴AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，
所以BC⊥AC， ①
又因为BC⊥PA， ②
由①②，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥PC. ③
在△PAC中：AC＝，PC＝2，PA＝，
所以PC⊥AC， ④
由③④，AC∩BC＝C，AC，BC 平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD.
(2)以A为原点，以AD，AB，竖直向上分别为x，y，z轴建立直角坐标系，如图所示．则有A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(1，1，2)，
设＝λ＝λ(1，－1，2)＝(λ，－λ，2λ)，
则＝＋＝(λ，2－λ，2λ)，＝(1，1，0)，＝(1，1，2)，
设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，
则有，解得n＝(－λ，λ，λ－1)，
设所求线面角为θ，则有sinθ＝|cos〈，n〉|
＝＝＝，
解得3λ2＋2λ－1＝0，所以λ＝或λ＝－1(舍).
所以E点为PB上靠近B点的三等分点，满足条件．
15．解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AB，AD，DE 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥DE，
因为AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直，
所以以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为AD∥BC，AB⊥AD，BC＝2AB＝2AD＝2AP＝4BE＝8，
所以A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，8，0)，D(0，4，0)，E(4，2，0)，P(0，0，4)，
所以＝(4，8，0)，＝(4，－2，0)，
所以·＝16－16＝0，
所以⊥，即AC⊥DE，
因为PA⊥DE，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以DE⊥平面PAC，
因为DE 平面PDE，
所以平面PDE⊥平面PAC.
(2)设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
由(1)可知DE⊥平面PAC，
所以＝(4，－2，0)为平面PAC的一个法向量，
因为＝(4，2，－4)，
所以sinθ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
所以直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为.1．2.2 空间中的平面与空间向量
1．若向量＝(0，2，1)，＝(－1，1，－2)，则平面ABC的一个法向量可以是( )
A．(3，－1，－2) B．(－4，2，2) C．(5，1，－2) D．(5，－2，1)
2．已知平面α上三点A(3，2，1)，B(－1，2，0)，C(4，－2，－1)，则平面α的一个法向量为( )
A．(4，－9，－16) B．(4，9，－16) C．(－16，9，－4) D．(16，9，－4)
3.在三棱锥P ABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )
A．(1，1，) B．(1，，1) C．(1，1，1) D．(2，－2，1)
4．已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，则( )
A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
6.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1D1
7．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－2
8．设A(a，1)，B(2，1)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若向量与在方向上的投影相同，则实数a的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
9．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，以下说法正确的是( )
A．A1E∥平面CC1D1D B．A1E⊥平面BCC1B1
C．A1E∥D1F D．A1E⊥D1F
10．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1A，C1D1，A1D1的中点，则( )
A．AC∥平面EFG B．A1C∥平面EFG
C．B1C⊥平面EFG D．BD⊥平面EFG
11．三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．
(1)求证：MN∥平面BCC1B1；
(2)求证：MN⊥平面A1B1C.
12．在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)证明：B1D⊥平面ABD；
(2)证明：平面EGF∥平面ABD．
13．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1.点E为棱PC的中点，求证：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD.
14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1．2.2 空间中的平面与空间向量
必备知识基础练
1．答案：C
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，因为向量＝(0，2，1)，＝(－1，1，－2)，
所以，取y＝1，得n＝(5，1，－2).故选C.
2．答案：B
解析：由已知＝(－4，0，－1)，＝(1，－4，－2)，
设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由，可得，
取x＝4，可得z＝－16，y＝9，
所以平面α的一个法向量为n＝(4，9，－16).故选B.
3．答案：A
解析：由题意P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，
则＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，
令z＝1，得n＝(2，2，1)，
又(1，1，)＝n，
∴平面PAB的一个法向量为(1，1，).故选A.
4．答案：B
解析：n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n” “l∥α或l α”，“l∥α” “l⊥n”，∴“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B.
5．答案：B
解析：∵m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，∴n＝－2m，∴m∥n，∴α∥β.故选B.
6．答案：B
解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD A1B1C1D1中棱长为2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，2)，＝(1，－1，2)，＝(－2，2，0)，·＝－4，∴CE与AC不垂直，故A错误；
＝(－2，－2，0)，·＝0，∴CE⊥BD，故B正确；
＝(－2，0，－2)，·＝－6，∴CE和A1D不垂直，故C错误；
＝(－2，0，0)，·＝－2，∴CE与A1D1不垂直，故D错误．故选B.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：∵a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，
∴c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).
由c为平面α的法向量，
得，解得.故选A.
8．答案：A
解析：A(a，1)，B(2，1)，C(4，5)，O为坐标原点，
由向量与在方向上的投影相同，则＝，
即·＝·；
所以4a＋5＝8＋5，解得a＝2，
则实数a的值为2.故选A.
9．答案：A
解析：对A：由长方体的性质有平面ABB1A1∥平面CC1D1D，又A1E 平面ABB1A1，所以A1E∥平面CC1D1D，故选项A正确；
对B：因为E为棱BB1的中点，且A1B1⊥BB1，所以A1E与BB1不垂直，所以若A1E⊥平面BCC1B1，则A1E⊥BB1，这与A1E和BB1不垂直相矛盾，故选项B错误；
对C，D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A1＝(a，0，c)，E(a，b，)，D1(0，0，c)，F(，b，c)，所以＝(0，b，－)，＝(，b，0)，因为与不是共线向量，且·＝b2>0，所以A1E与D1F不平行，且A1E与D1F不垂直，故选项C，D错误．故选A.
10．答案：A
解析：取CC1，BC，AB的中点分别记为H，I，J，连接FH，HI，IJ，EJ，
根据正方体的性质可得平面EFG即为平面EGFHIJ，
对于A：如图1，AC∥IJ，AC 平面EFG，IJ 平面EFG，所以AC∥平面EFG，故A正确；
对于B：如图2，在平面A1D1CB中，A1C∩GI＝K，则A1C∩平面EFG＝K，所以B错误；
对于C，D：如图3，B1D⊥平面EGFHIJ，因为过平面EGFHIJ外一点作B1(D)仅能作一条垂线垂直该平面，故C，D错误；
其中B1D⊥平面EGFHIJ可按如下证明：如图4建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则D(0，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，0，1)，G(0，1，2)，F(1，2，2)，
所以＝(2，－2，2)，＝(0，1，1)，＝(1，2，1)，
所以·＝0，·＝2×1＋2×(－2)＋2×1＝0，即⊥，⊥，
又EG∩EF＝E，EG，EF 平面EFG，所以B1D⊥平面EFG.故选A.
11．证明：(1)连接BC1，AC1.
在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN∥BC1.
又∵MN 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，
∴MN∥平面BCC1B1.
(2)如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1 xyz.
则B1(0，0，0)，C(0，2，2)，A1(－2，0，0)，M(－1，0，2)，N(－1，1，1)，
∴＝(0，2，2)，＝(2，0，0)，＝(0，－1，1).
设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z).
，
令z＝1，则x＝0，y＝－1，∴n＝(0，－1，1).
∴n＝.∴MN⊥平面A1B1C.
12．证明：(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，
所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，
即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
(2)由(1)知，E(0，0，3)，G(，1，4)，F(0，1，4)，
则＝(，1，1)，＝(0，1，1)，
·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，
即B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.
结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
核心素养升级练
13．证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为AD⊥AB，
所以AB，AD，AP两两垂直，
所以以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，
所以＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，
所以·＝0，所以⊥，
所以BE⊥DC.
(2)平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)，
因为·＝0，所以⊥，
因为BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
14．答案：B
解析：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ.
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，(否则相交就有两点满足垂直，矛盾．)
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2.故选B.1．2.1 空间中的点、直线与空间向量
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1)
2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，1，m)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C．0 D．3
3．已知向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 C．x＝，y＝ D．x＝6，y＝
4．空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
5．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2BB1，P为C1D1的中点，则异面直线PB与B1C所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝________．
7.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为( )
A． B． C． D．
9．正四棱锥S ABCD的八条棱长都相等，点E是SB的中点，则异面直线AE，SD所成角的余弦值为________．
10．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝EO.求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．
11.如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，A′A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
12.如图，三棱锥O ABC中，∠AOB＝∠BOC＝，∠AOC＝，OA＝OB＝OC＝2，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则异面直线OG与BC所成角的余弦值为( )
A． B．－ C． D．
13．记动点P是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的对角线BD1上一点，且＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围为( )
A．(0，1) B．(，1) C．(0，) D．(1，3)
如图，在三棱锥S ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为________．
1．2.1 空间中的点、直线与空间向量
必备知识基础练
1．答案：A
解析：由题意可得：直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，又∵(1，2，3)＝(2，4，6)，∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量．故选A.
2．答案：C
解析：直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，1，m)，l1⊥l2，∴a·b＝－2＋2－2m＝0，解得m＝0.故选C.
3．答案：D
解析：∵l1∥l2，向量a，b分别是l1，l2的方向向量，∴a∥b，∴＝＝，∴x＝6，y＝.故选D.
4．答案：A
解析：∵在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，∴＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，∴＝－2，∴直线AB与CD平行．故选A.
5．答案：D
解析：建立如图所示空间直角坐标系，
设BB1＝1，由AB＝2BC＝2BB1，则AB＝2，BC＝1，
所以B(1，2，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)，因为P为C1D1的中点，所以P(0，1，1)，
＝(1，1，－1)，＝(－1，0，－1)，
所以·＝－1＋0＋1＝0，
所以⊥，即异面直线PB与B1C所成的角为90°．故选D.
6．答案：0
解析：∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝＝z.∴y－z＝0.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，E(1，1，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，1，2)，＝(－2，0，－2)，所以|cos〈，B1C〉|＝＝＝，所以异面直线DE与B1C所成角的余弦值为，所以异面直线DE与B1C所成的角为30°.故选B.
8．答案：A
解析：
以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)，
则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，E(，，0)，D(0，0，a)，
∴＝(0，－1，a)，＝(，，0)，
∴cosθ＝＝＝，∴a＝2(负值舍去)，∴该四面体的体积为××1×1×2＝.故选A.
9．答案：
解析：以正方形ABCD的中心O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设四棱锥SABCD的棱长为2，则A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)，S(0，0，)，D(－1，1，0)，E(，－，)，∴＝(，，)，＝(－1，1，－)，
∴cos〈，〉＝＝－.
故异面直线AE，SD所成角的余弦值为.
10．解析：
不妨设正方体的棱长为1，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，O(，，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E(，，)，
于是＝(，，)，＝(0，－1，1)，且||＝，||＝，
则cos〈，〉＝＝.
所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.
11．解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝a·c＝0，
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝(b＋c)·(－c＋b－a)＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)∵＝－a＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)(b＋c)＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
12．答案：C
解析：由题意可得||＝||＝||＝2，
〈，〉＝〈，〉＝，〈，〉＝，
由＝(＋)＝[＋(＋)]
＝＋＋，
＝－，
可得cos〈，〉＝
＝
＝
＝＝－，
则异面直线OG与BC所成角的余弦值为.故选C.
核心素养升级练
13．答案：B
解析：根据题意，以，，为单位正交基底．建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
∴＝(1，1，－1)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，
∴＝(λ，λ，－λ)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)；
＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，
∵PA，PC不共线，∴当∠APC为钝角时，cos∠APC<0，
∴·<0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)(λ－1)＝(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1.故此时λ的取值范围是(，1).故选B.
14．答案：
解析：构造如图所示正方体．取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F，由平面几何知识可知，OF＝OM，OE＝OD，所以EF∥DM.又因为AC⊥BD，AC⊥BM，所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM，因为EF∥DM，所以AC⊥EF.同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF.所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段．所以EF＝DM＝.则异面直线SB与AC之间的距离为.1．1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．－2
2．已知i，j，k是空间直角坐标系O xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不能确定
3．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标是( )
A．(0，0，0) B．(2，－1，－4) C．(6，－3，－12) D．(－2，3，12)
4．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( )
A．a∥b，a⊥b B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
5．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )
A． B．－ C．2 D．±
6．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________．
7.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos 〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( )
A．(1，1，1) B．(1，1，) C．(1，1，) D．(1，1，2)
8．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，向量a＝(m，－1，n)，且向量a分别与，垂直，则|a|＝( )
A．4 B．2 C．2 D．
9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：
①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；
②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；
③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；
④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c).
其中叙述正确的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
10．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为____________．
11．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则cos 〈C1D，A1C〉＝________．
12．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
13．(多选)已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，下列说法正确的是( )
A．λ＝ B．λ＝1
C．点Q的坐标为(，，) D．点Q的坐标为(，，)
14.如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．
(1)当PB＝2AP，且点P关于y轴的对称点为点M时，求|PM|的长度；
(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究|PQ|的最小值．
1．1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
必备知识基础练
1．答案：A
解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.故选A.
2．答案：D
解析：向量的坐标与B点的坐标不同．由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标．故选D.
3．答案：C
解析：设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).故选C.
4．答案：C
解析：∵c＝2a，∴a∥c，又∵a·b＝－2×2＋0＋1×4＝0，∴a⊥b.故选C.
5．答案：D
解析：∵A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，∴＝(3，－2，k)，＝(6，－1，－2k).∵△ABC中，∠C＝90°，∴·＝(3，－2，k)·(6，－1，－2k)＝18＋2－2k2＝0，解得k＝±.故选D.
6．答案：(0，2，1) (2，2，1)
解析：因为A(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，2，1).
关键能力综合练
7．答案：A
解析：设PD＝a，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E(1，1，)，∴＝(0，0，a)，＝(－1，1，).
∵cos〈，〉＝＝，∴a＝2，∴点E的坐标为(1，1，1).故选A.
8．答案：D
解析：因为空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，因为向量a＝(m，－1，n)，且向量a分别与，垂直，所以，解得m＝－1，n＝－1，所以a＝(－1，－1，－1)，故|a|＝.故选D.
9．答案：C
解析：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)对称，则x不变，其余相反，即对称点是P1(a，－b，－c)，故①错误；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2(－a，b，c)，故②错误；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3(－a，b，－c)，故③错误；④点P(a，b，c)关于坐标原点对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4(－a，－b，－c)，故④正确．故选C.
10．答案：(，－1，)或(，3，)
解析：∵点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝，设点C的坐标为(x，y，z)，①＝＝(－2，－6，－2)＝(－，－2，－)，即(x－4，y－1，z－3)＝(－，－2，－)，∴(x，y，z)＝(，－1，).
②＝－＝－(－2，－6，－2)＝(，2，)，
即(x－4，y－1，z－3)＝(，2，)，
∴(x，y，z)＝(，3，).
11．答案：
解析：建立空间直角坐标系如图所示，则C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)，C(0，1，0).
∴＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－2).
∴cos〈，〉＝＝＝.
12．解析：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，＝(1，－1，－2)，
＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝9－5t＝0，解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为(－，－，).
核心素养升级练
13．答案：AC
解析：由于点Q在直线OP上运动，所以满足共线的条件，设Q(t，t，2t)，
所以＝(1－t，2－t，3－2t)，＝(2－t，1－t，2－2t)；
故·＝6t2－16t＋10＝6(t－)2－，
当t＝时，·取得最小值．
即题中的λ＝t＝，点Q(，，).故选AC.
14．解析：(1)由题意知点A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(1，1，1)，
当PB＝2AP时，P(1，，)，M(－1，，－)，
∴|PM|＝
＝.
(2)当点P是面对角线AB中点时，点P(1，，)，
点Q在面对角线DC上运动，设点Q(a，1，a)，a∈[0，1]，
则|PQ|＝
＝＝，
∴当a＝时，|PQ|取得最小值为，此时点Q(，1，).1．1.2 空间向量基本定理
1．设e1，e2是两个不共线的向量，已知向量＝me1＋2e2，＝－2e1－e2，＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则实数m的值为( )
A．－ B．－6 C．2 D．－3
2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一组基底的是( )
A． B． C． D．或
4.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则用基底{a，b，c}表示向量＝( )
A．a－b＋c B．a－b－c
C．a－b＋c D．a－b＋c
5．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则＝( )
A．a－b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b－c D．a＋b－c
6．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，N是BC的中点，试用a，b，c表示 ( )
A.－a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
7．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一组基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋β b＋γc，则α，β，γ的值分别为( )
A．，－1，－ B．，1，
C．－，1，－ D．，1，－
8．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则||＝( )
A．－1 B．－1 C． D．－
9．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQ∶QA1＝4∶1，试用基底{a，b，c}表示以下向量：，，，.
10．在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE.
(1)试用{，，}表示向量；
(2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值．
11．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．
12.如图，在三棱锥O ABC中，M，N分别是棱OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量和；
(2)若OA＝OB＝OC＝2，且∠AOB＝∠BOC＝60°，∠AOC＝90°，求·的值．
13．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，2a＋b}
14．已知直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________．
1．1.2 空间向量基本定理
必备知识基础练
1．答案：B
解析：∵＝－2e1－e2，＝e1－2e2，∴＝－＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则有＝λ.me1＋2e2＝3λe1－λe2.∴，即m＝－6.故选B.
2．答案：C
解析：由＋＋＝0，得＝－－，故M，A，B，C四点共面．故选C.
3．答案：C
解析：∵＝(a－b)，∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间的一组基底．故选C.
4．答案：C
解析：连接BD，∵E为PD的中点，∴＝(＋)＝(－b＋＋)＝－b＋(－＋－)＝－b＋(a＋c－2b)＝a－b＋c.故选C.
5．答案：B
解析：＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选B.
6．答案：A
解析：∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.故选A.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：由题意，知d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，又d＝e1＋2e2＋3e3，
所以解得.故选A.
8．答案：C
解析：作出该平行六面体ABCD A1B1C1D1，如图所示．易得BD1＝－＋，∴BD12＝(－＋)2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝1＋1＋1－2×1×1×cos 45°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝3－，∴|BD1|＝.故选C.
9．解析：＝(＋AA1)＝(＋＋)＝a＋b＋c，
＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，
＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c，
＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
10．解析：(1)∵＝2，∴－＝2(－)，
∴3＝2＋.
又2＝＋，
∴＝＋＋.
(2)由(1)可知，＝＋＋，＝－，
又∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴·＝(＋＋)·(－)＝－2＋2＋·－·＝－×22＋×32＋×3×4×cos60°－×2×4×cos60°＝，即·的值为.
11．证明：令＝x＋y，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.
因为e1和e2不共线，所以解得
所以＝＋，
所以A，B，C，D四点共面．
12．解析：
(1)如图，连接ON，∵M，N分别是棱OA，CB的中点，且MG＝2GN，
∴＝－＝(＋)－＝(b＋c－a).
＝＋＝＋＝a＋×(b＋c－a)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c.
(2)∵OA＝OB＝OC＝2，且∠AOB＝∠BOC＝60°，∠AOC＝90°，
∴·＝(b＋c－a)·(a＋b＋c)＝|b|2＋|c|2－|a|2－a·b＋b·c－a·c＝×4＋×4－×4－×2×2cos60°＋×2×2cos60°＝1－×＋×2＝.
核心素养升级练
13．答案：C
解析：A：因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以向量a，a＋b，a－b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为(a＋b)＋(－1)(a－b)＝2b，所以向量b，a＋b，a－b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为{a，b，c}为空间的一组基底，所以这三个向量不共面．若c，a＋b，a－b不构成一组基底，则有c＝x(a＋b)＋y(a－b) c＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以向量a，b，c是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此c，a＋b，a－b能构成一组基底；D：因为2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)，所以向量a＋b，a－b，2a＋b是共面向量，因此a＋b，a－b，2a＋b不能构成一组基底．故选C.
14．答案：
解析：
如图所示，设＝a，＝b，＝c，则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因为＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c，cos〈，〉＝＝＝＝＝＝.1．1.1 空间向量及其运算
1．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是( )
A． B． C． D．
3．在平行六面体ABCD EFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z＝( )
A． B． C． D．
4．在正四面体P ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则·的值为( )
A．－ B． C．－ D．
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．如图，在三棱锥O ABC中，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则＝( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．a－b－c D．a＋b＋c
7．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝BB1＝1，∠ABB1＝∠ABC＝∠B1BC＝，＝2，则| |＝( )
A．25 B．5 C．14 D．
8．四面体ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，·＝－2，则∠BAC＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
10．(多选)在四面体A BCD中，各棱长均为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2· B．2· C．2· D．2·
11．在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝________．
12．在正四面体ABCD中，|AB|＝2，若＝2＋，则·＝________．
13．(多选)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列命题正确的是( )
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．与的夹角为60°
D．正方体的体积为|··|
14．已知在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝.
(1)求B1D的长；
(2)求与夹角的余弦值．
1．1.1 空间向量及其运算
必备知识基础练
1．答案：C
解析：①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；
②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；
③真命题．与的方向相同，模也相等，应有＝；
④真命题．向量的相等满足递推规律；
⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．故选C.
2．答案：A
解析：如图所示，∵＝，－＝－＝，＋＝，∴－＋＝．故选A.
3．答案：C
解析：由于＝＋＋＝＋＋，对照已知式子可得x＝1，－2y＝1，3z＝1，故x＝1，y＝－，z＝，从而x＋y＋z＝.故选C.
4．答案：D
解析：
如图，因为D为棱AB的中点，所以＝(＋)，·＝·(＋)＝(·＋·)，因为几何体为正四面体，故与夹角为60°，同理与夹角为60°，·＝·＝1×1×cos60°＝，故·＝×(＋)＝.故选D.
5．答案：C
解析：由已知条件得(a＋b)·a＝a2＋|b||a|cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∴向量a与b的夹角为120°.故选C.
6．答案：A
解析：＝－＝－＝(－)－(－)＝＋－＝a＋b－c.故选A.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：＝＋＋＝＋＋2(＋＋)＝3＋＋2，所以||2＝(3＋＋2)2＝32||2＋||2＋22||2＋6·＋4·＋12·＝32＋12＋22＋6×1×1×＋4×1×1×＋12×1×1×＝25，
所以|B1E|＝5.故选B.
8．答案：C
解析：因为＝－，∠BAD＝90°，所以·＝0，
所以·＝·(－)＝·－·＝－2，
所以·＝2，又AB＝AC＝2，所以·＝||·||cos∠BAC＝2，
所以cos∠BAC＝，因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝60°.故选C.
9．答案：BCD
解析：
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，故D正确；又因为AP⊥AD，AD⊥AB，AP∩AB＝A，AP，AB 平面ABP，所以AD⊥平面ABP，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0.故选BCD.
10．答案：BD
解析：依题意，四面体ABCD是正四面体，
对于A，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos120°＝－a2，A不是；
对于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos60°＝a2，B是；
对于C，因E，F是AB，AD的中点，则2＝，而〈，〉＝120°，2·＝·＝a2cos120°＝－a2，C不是；
对于D，因F，G是AD，DC的中点，则2＝，2·＝2＝a2，D是．故选BD.
11．答案：c＋－
解析：
如图，连接C1M并延长，交A1B1于点D，∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝c＋＝c＋×(＋)＝c＋(－b＋－)＝c＋(－b＋a－b)＝c＋－.
12．答案：6
解析：·＝(2＋)·＝2·＋·＝2×2×2cos＋2×2cos＝6.
核心素养升级练
13．答案：AB
解析：
如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝＝32，故A正确；·(－＝·＝(＋)·＝·＋·＝0，故B正确；与的夹角是与的夹角，△D1CA为正三角形，所以与的夹角为120°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为||·||·||，故D错误．综上可知，AB正确．
14．解析：(1)∵AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝，
∴·＝2×1×cos＝1，·＝2×3×cos＝3，·＝1×3×cos＝，
∵＝＋＋＝－＋＋，
∴＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝1＋4＋9－2－3＋6＝15，
∴B1D＝.
(2)∵2＝BA12＝(－)2＝2＋2－2·＝9＋4－6＝7，
∴||＝，
又·＝(－)·(－－)＝·－·－2－·＋2＋·＝－3－9－1＋4＋3＝－.
∴与夹角的余弦值为＝＝－.