新人教B版必修第三册高中数学第七章 三角函数 素养测评（含解析）

第七章　素养测评
时间：120分钟　　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　)
A.－ B． C．－ D．－
2．已知sin α＝－，且α是第三象限角，则tan α的值为(　　)
A. B．－ C． D．－
3．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于(　　)
A. B．1 C． D．3
4．已知θ是第二象限角，则 可化简为(　　)
A.sin θcos θ B．－sin θcos θ C．2sin θcos θ D．－2sin θcos θ
5．tan ＝(　　)
A. B．－ C． D．－
6．若p：tan (α＋2 021π)<0且cos (α－)>0，q：α为第二象限角．则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知－<α<0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　)
A. B． C． D．－
8．将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y轴对称，则φ的最小值分别为(　　)
A.， B．， C．， D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．下列命题正确的是(　　)
A.在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°
B.若角α的终边过点P(－4，3)，则cos α＝－
C.已知θ是第二象限角，则tan (sin θ)>tan (cos θ)
D.若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为
10．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论正确的是(　　)
A.2π是f(x)的一个周期 B．f(－)＝f()
C.f(x)的值域为RD．f(x)的图象关于点(，0)对称
11．已知函数f(x)＝－cos (4x－)，则下列说法错误的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x)的单调递增区间为[－，＋](k∈Z)
D.f(x)的图象关于点(，0)对称
12．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间可以是(　　)
A.[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[1，12]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________．
14．已知f(x)＝sin x＋tan x＋x－1，若f(a)＝3，则f(－a)＝________．
15．把函数y＝sin (5x－)的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数图象对应的解析式为______________________．
16．已知函数f(x)＝2sin (ωx－)＋1(x∈R)图象的一条对称轴方程为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α－3sinαcos α－1.
18．(12分)已知θ是第二象限角，5sin θcos θ＝4tan (π＋θ)，求：
(1)tan θ；
(2).
19．(12分)已知函数f(x)＝sin (2x－).
(1)用五点法，画出函数f(x)在一个周期上的图象；
(2)当x∈[－，]时，f(x)－a＝0有解，求实数a的取值范围．
20．(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)写出函数f(x)的解析式及x0的值；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最小值与最大值．
21．(12分)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，φ∈(0，π)，且f(x)的图象关于x＝对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于点(，0)对称，求当m取最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．
22．(12分)若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈[－，]时，不等式|f(x)－m|≤1有解，求实数m的取值范围．
第七章　素养测评
1．答案：B
解析：因为点P(，－)是角α的终边与单位圆的交点，所以cosα＝，
故选B.
2．答案：A
解析：由sinα＝－，且α是第三象限角，易得cosα＝－，故tanα＝.
3．答案：B
解析：弧长l＝3r－2r＝r，则圆心角α＝＝1.
4．答案：B
解析：＝＝＝|sinθcosθ|，由于θ为第二象限角，所以|sinθcosθ|＝－sinθcosθ，故选B.
5．答案：B
解析：tan＝tan (2π－)＝tan (－)＝－tan＝－.故选B.
6．答案：C
解析：由题意得tan (α＋2021π)＝tanα<0，cos (α－)＝sinα>0，由p能推出q，由q能推出p，故p是q的充要条件．故选C.
7．答案：B
解析：因为－<α<0，所以sinα<0，cosα>0，
又?sinα＋cosα＝
sin2α＋cos2α＝1?，即2cos2α－cosα－＝0，解得cosα＝，sinα＝－，所以＝＝，故选B.
8．答案：A
解析：函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到函数g(x)＝sin(2x＋2φ＋)的图象，向右平移φ个单位长度得函数h(x)＝sin (2x－2φ＋)的图象，于是，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为，.故选A.
9．答案：ABC
解析：选项A：由0°故所求的最小正角β＝170°.正确；
选项B：由三角函数的定义可得cosα＝＝－.正确；
选项C：∵θ是第二象限角，∴00，tan (cosθ)<0，∴tan (sinθ)>tan (cosθ).正确；
选项D：弧长为2，圆心角为90°，则扇形的半径为，所以扇形面积为×2×＝.错误．故选ABC.
10．答案：ACD
解析：f(x)＝tanx的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，A项正确；f(－)＝1，f()＝－1，B项错误；f(x)＝tanx的值域为R，C项正确；f(x)＝tanx的图象关于点(，0)对称，D项正确．故选ACD.
11．答案：ABC
解析：对于函数f(x)＝－cos (4x－)，它的最小正周期为＝，故A错误；当x＝时，f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(，0)对称，故D正确，而B错误；令2kπ≤4x－≤2kπ＋π，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，故函数的增区间为[＋，＋]，k∈Z，故C错误．故选ABC.
12．答案：AC
解析：由题意知T＝12，∴ω＝＝，从而设y关于t的函数为y＝sin (t＋φ).又∵t＝0时，y＝，∴可取φ＝，∴y＝sin (t＋)，∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，函数递增．∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0，1]和[7，12].
13．答案：cos2x(答案不唯一)
解析：y＝cos2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求．
14．答案：－5
解析：由于f(a)＝3，即sina＋tana＋a－1＝3，故sina＋tana＋a＝4，令g(x)＝sinx＋tanx＋x，则g(－x)＝－sinx－tanx－x＝－g(x)，即g(x)在定义域内是奇函数，满足sina＋tana＋a＝－(sin (－a)＋tan (－a)＋(－a)，则sin (－a)＋tan (－a)＋(－a)＝－4，故f(－a)＝sin (－a)＋tan (－a)＋(－a)－1＝－4－1＝－5.
15．答案：y＝sin (10x－)
解析：将函数y＝sin (5x－)的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin [5(x－)－]＝sin (5x－)的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝sin (10x－)的图象．
16．答案：
解析：由f(x)＝2sin (ωx－)＋1(x∈R)图象的一条对称轴为直线x＝π，可得ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，∴ω＝k＋(k∈Z).又∵ω∈(1，2)，∴ω＝，∴f(x)的最小正周期为T＝＝.
17．解析：(1)原式＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝－.
18．解析：(1)由题意，角θ是第二象限角，且5sinθcosθ＝4tan (π＋θ)，
可得5sinθcosθ＝4tanθ＝，可得cos2θ＝，所以sin2θ＝1－cos2θ＝，
所以tan2θ＝＝，
因为θ是第二象限角，可得tanθ＝－.
(2)由(1)知tanθ＝－，
又由＝＝＝＝－.
19．解析：(1)列表如下：
x
2x－ 0 π 2π
f(x) 0 0 － 0
描点、连线，如图所示．
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x－≤0，
∴－1≤sin (2x－)≤，
∴－≤sin (2x－)≤1.
∵f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解，∴a∈[－，1].
20．解析：(1)∵A>0，ω>0，
∴由函数图象可知A＝2，T＝＝2[x0－(x0－)]＝π，解得ω＝2.
又∵函数图象过点(，2)，∴2＝2sin (2×＋φ)，
∴2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ－，k∈Z.
又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin (2x＋).
由函数图象可得2sin (2x0＋)＝，
∴2x0＋＝2kπ＋，k∈Z，即x0＝kπ－，k∈Z.
又∵－(2)由x∈[－，]，可得2x＋∈[－，].当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝f(－)＝－1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝f()＝2.
21．解析：(1)依题意有2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又φ∈(0，π)，∴φ＝，
∴f(x)＝sin (2x＋).
(2)将f(x)图象上所有的点向左平移m(m>0)个单位，
得到y＝g(x)＝sin (2x＋＋2m).
∵y＝g(x)的图象关于点(，0)对称，
∴sin (2×＋＋2m)＝0，
∴＋2m＝kπ，k∈Z，
∴m＝－，k∈Z.
∵m>0，∴当k＝1时，m有最小值，
∴g(x)＝sin (2x＋).
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得[－＋kπ，－＋kπ]，k∈Z.
∴函数的单调递增区间是[－＋kπ，－＋kπ]，k∈Z.
22．解析：(1)由题图，知A＝2，T＝－(－)＝，解得T＝π，所以ω＝＝2.根据“五点法”作图，可得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z.又因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin (2x＋).
(2)当x∈[－，]时，2x＋∈[，]，所以f(x)∈[1，2].
因为|f(x)－m|≤1有解，所以m－1≤f(x)≤1＋m有解，即即
解得0≤m≤3.故实数m的取值范围是[0，3].