新人教B版必修第三册高中数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换 素养测评（含解析）

第八章　素养测评
时间：120分钟　　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知sin α＝－，则cos 2α的值为(　　)
A．－ B． C． D．－
2．已知向量a＝(1，0)，b＝(3，2)，则(a＋b)·(a－b)＝(　　)
A．3 B．5 C．－6 D．－12
3．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，若a·b＝|b|，则x的值为(　　)
A．－2 B．－4或0 C．－2或0 D．0
4．函数f(x)＝4sin (3x＋)＋cos (3x－)的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知α，β都是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝－，则sin β＝(　　)
A．1 B． C．－ D．
6．平面向量a＝(1，0)，b＝(－1，)，则向量b在向量a方向上的投影的数量为(　　)
A．－1 B． C． D．2
7．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为AB的中点，＝2，则·＝(　　)
A．0 B．2 C．－2 D．－4
8．已知函数f(x)＝sin ωx(sin ωx＋cos ωx)(ω>0)，若函数f(x)的图象与直线y＝1在(0，π)上有3个不同的交点，则ω的取值范围是(　　)
A．(，] B．(，] C．(，] D．(，]
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．已知向量m＋n＝(3，1)，m－n＝(1，－1)，则(　　)
A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥n C．|m|＝|n| D．〈m，n〉＝45°
10．下列选项中，值为的是(　　)
A．cos B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°
C．2sin 15°cos 15° D．
11．已知x∈(，π)，3cos x＝8tan x，则(　　)
A．sin x＝ B．tan 2x＝－
C．cos 2x＝ D．sin (x＋)cos (x＋π)＝
12．已知向量a＝(2sin x，－1)，b＝(sin x＋cos x，1)，且函数f(x)＝a·b，则下列说法不正确的是(　　)
A．x1，x2是方程f(x)＝1的两根，则x1－x2是π的整数倍
B．当x＝时，f(x)取得最大值
C．[－，]是函数f(x)的一个单调递增区间
D．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数图象
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：cos215°－sin215°＝________．
14．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，若a与a＋λb垂直，则λ的值为________．
15．已知tan(α＋β)＝，tan (β－)＝，则tan (α＋)的值为________．
16．已知函数f(x)＝A cos (ωx－φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，设函数g(x)＝f(x＋)＋f(2x＋)，则g(x)的值域为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(10分)如图，点P是角α的终边与单位圆的交点，点Q是角－β的终边与单位圆的交点，其中α，β∈(0，).
(1)求PQ；
(2)求证：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
18．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
19．(12分)已知0<α<，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝－，求tan 2α的值．
20．(12分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(|φ|<，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为π.
(1)求f()的值；
(2)求函数y＝f(x)＋f(x＋)的最大值及对应的x的值．
21．(12分)如图，OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP＝θ，四边形OPCQ的面积为S.
(1)求S与θ的函数关系；
(2)试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．
22．(12分)已知向量a＝(cos x＋sin x，cos x)，b＝(cos x－sin x，－2sin x)，记函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)在[0，]上的取值范围；
(2)若g(x)＝f(x＋t)为偶函数，求|t|的最小值．
第八章　素养测评
1．答案：C
解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝.故选C.
2．答案：D
解析：a＋b＝(4，2)，a－b＝(－2，－2)，
所以(a＋b)·(a－b)＝(4，2)·(－2，－2)＝－8－4＝－12.
故选D.
3．答案：D
解析：向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，且有a·b＝|b|，则2x＋3＝，两边平方解得x＝0或x＝－4，
而当x＝－4时，等式2x＋3＝无意义，舍去，当x＝0时，等式成立，
所以x的值为0.故选D.
4．答案：D
解析：f(x)＝4sin(3x＋)＋cos (3x－)
＝4(sin3x＋cos3x)＋cos3x＋sin3x
＝2sin3x＋2cos3x＋cos3x＋sin3x
＝sin3x＋cos3x
＝5sin (3x＋)，
∴f(x)最大值为5.
故选D.
5．答案：D
解析：由于0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，
所以cosα＝＝，sin(α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cosα－cos (α＋β)sinα
＝×＋×＝.
故选D.
6．答案：A
解析：∵a＝(1，0)，b＝(－1，)，∴a·b＝－1，|a|＝1，∴b在a方向上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝＝－1，故选A.
7．答案：A
解析：在△ABC中，D为AB的中点，＝2，取，为基底，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
＝－＝－.
所以·＝(－)·(＋)＝2－2.
因为AB＝4，AC＝2，所以2－2＝×16－×4＝0.即·＝0.故选A.
8．答案：A
解析：由f(x)＝sinωx(sinωx＋cosωx)＝＋sin2ωx＝sin (2ωx－)＋，
f(x)与直线y＝1在(0，π)上有3个不同交点，即sin (2ωx－)＝在(0，π)上有3个实根，
由x∈(0，π)得：2ωx－∈(－，2ωπ－)，
所以<2ωπ－≤，解得<ω≤.故选A.
9．答案：BCD
解析：由m＋n＝(3，1)，m－n＝(1，－1)，得m＝(2，0)，n＝(1，1)，
则|m|＝2，|n|＝，m·n＝2，
若(m－n)∥n，则1×1＝(－1)×1，不符合题意，故A错误；
若(m－n)⊥n，则1×1＋(－1)×1＝0，符合题意，故B正确；
由|m|＝2，|n|＝得|m|＝|n|，故C正确；
cos〈m，n〉＝＝＝，由〈m，n〉∈[0，π]知，〈m，n〉＝45°，故D正确．故选BCD.
10．答案：BC
解析：对于A选项，cos＝cos (π＋)＝－cos＝－，故错误；
对于B选项，cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos (42°＋18°)＝cos60°＝，故正确；
对于C选项，2sin15°cos15°＝sin30°＝，故正确；
对于D选项，＝tan (30°＋15°)＝tan45°＝1，故错误．故选BC.
11．答案：ABD
解析：∵3cosx＝8tanx，∴3cos2x＝8sinx，∴3sin2x＋8sinx－3＝0，解得sinx＝或sinx＝－3(舍)，故选项A正确；
∵x∈(，π)，∴cosx＝－，tanx＝＝＝－，tan2x＝＝＝，故选项B正确；
cos2x＝2cos2x－1＝2×(－)2－1＝，故选项C错误；
sin(x＋)cos (x＋π)＝(sinx＋cosx)·(－cosx－sinx)＝－(1＋2sinxcosx)＝，故选项D正确．故选ABD.
12．答案：AB
解析：根据题意，f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)－1＝2sin2x＋2sinxcosx－1＝sin2x－cos2x＝2sin (2x－).
对A：若f(x)＝1，故可得sin (2x－)＝，解得2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z，
则当k＝0时，不妨取x1＝，x2＝，则x1－x2＝不是π的整数倍，故错误；
对B：因为f()＝2sin＝1，而f(x)的最大值为2，故错误；
对C：当x∈[－，]时，2x－∈[－，]，又y＝2sinx在[－，]单调递增，
故f(x)在[－，]单调递增，故正确；
对D：将函数f(x)的图象向左平移个单位，故可得y＝2sin (2x＋)＝2cos2x，其为偶函数，故正确．故选AB.
13．答案：
解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝.
14．答案：－
解析：由题意得，a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，
∵a与a＋λb垂直，∴a·(a＋λb)＝1＋λ＋2(2＋λ)＝0，
解得λ＝－.
15．答案：－
解析：tan (α＋)＝tan [(α＋β)－(β－)]＝＝－.
16．答案：[－，4]
解析：观察函数f(x)图象知，令函数f(x)周期为T，则＝－＝，即T＝π，ω＝＝2，
而当x＝时，f(x)＝Acos (2x－φ)取得最大值，则2×－φ＝2kπ，k∈Z，又0<φ<π，则有k＝0，φ＝，
又f(0)＝Acos(－φ)＝Acos (－)＝A＝1，解得A＝2，因此，f(x)＝2cos (2x－)，
则g(x)＝2cos [2(x＋)－]＋2cos [2(2x＋)－]＝2cos2x＋2cos4x＝4cos22x＋2cos2x－2＝4(cos2x＋)2－，
因－1≤cos2x≤1，则当cos2x＝－时，g(x)min＝－，当cos2x＝1时，g(x)max＝4，
所以g(x)的值域为[－，4].
17．解析：(1)因为点P是角α的终边与单位圆的交点，点Q是角－β的终边与单位圆的交点，
所以P(cosα，sinα)，Q(cos(－β)，sin (－β))，所以Q(cosβ，－sinβ)，
所以PQ＝
＝＝.
(2)因为＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，－sinβ)，
所以·＝cosαcosβ－sinαsinβ.
又因为，的夹角为α＋β，
所以·＝||·||cos (α＋β)＝cos (α＋β)，
所以cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
18．解析：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4a2－4a·b－3b2＝61.
因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，解得cosθ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)由题意|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos＋9＝13，所以|a＋b|＝.
19．解析：(1)f(α)＝
＝－，
∵0<α<，sinα－cosα<0，cosα>0，
∴f(α)＝－＝sinα－cosα.
(2)∵0<α<，∴cosα>sinα>0，
由?sinα－cosα＝－
sin2α＋cos2α＝1?，可得，
∴tanα＝＝，
∴tan2α＝＝＝.
20．解析：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)
＝－×[cos (ωx＋φ)－sin (ωx＋φ)]
＝－cos (ωx＋φ＋)，
因为f(x)为偶函数，所以φ＋＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z).
又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos (ωx)，
由题意得＝2×π，所以ω＝1，所以f(x)＝－cosx，
故f()＝－cos＝－1.
(2)y＝f(x)＋f(x＋)
＝－×[cosx＋cos (x＋)]
＝－2×(cosx－sinx)＝2sin (x－)，
当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，y有最大值2.
21．解析：(1)过C作CM⊥OP，垂足为M，过CN⊥OQ，垂足为N.易知CM＝OC·sinθ，CN＝OC·sin (－θ).
所以S＝S△POC＋S△OQC＝OP·CM＋OQ·CN＝2sinθ＋2sin (－θ)，θ∈(0，).
(2)由(1)知S＝2sinθ＋2sin (－θ)＝2sinθ＋cosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ＝2(sinθ＋cosθ)＝2sin (θ＋).
因为θ∈(0，)，所以θ＋∈(，)，
故当θ＋＝，即θ＝时，S最大，且最大值为2.
22．解析：(1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x－sin2x＝cos2x－sin2x＝2cos (2x＋).
∵x∈[0，]，∴≤2x＋≤，
∴－1≤cos (2x＋)≤，
∴f(x)的取值范围为[－2，1].
(2)因为g(x)＝f(x＋t)＝2cos (2x＋2t＋)为偶函数，所以2t＋＝kπ(k∈Z)，
∴t＝－(k∈Z)，因此当k＝0时，|t|min＝.