第2课时 诱导公式⑤⑥⑦⑧
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知sin θ＝，则cos (450°＋θ)的值是( )
A． B．－
C．－ D．
2．已知sin (＋α)＝，α∈(－，0)，则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．－D．
3．已知角α的终边经过点P(－5，－12)，则sin (＋α)的值等于( )
A．－ B．－
C． D．
4．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－B．
C．－ D．
5．(多选)已知f(x)＝sin x＋cos x，则下列结论不正确的是( )
A．f(x＋π)＝sin x＋cos x
B．f(π－x)＝sin x＋cos x
C．f(x＋)＝sin x＋cos x
D．f(－x)＝sin x＋cos x
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，－m－1)，且cos α＝.
(1)求实数m的值；
(2)若m>0，求的值．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos (α＋)＝( )
A． B．－
C．－ D．
8．(多选)已知α∈(0，)，cos (＋α)＝，则tan (2 022π－α)的值可以为( )
A． B．－
C． D．－
9．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin (3π－x)＝sin x
B．sin ＝cos
C．tan (x－3π)＝－tan x
D．cos (－x)＝－cos x
10．(多选)已知sin (α＋π)＋2sin (α＋)＝0，则( )
A．tan α＝－2 B．tan α＝2
C．＝ D．＝3
11．sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
12．已知sin(－α)＝，则cos (＋α)＝________．
13．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线y＝－x上．
(1)求sin α，tan α的值；
(2)求·sin (α－2π)·cos (π－α)的值．
14．(数学运算命题)已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)·f(α＋)＝－，且≤α≤，求f(α)＋f(α＋)的值；
(3)若f(α＋)＝2f(α)，求f(α)·f(α＋)的值.
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知A，B，C为△ABC的三个内角．
(1)求证：cos2＋cos2＝1；
(2)若cos(＋A)sin (＋B)tan (C－π)<0，求证：△ABC为钝角三角形．
第2课时 诱导公式⑤⑥⑦⑧
必备知识基础练
1．答案：B
解析：cos (450°＋θ)＝cos (360°＋90°＋θ)＝cos (90°＋θ)＝－sinθ＝－，故选B项．
2．答案：A
解析：由sin (＋α)＝，得cosα＝sin (＋α)＝.又α∈(－，0)，则sinα＝－＝－，tanα＝＝×3＝－2，故选A项．
3．答案：C
解析：∵角α的终边经过点P(－5，－12)，∴sin (＋α)＝－cosα＝－＝，故选C.
4．答案：A
解析：f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos (180°＋60°)＝－cos60°＝－，故选A项．
5．答案：ABC
解析：f(x＋π)＝sin (x＋π)＋cos (x＋π)＝－sinx－cosx，f(π－x)＝sin (π－x)＋cos (π－x)＝sinx－cosx，f(x＋)＝sin (x＋)＋cos (x＋)＝cosx－sinx，f(－x)＝sin (－x)＋cos (－x)＝cosx＋sinx，故选ABC.
6．解析：(1)由题意可得x＝1，y＝－m－1，r＝，
所以cosα＝＝，整理得(m＋1)2＝4，
解得m＝1或m＝－3.
(2)因为m>0，所以由(1)可得m＝1，
所以cosα＝，sinα＝－，
所以＝＝－＝.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋＝1，整理得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝，sin2α＝－8(舍去).∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos (α＋)＝cos (α＋1010π＋)＝cos (α＋)＝－sinα＝，故选A项．
8．答案：CD
解析：由cos (＋α)＝，得sinα＝.又α∈(0，)，则α∈(0，π)，cosα＝±，tan (2022π－α)＝－tanα＝－＝±，故选CD.
9．答案：AB
解析：sin (3π－x)＝sin (π－x)＝sinx，故A正确；sin (－)＝cos，故B正确；tan (x－3π)＝tan [－(3π－x)]＝－tan (3π－x)＝－tan (π－x)＝tanx，故C错误；cos (－x)＝cosx，故D错误，故选AB.
10．答案：BD
解析：由题意可得sinα＝2cosα，则tanα＝2，故A错误，B正确，所以＝＝3，则C错误，D正确．故选BD.
11．答案：
解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝44＋＝.
12．答案：
解析：∵(－α)＋(＋α)＝，∴cos(＋α)＝sin (－α)＝.
13．解析：(1)当角α的终边在第二象限时，设P(－m，m)(m>0)是直线y＝－x上一点，
因此有：sinα＝＝＝，tanα＝＝－1；
当角α的终边在第四象限时，设Q(n，－n)(n>0)是直线y＝－x上一点，
因此有：sinα＝＝＝－，tanα＝＝－1.
(2)·sin (α－2π)·cos (π－α)＝·sinα·(－cosα)＝－sin2α＝－(±)2＝－.
14．解析：(1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵f(α)·f(α＋)＝－，
∴(－cosα)·[－cos (α＋)]＝－，
∴sinα·cosα＝，(sinα－cosα)2＝1－2×＝.
∵≤α≤，∴0>cosα>sinα，
∴f(α)＋f(α＋)＝sinα－cosα＝－.
(3)∵f(α＋)＝2f(α)，∴－cos (＋α)＝－2cosα，
∴sinα＝－2cosα.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝，
∴f(α)·f(α＋)＝－sinαcosα＝2cos2α＝.
核心素养升级练
15．证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以＝－，所以cos＝cos (－)＝sin，
所以cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.
(2)因为cos(＋A)sin (＋B)tan (C－π)<0，
所以(－sinA)(－cosB)tanC<0，即sinAcosBtanC<0，
又因为sinA>0，所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．第1课时 诱导公式①②③④
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．sin120°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．sin 600°＋tan (－300°)的值是( )
A．－B．
C．－＋ D．＋
3．sin ＋2sin ＋3sin 的值是( )
A．1 B．
C．0 D．－1
4．若sin (π－α)>0，tan (π＋α)<0，则角α的终边在( )
A.第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．设f(α)＝，则f(－π)的值为( )
A． B．－
C． D．－
6．已知tan(－α)＝，则tan (＋α)＝( )
A．B．－
C． D．－
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin (θ－π)＝，则tan θ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
8．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为，若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则( )
A．sin β＝ B．sin β＝－
C．sin β＝ D．sin β＝－
9．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是( )
A.sin β＝
B．cos (π＋β)＝
C．tan β＝
D．cos (2π－β)＝－
10．已知cos (π－α)＝(<α<π)，则tan (π＋α)＝( )
A． B．
C．－ D．－
11．(多选)化简的结果是( )
A．sin 2－cos 2
B．|cos 2－sin 2|
C．±(cos 2－sin 2)
D．cos 2－sin 2
12．已知f(α)＝.
(1)求f的值；
(2)若α∈(0，π)，且f(α)＋f(－α)＝－，求sin2α－cosα的值．
13．已知f(n)＝sin (n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)的值．
14．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，求的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知tan α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π<α<，求cos (3π＋α)＋sin (π＋α)的值．
第1课时 诱导公式①②③④
必备知识基础练
1．答案：D
解析：因为sin120°＝sin (180°－60°)＝sin60°＝.故选D.
2．答案：B
解析：原式＝sin (720°－120°)＋tan (－360°＋60°)＝sin (－120°)＋tan60°＝－sin120°＋＝－sin60°＋＝－＋＝，故选B项．
3．答案：C
解析：原式＝sin＋2sin (π＋)＋3sin (π－)＝－sin－2sin＋3sin＝0，故选C.
4．答案：B
解析：由题设，sinα>0，tanα<0，所以角α的终边在第二象限．故选B.
5．答案：D
解析：∵f(α)＝＝＝－，∴f＝－＝－＝－，故选D项．
6．答案：B
解析：tan (＋α)＝tan (π－＋α)＝tan (α－)＝－tan (－α)＝－，故选B项．
关键能力综合练
7．答案：C
解析：因为sin (θ－π)＝－sinθ＝ sinθ＝－，由已知角θ的终边过点A(4，a)可得＝－ a2＝9.
∵＝－<0，∴a<0，解得a＝－3所以tanθ＝＝－.故选C.
8．答案：C
解析：显然cosα＝，sinα＝＝，β的终边与角α的终边关于y轴对称，故β＝2kπ＋π－α，k∈Z，所以sinβ＝sin (2kπ＋π－α)＝sinα＝，所以C正确．故选C.
9．答案：ABD
解析：∵sin (π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sinβ＝sin (π－α)＝sinα＝，故A符合条件；B中，cos (π＋β)＝cos (2π－α)＝cosα＝±，故B符合条件；C中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，即C不符合条件；D中，cos (2π－β)＝cos [2π－(π－α)]＝cos (π＋α)＝－cosα＝±，故D符合条件．故选ABD.
10．答案：D
解析：解法一：∵cos (π－α)＝－cosα＝，∴cosα＝－.∵<α<π，∴sinα>0.∴sinα＝＝＝，∴tan (π＋α)＝tanα＝＝－.
解法二：由cosα＝－，<α<π，得α＝，∴tanα＝－，∴tan (π＋α)＝tanα＝－.
11．答案：AB
解析：原式＝|sin (π－2)＋cos (π－2)|＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.
12．解析：(1)f(α)＝＝－cosα，
故f＝－cos＝－.
(2)∵α∈(0，π)，且f(α)＋f(－α)＝－，
∴－cosα－cos (－α)＝－，∴cosα＝.
∵α∈(0，π)，且cosα＞0，∴α∈(0，)，sinα＝.
则sin2α－cosα＝－＝.
13．解析：∵f(1)＝sin＝，f(2)＝sin＝，
f(3)＝sinπ＝0，f(4)＝sin＝－，
f(5)＝sin＝－，f(6)＝sin2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0，
f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋336×0＝0.
14．解析：因为sin (α＋π)＝，所以sinα＝－，
又因为sinαcosα<0，
所以cosα>0，cosα＝＝，
所以tanα＝－.
所以原式＝＝＝＝－.
核心素养升级练
15．解析：因为tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，
所以1＝tanα·＝(3k2－13)，
所以k2＝，此时，Δ＝9k2－4×3(3k2－13)>0.
因为3π<α<，所以tanα>0，sinα<0，cosα<0.
又tanα＋＝－＝k，
所以k>0，故取k＝.
于是tanα＋＝＋＝＝，
即sinαcosα＝.
所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝.
因为sinα＋cosα<0，
所以sinα＋cosα＝－.
所以cos (3π＋α)＋sin (π＋α)＝cos (π＋α)＋sin (π＋α)＝－(cosα＋sinα)＝.7．2.3 同角三角函数的基本关系式
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．己知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．已知角α的终边上有一点P的坐标是(3t，4t)，其中t≠0，则＝( )
A．－2 B．
C．2 D．10
3．化简(＋)(1－cos α)的结果是( )
A．sin α B．cos α
C．1＋sin α D．1＋cos α
4．已知tan α＝－，α∈(，π)，则sin α－2cos α＝________．
5．已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则m的值为________．
6．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－，).
(1)求tan θ；
(2)求的值．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)下列计算或化简结果正确的是( )
A．＝2
B．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
C．若tan x＝，则＝1
D．若α为第一象限角，则＋＝2
8．(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．sin θ－cos θ＝－ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．θ∈(，π)
9．(多选)若＝1，则角θ的取值范围可能为( )
A．(，) B．(，π)
C．(－，－) D．(－，0)
10．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________．
11．若3sinα＋cos α＝0，则cos2α＋2sinα·cos α的值为________．
12．若sin A＝，则的值为________．
13．已知α为第二象限角，则cos α＋sinα·＝________．
14．已知sinθ－cos θ＝，求sin3θ－cos3θ的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
7．2.3 同角三角函数的基本关系式
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为α是第二象限角，sinα＝，且sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－＝－＝－.故选B.
2．答案：D
解析：由三角函数的定义可得tanα＝＝，因此，＝＝＝10.故选D.
3．答案：A
解析：原式＝(＋)(1－cosα)＝＝＝sinα，故选A项．
4．答案：
解析：因为tanα＝－＝，由，解得，所以sinα－2cosα＝－2×＝.
5．答案：4
解析：由sin2α＋cos2α＝1得，()2＋(－)2＝1，∴m＝4或，又∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，把m的值代入检验得m＝4.
6．解析：(1)∵角θ的终边经过点P(－，)，
由三角函数的定义知，tanθ＝＝－.
(2)∵cosθ≠0，∴＝＝.
关键能力综合练
7．答案：ABD
解析：A正确，＝·＝2；B正确，tanθ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.综上，A、B、D正确，故选ABD.
8．答案：BD
解析：因为θ∈(0，π)，则sinθ>0，所以，，解得，所以，sinθ－cosθ＝，tanθ＝＝－，θ∈(，π).故选BD.
9．答案：BD
解析：依题意，
＝＝
＝，则＝1，由给定选项知，角θ终边不在坐标轴上，θ为第二象限角或第四象限角，从而有cosθ与sinθ异号，若θ为第二象限角，则＝，cosθ＋sinθ<0，θ∈(，π)，若θ为第四象限角，则＝，cosθ＋sinθ>0，θ∈(－，0).故选BD.
10．答案： 7
解析：因为tanα＋＝＝3，所以sinαcosα＝.又tan2α＋＝(tanα＋)2－2＝9－2＝7，所以tan2α＋＝7.
11．答案：
解析：由3sinα＋cosα＝0，得cosα≠0，tanα＝－.所以cos2α＋2sinα·cosα＝＝＝＝＝.
12．答案：6或－
解析：因为sinA＝>0，所以角A是第一或第二象限角．
当A是第一象限角时，cosA＝＝，
所以＝＝6；
当A是第二象限角时，cosA＝－＝－，
所以＝＝－.
13．答案：0
解析：原式＝cosα＋sinα·＝cosα·＋sinα·.因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cosα·＋sinα·＝－1＋1＝0，即原式＝0.
14．解析：由sinθ－cosθ＝，得(sinθ－cosθ)2＝，
即1－2sinθcosθ＝，
所以sinθcosθ＝，sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)·(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝×(1＋)＝.
核心素养升级练
15．解析：设这两个锐角为A，B，∵A＋B＝90°，∴sinB＝cosA，
所以sinA，cosA为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根，
所以
将②代入①2，整理得9k2－8k－20＝0，
解得k1＝2，k2＝－.
当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，因为Δ<0，所以方程无解；当k＝－时，sinAcosA＝－<0，所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾，所以不存在满足条件的实数k.7．2.2 单位圆与三角函数线
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．设和分别是角的正弦线和余弦线，则以下不等式正确的是( )
A．sin
B．cos <0C．cos D．sin <02．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第三象限角 D．第一或第三象限角
3．利用余弦线比较cos ，cos ，cos 的大小关系是( )
A．cos >cos >cos
B．cos >cos >cos
C．cos >cos >cos
D．cos >cos >cos
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系，下列排序正确的是( )
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5
5．已知角α的正切线的长度为单位长度，那么角α的终边在( )
A．直线y＝x上
B．直线y＝－x上
C．直线y＝x或直线y＝－x上
D．x轴上或y轴上
6．不等式cos α≤的解集为______________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．在(0，2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为( )
A．(，)∪(π，)
B．(，π)
C．(，)
D．(，π)∪(，)
8．设a＝sin (－1)，b＝cos (－1)，c＝tan (－1)，则有( )
A．aC．c9．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
10．(多选)给出以下四个选项，其中正确的选项是( )
A．若0<α<，则sin α＋cos α>1
B．若<α<π，则－1C．若<α<2π，则－1D．若π<α<，则sin α＋cos α<－1
11．若θ∈[0，2π)，求使tan θ≤1成立的角θ的取值范围．
12．若sin θ≥0，求θ的取值范围．
13．求函数y＝的定义域．
14．把sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sin β－sin α.
7．2.2 单位圆与三角函数线
必备知识基础练
1．答案：B
解析：
分别作角的正弦线、余弦线，如图．∵sin＝||>0，cos＝－||<0，∴cos<02．答案：D
解析：由正切线的定义知，当角α是第一或第三象限角时，正切线都在第一象限，故选D项．
3．答案：C
解析：作出单位圆及，，弧度角的余弦线如图所示，结合图形易知选项C正确．
4．答案：C
解析：∵1，1.2，1.5均在(0，)内，正弦线的长在(0，)内随α的增大而逐渐增大，∴sin1.5>sin1.2>sin1，故选C项．
5．答案：C
解析：由角α的正切线的长度为单位长度，得tanα＝±1，故角α的终边在直线y＝x或直线y＝－x上，故选C项．
6．答案：{α|＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}
解析：画出单位圆，然后画出直线x＝，从图形(图略)中可以看出．
关键能力综合练
7．答案：C
解析：
在直角坐标系中作单位圆，如右图，是角α的正弦线，是角α的余弦线，由此可以看出，当α∈(，)时，恒有sinα>cosα，而当α∈(0，)∪(，2π)时，则sinα8．答案：C
解析：
如图，作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知b＝||>0，a＝－||<0，c＝－||<0，且－||>－||.∴c9．答案：C
解析：由－2sinx≥0，得sinx≤，利用单位圆与三角函数线可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，故选C项．
10．答案：ABCD
解析：
如图所示，角α的正弦线为，余弦线为.若0<α<，此时角α的终边在第一象限，则sinα＋cosα＝||＋||>1，故A项正确；若<α<π，此时角α的终边在第二象限，则sinα＋cosα＝－||＋||，－1<－||＋||<1，－111．解析：由0≤θ<2π，且tanθ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是[0，]∪(，]∪(，2π).
12．解析：利用三角函数线可得sinθ≥0时，2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z.
13.
解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).因此所求定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
14．解析：由图可知，的正弦线为M1P1，的正弦线为M2P2，的余弦线为OM3，的正切线为.
∴cos<0∴cos核心素养升级练
15．证明：
如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β，α的终边分别交于点P，Q，过点P，Q分别作OA的垂线，垂足分别是M，N，则sinα＝||，sinβ＝||.
过点Q作QH⊥MP于H，则||＝||－||＝sinβ－sinα.
连接PQ，由图可知||<＝－＝β－α，即β－α>sinβ－sinα.7．2.1 三角函数的定义
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．若角α终边经过点P(－3，4)，则sin α＋tan α的值是( )
A．－ B．－
C．－ D．
2．设α＝－，则sin α，tan α的值分别为( )
A．－1，不存在 B．1，不存在
C．－1，0 D．1，0
3．下列各式为正值的是( )
A．cos 2－sin 2 B．cos 2·sin 2
C．tan 2·cos 2 D．sin 2·tan 2
4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－2，7)，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．－
5．已知点P(tan θ，sin θ)是第三象限的点，则θ的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．判断下列各式的符号：
(1)sin 105°cos 230°；
(2)sin tan ；
(3)cos 6tan 6.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．若45°角的终边上有一点P(4－a，1＋a)，则a＝( )
A．3 B．－
C．1 D．
8．若点P的坐标为(cos 2 022°，sin 2 022°)，则点P在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．(多选)下列说法错误的是( )
A．终边相同的角的同名三角函数的值相等
B．终边不同的角的同名三角函数的值不相等
C．若sin α>0，则α是第一或第二象限角
D．若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－
10．(多选)若sin α·cos α<0，则α终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．(多选)下列各三角函数值符号为负的是( )
A．sin (－100°) B．cos (－220°)
C．tan 10 D．cos π
12．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则α的取值范围是________．
13．(数学运算命题)已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m，求cos θ与tan θ的值．
14．已知角α的终边在直线y＝－x上，求sin α，cos α，tan α的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的正半轴重合且与以O为圆心，半径为1的圆相交于A点，它的终边与圆O相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈(0，π)，写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
7．2.1 三角函数的定义
必备知识基础练
1．答案：C
解析：∵角α的终边经过点P(－3，4)，∴sinα＝＝，tanα＝－，则sinα＋tanα＝－＝－.
2．答案：A
解析：∵α＝－＝－－2π，∴－的终边在y轴的负半轴上，∴sinα＝－1，tanα不存在，故选A项．
3．答案：C
解析：∵<2<π，∴2为第二象限角，∴cos2<0，sin2>0，tan2<0，∴cos2－sin2<0，cos2·sin2<0，tan2·cos2>0，sin2·tan2<0，故选C项．
4．答案：D
解析：依题意，cosα＝＝＝－，故选D.
5．答案：D
解析：因为点P(tanθ，sinθ)是第三象限的点，所以，故θ的终边位于第四象限．故选D.
6．解析：(1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.
(2)∵<<π，∴是第二象限角．
∴sin>0，tan<0.∴sintan<0.
(3)∵<6<2π，∴6弧度的角是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.
关键能力综合练
7．答案：D
解析：由题意，得＝tan45°＝1，即1＋a＝4－a，解得a＝，故选D项．
8．答案：C
解析：∵2022°＝222°＋5×360°，∴2022°的终边在第三象限，∴cos2022°<0，sin2022°<0，∴点P在第三象限，故选C项．
9．答案：BCD
解析：易知A正确；B项，若α＝30°，β＝150°，则sinα＝sinβ＝，故B不正确；C项，若α＝90°，则sinα＝1>0，但α不是第一象限角且不是第二象限角，故C不正确；D项，由三角函数的定义知cosα＝，故D不正确．
10．答案：BD
解析：因为sinα·cosα<0，若sinα>0，cosα<0，则α终边在第二象限；若sinα<0，cosα>0，则α终边在第四象限；故选BD.
11．答案：ABD
解析：因为－100°角是第三象限角，所以sin (－100°)<0；因为－220°角是第二象限角，所以cos (－220°)<0；因为10∈(3π，)，所以角10是第三象限角，所以tan10>0；cosπ＝－1<0.故选ABD.
12．答案：(－2，3]
解析：由题意，得解得－213．解析：由已知，得m＝，解得m＝0或m＝±.
当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
当m＝时，cosθ＝－，tanθ＝－；
当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝.
14．解析：由题意可得，角α的终边在第二象限或第四象限．
①当角α的终边在第二象限时，在终边上任取一点P(x，y)，设x＝－3，y＝4，
则r＝＝＝5.
则sinα＝＝，cosα＝＝－，tanα＝＝－.
②当角α的终边在第四象限时，在终边上任取一点Q(x，y)，设x＝3，y＝－4，
则r＝＝＝5，
则sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.
核心素养升级练
15．解析：(1)由题意可得B(－，)，
根据三角函数的定义得tanα＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
(3)若α∈(0，π]，则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα，
故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝α－sinα，α∈(0，π].7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．300°化为弧度制是( )
A． B． C． D．
2．下列各对角中，终边相同的是( )
A．π和2kπ－π，k∈Z
B．－和π
C．－π和π
D．π和π
3．一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形的中心角的弧度数为( )
A． B．1 C． D．2
4．如果一扇形的圆心角为60°，半径等于3 cm，则该扇形的弧长为________ cm，面积为________ cm2.
5．已知角α＝－920°.
(1)把角α写成2kπ＋β(0≤β<2π，k∈Z)的形式，并确定角α所在的象限；
(2)若角γ与α的终边相同，且γ∈(－4π，－3π)，求角γ.
6．用弧度制表示顶点在原点，始边位于x轴的正半轴，终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
8.
如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为( )
A. B．
C． D．
9．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D．化成角度是15°
10．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( )
A． B．
C． D．
11．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )
A．π B．－π
C．π D．－π
12．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角α表示的范围(阴影部分)是( )
13．已知扇形的面积为3π，圆心角为，则该扇形的弧长为________．
14．已知扇形的周长为30.
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l及面积S；
(2)求该扇形面积S的最大值及此时扇形的半径．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.
数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________．
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
必备知识基础练
1．答案：B
解析：根据180°＝πrad，得300°＝π(rad)＝(rad).故选B.
2．答案：C
解析：在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍，π－＝2π，故选C项．
3．答案：B
解析：设扇形的中心角的弧度数为α，半径为r，则，解得α＝1，r＝2，故选B.
4．答案：π π
解析：圆心角为60°，即等于，由弧长公式可得l＝αr＝×3＝π，由扇形面积公式可得S＝lr＝×π×3＝.
5．解析：(1)因为α＝－920°＝－3×360°＋160°，160°＝，
所以α＝－920°＝(－3)×2π＋.
所以角α与的终边相同．
所以角α是第二象限角．
(2)因为角γ与α的终边相同，所以设γ＝2kπ＋(k∈Z).
因为γ∈(－4π，－3π)，
由－4π<2kπ＋<－3π，k∈Z，
可得－所以γ＝－4π＋＝－.
6．解析：(1)如题图1，以射线OB为终边的一个角为330°，可看成－30°，化为弧度，即－，而75°＝π，
∴终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|2kπ－<α<2kπ＋π，k∈Z}．
(2)如题图2，以射线OB为终边的一个角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－π，而135°＝π，
∴终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{β|2kπ－π<β<2kπ＋π，k∈Z}．
(3)如题图3，∵30°＝，210°＝，
∴终边落在阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}＝{θ|2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π＋<θ<(2k＋1)π＋，k∈Z}＝{θ|nπ＋<θ关键能力综合练
7．答案：C
解析：设扇形所在圆的半径为R，则2＝×4×R2，所以R2＝1，所以R＝1.所以扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.
8．答案：C
解析：由图可知，α＝×2π＝，所以该扇形的面积S＝××12＝.故选C.
9．答案：ABD
解析：对于A，67°30′＝67.5×＝，故A正确；对于B，因为－×°＝－600°，所以－＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，因为×°＝15°，所以＝15°，故D正确．故选ABD.
10．答案：B
解析：因为弦长等于半径，所以弦和两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为rad.
11．答案：B
解析：显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，故转过的弧度数为×2π＝－π.
12．答案：C
解析：kπ＋(k∈Z)的终边为第一、三象限的角平分线，kπ＋(k∈Z)的终边为y轴所在直线，故选C项．
13．答案：2π
解析：设扇形的半径为r，则S＝αr2＝××r2＝3π r＝3，所以该扇形的弧长为l＝αr＝×3＝2π.
14．解析：(1)由题知扇形的半径r＝10，扇形的周长为30，
∴l＋2r＝l＋20＝30，
∴l＝10，α＝＝＝1，S＝lr＝×10×10＝50.
(2)设扇形的圆心角α，弧长l，半径为r，则l＋2r＝30，
∴l＝30－2r，
∴S＝lr＝(30－2r)r＝(15－r)r≤＝，
当且仅当15－r＝r，即r＝取等号，
所以该扇形面积S的最大值为，此时扇形的半径为.
核心素养升级练
15．答案：2π－2
解析：由已知得＝＝＝，则AB＝BC＝AC＝2，故扇形的面积为，由已知可得，莱洛三角形的面积是扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为3×－2××22＝2π－2.7．1.1 角的推广
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．－2 022°角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．(社会情境命题)某学校举行期末考试，从上午9：00开始考数学，考试时间为2小时，则从考试开始到考试结束，分针转过的角为( )
A．360° B．720°
C．－360° D．－720°
3．将930°表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式，则|α|的最小值为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
4．若α是第四象限角，则180°＋α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．终边在第四象限的角的集合是( )
A．{α|－90°<α<0°}
B．{α|270°＋k·360°<αC．{α|k·360°－90°<αD．{α|k·180°－90°<α6．如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
8．(多选)下列各对角中，终边相同的是( )
A．270°和k·360°－270°(k∈Z)
B．72°和792°
C．－140°和220°
D．1 200°和2 440°
9．(多选)下列四个角为第二象限角的是( )
A．－200° B．100°
C．220° D．420°
10．如果角α的终边与65°角的终边相同，角β的终边与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
11．(多选)已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则可能是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝____________．
13．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在圆中的位置(阴影部分)是( )
14．已知α是第一象限角，说明下列各角是第几象限角：
(1)－α是第________象限角；
(2)90°＋α是第________象限角；
(3)α－180°是第________象限角．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
7．1.1 角的推广
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为－2022°＝－6×360°＋138°，所以角－2022°和角138°是终边相同的角，因为138°角是第二象限角，所以－2022°角是第二象限角．故选B.
2．答案：D
解析：∵分针转一圈(1小时)是－360°，∴从考试开始到考试结束，分针转过的角为－720°，故选D项．
3．答案：A
解析：∵930°＝210°＋2×360°＝－150°＋3×360°，∴|α|的最小值为150°，故选A项．
4．答案：B
解析：可以给α赋一特殊值－60°，则180°＋α＝120°，故180°＋α是第二象限角．
5．答案：C
解析：终边在第四象限的角的集合是{α|k·360°－90°<α6．解析：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝105°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)及图知，阴影部分的角的集合为{θ|30°＋k·360°≤θ<105°＋k·360°，k∈Z}．
关键能力综合练
7．答案：B
解析：解法一(特值法)：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.
解法二(直接法)：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
8．答案：BC
解析：若两角的终边相同，则两角需相差k·360°(k∈Z)，经验证，792°＝2×360°＋72°，220°＝360°＋(－140°).故选BC.
9．答案：AB
解析：对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角．故选AB.
10．答案：D
解析：α＝k1·360°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，则α－β＝(k1－k2)·360°＋180°＝k·360°＋180°(其中k＝k1－k2)，α＋β＝(k1＋k2)·360°－50°＝k·360°－50°，故选D项．
11．答案：BD
解析：∵角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，∴角α的终边与－120°角的终边相同，∴α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，∴＝－60°＋k·180°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，＝－60°＋n·360°(n∈Z)，此时为第四象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，＝120°＋n·360°(n∈Z)，此时为第二象限角．综上，是第二或第四象限角，故选BD.
12．答案：{－126°，－36°，54°，144°}
解析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°，所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
13．答案：C
解析：当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.
14．答案：(1)四 (2)二 (3)三
解析：(1)因为α与－α旋转方向相反，旋转的绝对量相同，所以由α是第一象限角，可得－α为第四象限角．
(2)因为将α的终边逆时针旋转90°可得90°＋α的终边，所以90°＋α为第二象限角．
(3)因为将α的终边顺时针旋转180°可得α－180°的终边，所以α－180°为第三象限角．
核心素养升级练
15．解析：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z，
则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°.
由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，可知2α，2β都是钝角，
即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，
∴45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，
∴∵α<β，∴m∴m＝2，n＝3，∴α＝°，β＝°.